2018-2019学年广东省广州市越秀区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省广州市越秀区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图图案中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 若 ⊙O 的半径为 6 cm，PO=8 cm，则点 P 的位置是
A. 在 ⊙O 外B. 在 ⊙O 上C. 在 ⊙O 内D. 不能确定

3. 将抛物线 y=x2 向上平移 1 个单位得到新的抛物线的解析式是
A. y=x+12B. y=x−12C. y=x2+1D. y=x2−1

4. 如图，点 A，B，C 为 ⊙O 上的点，∠AOB=60∘，则 ∠ACB=
A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 60∘

5. 点 P4,−3 关于原点的对称点是
A. 4,3B. −3,4C. −4,3D. 3,−4

6. 用配方法解方程 x2−2x−5=0 时，原方程应变形为
A. x+12=6B. x−12=6C. x+22=9D. x−22=9

7. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为
A. 20B. 24C. 28D. 30

8. 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线
x−1013y−1353
A. x=0B. x=1C. x=1.5D. x=2

9. 如图，ABCD 为平行四边形，BC=2AB，∠BAD 的平分线 AE 交对角线 BD 于点 F，若 △BEF 的面积为 1，则四边形 CDFE 的面积是
A. 3B. 4C. 5D. 6

10. 若关于 x 的方程 x2−2x+m−1=0 有两个实根 x1，x2，则 x1x2x12+x22−2x12+4x1 的最大值是
A. 3B. 4C. 4.5D. 5

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若方程 m−1x2+mx−3=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 ．

12. 已知点 A4,3，B3,0，C0,2，以 O 为位似中心在第一象限内将 △ABC 放大为原来的 2 倍得到 △AʹBʹCʹ，则点 A 的对应点 Aʹ 的坐标是 ．

13. 一个圆锥的母线长为 5 cm，底面圆半径为 3 cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2（结果保留 π）．

14. 如图，△COD 是 △AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40∘ 后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则 ∠A 的度数是 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，且 △ABC 的三边都与 ⊙O 相切，则 AO= ．

16. 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：① abc>0；② b2−4ac>0；③ 9a−3b+c=0；④ 6a−2b+c<0；⑤若点 −0.5,y1，−2,y2 均在抛物线上，则 y1>y2，其中正确的判断是 ．（填写所有正确判断的序号）

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2+6x+8=0．

18. 如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点 A，B 的坐标分别是 A3,2，B1,3．△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到 △A1OB1．
（1）画出旋转后的图形．
（2）求线段 OA 在旋转过程中所扫过的图形面积．

19. 放假期间，小明和小华准备到广州的白云山（记为 A）、莲花山（记为 B）、帽峰山（记为 C）的其中一个景点去游览，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同．
（1）小明选择去白云山游览的概率是多少?
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华分别去不同景点游览的概率．

20. 如图所示，AB=BC=4，∠B=90∘，点 E 为线段 BC 上一动点（不与点 B，C 重合），分别过点 E，C 作 AE，BC 的垂线，两条垂线相交于点 D．
（1）证明：∠AEB=∠CDE．
（2）设 BE=x，CD=y，试求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围．

21. 为鼓励市民节约用电，小亮家所在地区规定：每户居民如果一个月的用电量不超过 a 度，那么这户居民这个月只需交 15 元电费；如果超过 a 度，则这个月除了仍要交 15 元的电费以外，超过的部分还要按每度 a100 元交电费．已知小亮家 1 月份用电 45 度，交电费 15 元；2 月份用电 80 度，交电费 30 元．
（1）请直接写出小亮家 2 月份超过 a 度部分的用电量（用含 a 的代数式表示）．
（2）求 a 的值．

22. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠CAB，AD 交边 BC 于点 D，O 为边 AB 上一点，⊙O 经过点 A，D 并目交 AB 于另一点 E．
（1）作出 ⊙O 并标出点 E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，
①证明：直线 BC 是 ⊙O 的切线．
②若 ⊙O 与 AC 交于点 F，且 AE=26，CD=12，求 AF 的长．

