初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程课堂检测

专题21.8  一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型

【人教版】

【题型1  利用根与系数的关系求代数式的值】

【例1】（2020秋•普宁市期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝　 　．

【变式1-1】（2021•龙马潭区模拟）设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为　 　．

【变式1-2】（2020秋•解放区校级月考）一元二次方程x2+4x+1＝0的两个根是x1，x2，则的值为　 　．（其中x2＞x1）

【变式1-3】（2020秋•淇滨区校级月考）已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子的值为　  　．

【题型2  利用根与系数的关系求系数字母的值】

【例2】（2021•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．

【变式2-1】（2019秋•萍乡期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝　 　．

【变式2-2】（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是　    　．

【变式2-3】（2020秋•武侯区校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值　  　．

【题型3  利用根与系数的关系及代根法综合求值】

【例3】（2021•九龙坡区校级期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）

A．7 B．6 C．﹣2 D．0

【变式3-1】（2020秋•抚州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．7

【变式3-2】（2020秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（　　）

A．4 B．4 C．5 D．5

【变式3-3】（2020秋•雅安期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为　 　．

【题型4  构造一元二次方程求代数式的值】

【例4】（2021春•柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．

【变式4-1】（2021春•崇川区月考）实数x，y分别满足99x2+2021x＝﹣1．y2+2021y＝﹣99，且xy≠1．则　   　．

【变式4-2】（2021•郫都区校级模拟）已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为　 　．

【变式4-3】（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为　 　．

【题型5  根与系数的关系与三角形综合】

【例5】（2020秋•西工区期中）已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．

（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

【变式5-1】（2020秋•吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．

（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？

（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．

【变式5-2】（2021春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．

（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；

①求代数式4x1x2的最大值；

②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．

【变式5-3】（2021•永州模拟）已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．

（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．

（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．

【题型6  根与系数关系中的新定义问题】

【例6】（2020秋•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有　 　．（填序号）

①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．

【变式6-1】（2021春•崇川区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣2x+1＝0；

（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．

【变式6-2】（2020秋•石狮市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：

（1）以下为倍根方程的是　 　；（写出序号）

①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；

（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；

（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2n＝0是倍根方程，求此倍根方程．

【变式6-3】（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：

材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”．

材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有，．

问题解决：

（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　        　；

（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”.