初中数学2 线段垂直平分线教案设计

13．5　逆命题与逆定理

13．13．5.2　线段垂直平分线

理解线段的垂直平分线的性质定理与逆定理．

重点

线段垂直平分线的性质定理与逆定理．

难点

线段垂直平分线的性质定理与逆定理的运用．

一、创设情境

给一条已知线段a，以a为底边的等腰三角形有几个？如果用三角板和刻度尺，你能画出至少三个吗？

利用三角板、刻度尺作出线段a的垂直平分线，在垂直平分线上取点，连结可得符合条件的等腰三角形．

在这里，我们利用了线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

那么，这条件又怎么证明呢？下面我们一起研究．

二、探究新知

1．整体感知

请同学们先将这个命题画出图形(如图所示)，写出已知、求证．

2．互动学习

互动1

师：这是证明线段相等的命题，回忆前面所学知识，会得到什么启发？

生：可以利用S.A.S.定理证明△PAC≌△PBC，从而得到PA＝PB.

师：很好．这样就得到了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

今后我们可以直接利用这个定理得到有关线段相等，同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法．

明确　巩固利用三角形全等来证明线段相等的方法．

互动2

师：反过来，到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以通过“证明”来解决这个问题．

生：画出图形(如图所示)，写出已知、求证．

师：为了证明点Q在AB的垂直平分线上，可以过点Q作辅助线，先构造“垂直或平分”中的一个关系，去证明另一个．特别要注意防止“过点Q作线段AB的垂直平分线”这种错误．你能根据提示，说出证明过程吗？

生：(略)

教师巡回指导并检查学生所做情况，然后予以总结讲解．

师：在证明过程中，有的同学利用三角形全等证明了结论，还有的同学很巧妙地利用了前面学习过的等腰三角形“三线合一”的性质，看来同学们能够学以致用，这一点很好．这样我们就得到了线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

生：判定定理只能判断点在线段垂直平分线上，那怎么才能判断这条直线就是线段的垂直平分线呢？

师：这个问题提得很好．大家想一想，几点确定一条直线？

生：两点．

师：所以，只要我们能证明一条直线上有两点满足判定定理的条件，那么这条直线就一定是线段的垂直平分线．

明确　利用等腰三角形“三线合一”证明的方法值得重视．

例　已知：如图，在△ABC中，m，n，l分别是BC，AC，AB边上的垂直平分线．求证：m，n，l交于一点．

证明：设m，n交于一点O，连结OA，OB，OC.

则有OA＝OB＝OC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．

∵OA＝OB，

∴点O在l上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)．

即m，n，l交于一点．

明确　巩固证明“三线共点”的方法．

师：这道例题的结论又告诉我们，三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这一点称为三角形的外心，外心的性质是到三角形的三个顶点的距离相等．

三、练习巩固

1．如图，在△ABC中，点D在BC上，BC＝12，BD＋AD＝12，则点D在__AC__的垂直平分线上．

2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC＝8，CB＝6，则△BDC的周长是__14__．

3．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，E为垂足，交BC的延长线于点F.求证：∠B＝∠CAF.

(提示：∠B＝∠ADF－∠BAD，∠CAF＝∠DAF－∠DAC，又∠ADF＝∠DAF，∠BAD＝∠DAC)

四、小结与作业

小结

1．引导学生作知识总结：线段垂直平分线的性质、判定定理，三角形三边的垂直平分线交于一点．

2．教师扩展：利用两个定理证明线段相等、线段垂直时不用再证明全等，可简化解题过程．

作业

教材第99页习题13.5第2题．

本节课在教学过程中，首先提出问题，让学生回答，通过观察、发现、论证得出线段的垂直平分线的性质定理，接着写出性质定理的逆命题．教师与学生一起证明这个定理，并在习题中运用这两个定理，得出三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论．

在教学过程中，应注意让学生搞清两个定理的条件与结论，并充分调动学生的积极性，体会成功解决问题的乐趣．