23. 如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A−2,0，B4,0，C0,4 三点，抛物线对称轴与 x 轴交于点 D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点 E 为对称轴上一点，将线段 ED 绕点 E 顺时针方向旋转 90∘ 得到线段 EF，若点 F 恰好在该抛物线上，求线段 DE 的长．

24. 如图，抛物线 y=x2−2mx+3m 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C0,−3．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点 D 为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接 AC，若 ∠DAB=∠ACO，求点 D 的坐标．
（3）若点 E 为线段 OC 上一动点，试求 2AE+2EC 的最小值．

25. 如图 1 所示，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点．如图 2 所示，将 △AEF 绕点 A 逆时针旋转 α（0∘<α≤90∘），射线 BE，DF 相交于点 P．
（1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）如图 2，在 △AEF 旋转的过程中，若射线 BE 恰好通过 AD 的中点 H，求 PF 的长．
（3）如图 3，若将 △AEF 从图 1 的位置旋转至 AE⊥BE，试求点 P 在旋转过程中的运动路线长．
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】根据点到圆心的距离 8 cm 大于圆的半径 6 cm，则该点在圆外．
3. C【解析】抛物线 y=x2 向上平移 1 个单位得到新的抛物线的解析式是：y=x2+1．
4. B【解析】∵AB=AB，
∴∠ACB=12∠AOB，
∵∠AOB=60∘，
∴∠ACB=30∘．
5. C
【解析】点 P4,−3 关于原点的对称点是 −4,3，
故选：C．
6. B【解析】方程移项得：x2−2x=5，
配方得：x2−2x+1=6，
即 x−12=6．
7. D【解析】【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
【解析】解：根据题意得9n=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
8. C【解析】由表知当 x=0 和 x=3 时，y=3，
所以该抛物线的对称轴是直线 x=0+32，
即 x=1.5．
9. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE 平分 ∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BA=BE，
∵BC=2AB，
∴AD=BC=2BE，BE∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴EFAF=BEAD=12，
∴S△BEFS△ADF=BEAD2=14，
∵△BEF 的面积为 1，
∴S△ABF=2S△BEF=2，S△ADF=4S△BEF=4，
∴S△ABD=S△ABF+S△ADF=6，
∴S四边形DCEF=S△BCD−S△BEF=S△ABD−S△BEF=5，
故选：C．
10. B
【解析】∵ 关于 x 的方程 x2−2x+m−1=0 有两个实根 x1，x2，
∴Δ=4−4m−1=8−4m≥0，
∴m≤2，
∵x1+x2=2，x1⋅x2=m−1，x12−2x1=−m+1，
∴x12+x22=x1+x22−2x12x2=4−2m−1=6−2m,
∴ x1x2x12+x22−2x12+4x1=−m+16−2m−2−m+1=−2m2+10m−8=−2m−522+92,
∵m≤2，
∴ 当 m=2 时，x1x2x12+x22−2x12+4x1 的最大值 =4．
第二部分
11. m≠1
【解析】根据一元二次方程的定义可得：m−1≠0，解得：m≠1．
12. 8,6
【解析】∵ 点 A4,3，B3,0，C0,2，以 O 为位似中心在第一象限内将 △ABC 放大为原来的 2 倍得到 △AʹBʹCʹ，
∴ 点 A 的对应点 Aʹ 的坐标为：8,6．
13. 15π
14. 70∘
