2018-2019学年广州市南山区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018-2019学年广州市南山区九上期末数学试卷（一模），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如图所示的工件的主视图是
A. B.
C. D.

2. 反比例函数 y=−1x 的图象在
A. 第一、三象限B. 第一、二象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限

3. 如图，直线 l1∥l2∥l3 ，两条直线 AC 和 DF 与 l1 ， l2 ， l3 分别相交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F ．则下列比例式不正确的是 ( )
A. ABBC=DEEFB. ABAC=DEDFC. ACAB=DFDED. EFED=BCAC

4. 下列说法不正确的是
A. 所有矩形都是相似的
B. 若线段 a=5 cm ， b=2 cm ，则 a:b=5:2
C. 若线段 AB=5 cm ， C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC ，则 AC=5−52 cm
D. 四条长度依次为 1 cm ， 2 cm ， 2 cm ， 4 cm 的线段是成比例线段

5. 根据下面表格中的对应值：
+bx+c−
判断关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解 x 的范围是
A. x<3.24B. 3.243.26

6. 下列说法不正确的是
A. 一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B. 一组邻边相等的菱形是正方形
C. 有三个角是直角的四边形是矩形
D. 对角线相等的菱形是正方形

7. 一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5 位同学进行摸球游戏，每位同学摸 10 次（摸出 1 球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为 8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是
A. 红球比白球多B. 白球比红球多
C. 红球、白球一样多D. 无法估计

8. 如图，△ABC 中，∠A=78∘，AB=4，AC=6．将 △ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.

9. 设 a，b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b=a2+b2+ab，则方程 x+2△x=1 的实数根是
A. x1=x2=1B. x1=0，x2=1C. x1=x2=−1D. x1=1，x2=−2

10. 如图，矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与 BE，BF，DF，DG，CG 分别交于点 P，Q，K，M，N．设 △BPQ，△DKM，△CNH 的面积依次为 S1，S2，S3．若 S1+S3=20，则 S2 的值为
A. 6B. 8C. 10D. 12

11. 某县为做大旅游产业，在 2015 年投入资金 3.2 亿元，预计 2017 年投入资金 6 亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为 x，则可列方程为
A. 3.2+x=6B. 3.2x=6
C. 3.21+x=6D. 3.21+x2=6

12. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别为边 AB，BC，AD 上的中点，连接 AF，DE 交于点 M，连接 GM，CG，CG 与 DE 交于点 N，则结论① GM⊥CM；② CD=DM；③四边形 AGCF 是平行四边形；④ ∠CMD=∠AGM 中正确的有 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形．

14. 已知点 Ax1,3，Bx2,6，都在反比例函数 y=−3x 的图象上，则 x1 x2（填“<”或“>”或“=”）．

15. 如图，在 Rt△ABC 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知 BC=24 cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为 cm3．

16. 如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 A 的坐标为 −4,0，点 B 在 y 轴上，若反比例函数 y=kxk≠0 的图象过点 C，则该反比例函数的表达式为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）x−22−16=0．
（2）5x2+2x−1=0．

18. 如图，在 6×8 的网格图中，每个小正方形边长均为 1 dm，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以 O 为位似中心，在网格图中作 △AʹBʹCʹ 和 △ABC 位似，且位似比为 1:2；
（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为 3 米，与地面的夹角为 45∘，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和 △ABC 相似（树干对应 BC 边），求原树高（结果保留根号）．

19. 阅读对话，解答问题．
（1）分别用 a，b 表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出 a,b 的所有取值；
（2）求在 a,b 中任选一组使关于 x 的一元二次方程 x2−ax+2b=0 有实数根的概率．

20. 已知，如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线交于点 P．
（1）求证：四边形 CODP 是菱形．
（2）若 AD=6，AC=10，求四边形 CODP 的面积．

21. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−12x 与反比例函数 y=kx 的图象交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），已知 A 点的纵坐标是 2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出 −12x>kx 的解集；
（3）将直线 l1:y=−12x 沿 y 向上平移后的直线 l2 与反比例函数 y=kx 在第二象限内交于点 C，如果 △ABC 的面积为 30，求平移后的直线 l2 的函数表达式．

22. 学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用 1400 元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．
购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件,购买的所有衬衫单价降低0.5元,但单价不得低于30元

23. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3 cm，BC=4 cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 A 出发，沿 AB 向点 B 匀速运动，速度为 2 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接 PQ，设运动时间为 ts（0（1）① BQ= ，BP= ；（用含 t 的代数式表示）
②设 △PBQ 的面积为 ycm2，试确定 y 与 t 的函数关系式；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 △PBQ 的面积为 △ABC 面积的二分之一?如果存在，求出 t 的值；不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 △BPQ 为等腰三角形?如果存在，求出 t 的值；不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】主视图指正面观察物体所看到的图形；
左视图指从左边观察物体所看到的图形；
俯视图指从上面观察物体所看到的图形；
此题的主视图中梯形下底边右顶点与几何体的右下顶点重合．
2. C【解析】∵−1<0，
根据反比例函数性质可知，
反比例函数 y=−1x 的图象在第二、四象限．
故选：C．
3. D
4. A
5. B
【解析】∵x=3.24 时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25 时，ax2+bx+c=0.01，
∴ 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解 x 的范围是 3.24故选：B．
6. B【解析】A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
7. A
8. C【解析】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
9. C【解析】∵a△b=a2+b2+ab，
∴x+2△x=x+22+x2+xx+2=1，
整理得：x2+2x+1=0，即 x+12=0，
解得：x1=x2=−1．
10. B
11. D【解析】设这两年投入资金的年平均增长率为 x，
由题意得，3.21+x2=6．
12. B【解析】正方形 ABCD 中，AD=BC，
∵ 点 E，F，分别为边 AB，BC 上的中点，
∴ AG∥FC 且 AG=FC，
∴ 四边形 AGCF 为平行四边形，故③正确；
∴ AF∥CG，
∴ ∠GAF=∠FCG=∠DGC，∠AMN=∠GND，
在 △ADE 和 △BAF 中，
∵ AE=BF,∠DAE=∠ABF,AD=AB,
∴ △ADE≌△BAFSAS，
∴ ∠ADE=∠BAF，
∵ ∠ADE+∠AEM=90∘，
∴ ∠EAM+∠AEM=90∘，
∴ ∠AME=90∘，
∴ ∠GND=90∘，
∴ DE⊥CG．
∵ ∠AMD=90∘，G 点为 AD 中点，
∴ DG=MG，DE⊥CG．
∴ CG 垂直平分 DM，
∴ CD=CM，但是 ∠MDC 不等于 60∘，所以 CD 不等于 DM 故②错误；
在 △GDC 和 △GMC 中，
∵ DG=MG,CD=CM,CG=CG,
∴ △GDC≌△GMCSSS，
∴ ∠CDG=∠CMG=90∘，∠MGC=∠DGC，
∴ GM⊥CM，故①正确；
∵ ∠CDG=∠CMG=90∘，
∴ ∠MGD+∠DCM=360∘−∠CDG−∠CMG=180∘，
∵ ∠AGM+∠MGD=180∘，
∴ ∠AGM=∠DCM，
∵ CD=CM，
∴ ∠CMD=∠CDM，
在 Rt△AMD 中，∠AMD=90∘，
∴ DM ∴ DM ∴ ∠DMC≠∠DCM，
∴ ∠CMD≠∠AGM，故④错误．
第二部分
13. 菱
【解析】连接 AC，BD，
在 △ABD 中，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=12BD，
同理 FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
又 ∵ 在矩形 ABCD 中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴ 四边形 EFGH 为菱形．
14. <
【解析】由题意，得 k=−3<0，图象在第二、四象限，
在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，
因为 0<3<6，
所以 x115. 27
【解析】如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为 x cm，
延长 FE 交 AC 于点 D，
则 EF=2x cm，EG=x cm，DF=4x cm，
∵DF∥BC，
∴∠EFG=∠B，
∵ 在 Rt△GEF 中，tan∠EFG=EGEF=12，
∴ 在 Rt△ABC 中，tanB=ACBC=12，
∵BC=24 cm，
∴AC=12 cm，
∴AD=AC−CD=12−2xcm，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACB，
∴DFBC=ADAC，
即 4x24=12−2x12，
解得：x=3，
即这个展开图围成的正方体的棱长为 3 cm，
∴ 这个展开图可折成的正方体的体积为 27 cm3．