【解析】∵△COD 是 △AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40∘ 后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，
∴∠AOC=∠BOD=40∘，OA=OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠A=12180∘−40∘=70∘．
15. 25
【解析】设 ⊙O 与 △ABC 的三边的切点分别为 D，E，F，
连接 OD，OE，OF，
则 OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，
OD=OE=OF，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=10，
∴12×AC×BC=12×AC×OD+12×BC×OE+12×AB×OF，
即 12×6×8=12×6+8+10×OD，解得 OD=2，
设 AD=x，则 CD=6−x，
根据切线长定理得，AF=AD=x，CE=6−x，
则 BE=8−6−x=2+x，
∴BF=BE=2+x，则 x+2+x=10，解得 x=4，
在 Rt△AOD 中，AO=AD2+OD2=25．
16. ②③④
【解析】∵ 抛物线对称轴 x=−1，经过 1,0，
∴ −b2a=−1，a+b+c=0，
∴ b=2a，c=−3a，
∵ 抛物线开口向上，
∴ a>0，
∴ b>0，c<0，
∴ abc<0，故①错误；
∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴ b2−4ac>0，故②正确；
∵ 抛物线与 x 轴交于 −3,0，
∴ 9a−3b+c=0，故③正确；
∵ 9a−3b+c=0，b=2a，c=−3a，
∴ 6a−2b+c=6a−4a−3a=−a<0，故④正确；
∵ 抛物线对称轴 x=−1，
∴ x=−0.5 与 x=−1.5 的函数值相等，
∵ −1.5>−2，
∴ 则 y1故答案为：②③④．
第三部分
17.
x2+6x+8=0.x+2x+4=0.x1=−2,x2=−4.
18. （1） 如图所示，△A1OB1 即为所求．
（2） ∵OA=32+22=13，∠AOA1=90∘，
∴ 线段 OA 在旋转过程中所扫过的图形面积为 90⋅π⋅132360=134π．
19. （1） 小明选择去白云山游览的概率是 13．
（2） 画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，小明和小华分别去不同景点游览的情况有 6 种结果，
∴ 小明和小华分别去不同景点游览的概率为 69=23．
20. （1） ∵CD⊥BC，
∴∠C=90∘，
∴∠CED+∠CDE=90∘，
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90∘，
∴∠BEA+∠CED=180∘−∠AED=90∘，
∴∠BEA=∠CDE．
（2） ∵∠BEA=∠CDE，∠B=∠C=90∘，
∴△BEA∽△CDE，
∴CDBE=CEBA，即 yx=4−x4，
∴y=−14x2+x，
∵ 点 E 为线段 BC 上一动点（不与点 B，C 重合），
∴y=−14x2+x021. （1） （80−a）度．
【解析】根据题意得：小亮家 2 月份超过 a 度部分的用电量为（80−a）度．
（2） 根据题意得：
15+80−aa100=30,
整理得：
a2−80a+1500=0,
解得：
a1=30,a2=50.
又 ∵a≥45，
∴a1=30 舍去，
故 a 的值为 50．
22. （1） 如图所示，⊙O 与点 E 即为所求．
（2） ①如图，连接 OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90∘，
∴∠ODE=90∘，即 OD⊥CB，
∵D 是 ⊙O 上一点，
∴ 直线 BC 是 ⊙O 的切线．
②过点 O 作 OG⊥AC 于点 G，
则 ∠OGC=∠C=∠ODC=90∘，
∴ 四边形 ODCG 是矩形，
∴OG=CD=12，
∵AE=26，
∴OA=13，
则 AG=5，
∴AF=2AG=10．
23. （1） 将 A−2,0，B4,0，C0,4 代入表达式得：
4a−2b+c=0,16a+4b+c=0,c=4, 解得：a=−12,b=1,c=4.
∴ 该抛物线的解析式为 y=−12x2+x+4．
（2） 由 A−2,0 和 B4,0 得，抛物线的对称轴为 x=−2+42=1．
∵ 点 E 为对称轴上一点，
∴ 设点 E 为 1,m，
又线段 EF 由线段 ED 绕点 E 顺时针方向旋转 90∘ 得到，
①当点 E1 在 x 轴上方时，点 F1 为 1−m,m，
代入表达式得：m=−121−m2+1−m+4．
解得：m1=−1+10，m2=−1−10（不合题意，舍去）．
∴ 点 E 为 1,−1+10．
∴DE=−1+10．
②当点 E2 在 x 轴下方时，点 F21−m,m，
代入表达式得：m=−121−m2+1−m+4．
解得：m1=−1+10（不合题意，舍去），m2=−1−10．
∴ 点 E 为 1,−1−10．
∴DE=1+10．
综上，DE=−1+10 或 1+10．
24. （1） 把点 C 的坐标代入抛物线表达式得：9+6m+3m=0，
解得：m=−1，
故该抛物线的解析式为：y=x2+2x−3．
（2） 过 D 点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 H，
设：点 D 的坐标为 m,m2+2m−3，
∵∠DAB=∠ACO，
∴tan∠DAB=tan∠ACO，
即：BHAH=AOCO，m2+2m−31−m=13，
解得：m=−103 或 1（舍去 m=1），
故点 D 的坐标为 −103,139．
（3） 过点 E 作 EF⊥BC, 交 BC 于点 F，
则 EF=22EC，AE+22EC=AE+EF，
∴ 当 A，E，F 三点共线时，AE+22EC 最小，即 2AE+2EC 最小，
设：直线 AF 的表达式为：y=x+b，
将点 A 坐标 1,0 代入上式，1+b=0，则 b=−1，
则直线 AE 的表达式为：y=x−1, 则点 E 的坐标为 0,−1，
则 EC=3−1=2，AE=2．
2AE+2EC=22+22=42．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
如图 1，
∵ 点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，
∴AE=12AB，AF=12AD，
∴AE=AF，
∵∠EAF=90∘，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAE+∠DAF，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADFSAS．
（2） 方法一：
存在两种情况：
①当 0∘<α<90∘ 时，如图，过 A 作 AM⊥BH 于 M，
∵H 是 AD 的中点，
∴AH=HD=12AD=1，
由勾股定理得：BH=AB2+AH2=5，
S△ABH=12AB⋅AH=12BH⋅AM，
2×1=5AM，AM=255．
由勾股定理得：HM=12−2552=55，
由（1）知：AE=12AB，
∴AE=AH，
∴EH=2HM=255，
∴BE=BH−EH=5−255=355，
由（1）知：△ABE≌△ADF，
∴DF=BE=355，∠PDA=∠ABH，
∵∠MAH+∠BHA=∠BHA+∠ABH=90∘，
∴∠MAH=∠ABH，
∴∠PDA=∠MAH，
∵∠AHM=∠DHP，
∴△PDH≌△MAHASA，
∴PD=AM=255，
∴PF=DF−PD=355−255=55．
②当 α=90∘ 时，如图，E 与 H 重合，
∵AD=AB，∠DAF=∠BAE=90∘，AE=AF，
∴△DAF≌△BAESAS，
∴∠ABE=∠ADF，
∴∠BAE=∠EPD=90∘，
∴cs∠ADP=PDDE=ADDF，即 PD1=25，
∴PD=255，
∴PF=5−255=355．
综上，PF 的长为 55 或 355．
【解析】方法二：
当 α=90∘ 时，点 E 与点 H 重合，
∵AD=AB=2，∠DAF=∠BAE=90∘，AE=AF=1，
∴△DAF≌△BAESAS．
∴∠DFA=∠BEA，S△DAF=S△BAE=1．
∴∠EPD=∠EBA+∠DFA=∠EBA+∠BEA=90∘．
又 ∵S△DEF=12S△DAF=12，
DF=AD2+AF2=5，
∴PE=2S△DEFDF=55．
∴DP=DE2−PE2=255，PF=DF−DP=355．
（3） 连接 BD，取 BD 中点 O，连接 OP，OA，如图，
Rt△ABD 中，由勾股定理得：BD=22+22=22，
∵△AEB≌△AFD，
∴∠ABE=∠ADP，
∴∠BAD=∠BPD=90∘，
∴OP=OA=12BD=2，
∴P 在以 O 圆心，以 OA 为半径的圆上，
当 AE⊥BE 时，AF⊥DF，如图，
∵AF=12AD，
∴∠ADF=30∘，
∵OD=OP，
∴∠ODP=∠OPD=45∘+30∘=75∘，
∴∠DOP=30∘，
∵∠AOD=90∘，
∴∠AOP=60∘，
∴ 点 P 在旋转过程中的运动路线长为：60π×2180=23π．