故答案为：27．
16. y=3x
【解析】如图，过点 C 作 CE⊥y 轴于 E，
在正方形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=90∘，
∴∠ABO+∠CBE=90∘，
∵∠OAB+∠ABO=90∘，
∴∠OAB=∠CBE，
∵ 点 A 的坐标为 −4,0，
∴OA=4，
∵AB=5，
∴OB=52−42=3，
在 △ABO 和 △BCE 中，
∠OAB=∠CBE,∠AOB=∠BEC,AB=BC,
∴△ABO≌△BCE，
∴OA=BE=4，CE=OB=3，
∴OE=BE−OB=4−3=1，
∴ 点 C 的坐标为 3,1，
∵ 反比例函数 y=kxk≠0 的图象过点 C，
∴k=xy=3×1=3，
∴ 反比例函数的表达式为 y=3x．
第三部分
17. （1）
x−22−16=0.x−22=16.
两边开方得：
x−2=±4.
解得：
x1=−2.x2=6.
（2）
5x2+2x−1=0.b2−4ac=22+4×5×1=24.x=−1±65.
所以
x1=−1+65.x2=−1−65.
18. （1） 如图 1 所示，△AʹBʹCʹ 即为所求．
（2） ∵OB=OC=4，∠COB=90∘，
∴∠OBC=45∘，BC=OB2+OD2=42，
∵∠DEF=45∘，
∴∠OBC=∠DEF，
∵△DEF∽△ABC，
∴DEAB=EFBC，即 36=EF42，
∴EF=22，
答：原树高为 22 米．
19. （1） a,b 对应的表格为：
（2） ∵ 方程 x2−ax+2b=0 有实数根，
∴ Δ=a2−8b≥0．
∴ 使 a2−8b≥0 的 a,b 有 3,1，4,1，4,2，
∴ P=312=14．
20. （1） ∵ DP∥AC，CP∥BD，
∴ 四边形 CODP 是平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，
∴ OD=OC，
∴ 四边形 CODP 是菱形．
（2） ∵ AD=6，AC=10，
∴ DC=AC2−AD2=8，
∵ AO=CO，
∴ S△COD=12S△ADC=12×12×AD×CD=12．
∵ 四边形 CODP 是菱形，
∴ S△COD=12S菱形CODP=12，
∴ S菱形CODP=24．
21. （1） ∵ 直线 l1:y=−12x 经过点 A，A 点的纵坐标是 2，
∴ 当 y=2 时，x=−4，
∴A−4,2，
∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 A，
∴k=−4×2=−8，
∴ 反比例函数的表达式为 y=−8x．
（2） ∵ 直线 l1:y=−12x 与反比例函数 y=kx 的图象交于 A，B 两点，
∴B4,−2，
∴ 不等式 −12x>kx 的解集为 x<−4 或 0 （3） 如图，设平移后的直线 l2 与 x 轴交于点 D，连接 AD，BD．
∵CD∥AB，
∴△ABC 的面积与 △ABD 的面积相等，
∵△ABC 的面积为 30，
∴S△AOD+S△BOD=30，即 12ODyA+yB=30，
∴12×OD×4=30，
∴OD=15，
∴D15,0，
设平移后的直线 l2 的函数表达式为 y=−12x+b，
把 D15,0 代入，可得 0=−12×15+b，解得 b=152，
∴ 平移后的直线 l2 的函数表达式为 y=−12x+152．
22. ∵30×40=1200<1400，
∴ 奖品数超过了 30 件，
设总数为 x 件，则每件商品的价格为：40−x−30×0.5 元，
根据题意可得：
x40−x−30×0.5=1400.
解得：
x1=40,x2=70.∵x=70
时，40−70−30×0.5=20<30，
∴x=70 不合题意舍去，
答：王老师购买该奖品的件数为 40 件．
23. （1） ① 5−2t；t
②如图 1，过点 Q 作 QD⊥BC 于 D，
∴∠BDQ=∠C=90∘，
∵∠B=∠B，
∴△BDQ∽△BCA，
∴DQAC=BQAB，
∴DQ3=5−2t5，
∴DQ=355−2t
∴y=S△PBQ=12BP⋅DQ=12×t×355−2t=−35t2+32t．
【解析】①在 Rt△ABC 中，AC=3 cm，BC=4 cm，
根据勾股定理得，AB=5 cm，
由运动知，BP=t，AQ=2t，
∴BQ=AB−AQ=5−2t．
（2） 不存在，理由：
∵AC=3，BC=4，
∴S△ABC=12×3×4=6，
由（1）知，S△PBQ=−35t2+32t，
∵△PBQ 的面积为 △ABC 面积的二分之一，
∴−35t2+32t=3，
∴2t2−5t+10=0，
∵Δ=25−4×2×10<0，
∴ 此方程无解，
即：不存在某一时刻 t，使 △PBQ 的面积为 △ABC 面积的二分之一．
（3） 由（1）知，AQ=2t，BQ=5−2t，BP=t，
∵△BPQ 是等腰三角形，
∴ ①当 BP=BQ 时，
∴t=5−2t，
∴t=53，
②当 BP=PQ 时，如图 2 过点 P 作 PE⊥AB 于 E，
∴BE=12BQ=125−2t，
∵∠BEP=90∘=∠C，∠B=∠B，
∴△BEP∽△BCA，
∴BEBC=BPAB，
∴125−2t4=t5，
∴t=2518，
③当 BQ=PQ 时，如图 3，过点 Q 作 QF⊥BC 于 F，
∴BF=12BP=12t，
∵∠BFQ=90∘=∠C，∠B=∠B，
∴△BFQ∽△BCA，
∴BFBC=BQAB，
∴12t4=5−2t5，
∴t=4021，
即：t 为 2518 秒或 53 秒或 4021 秒时，△BPQ 为等腰三角形．