2019-2020学年上海市宝山区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年上海市宝山区八上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列等式一定成立的是
A. 5−2=3B. 75=75
C. x2=x⋅xD. π−42=π−4

2. 方程 x2−3x+7=0 的根的情况是
A. 没有实数根B. 有无数个相等或不相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根

3. “等腰三角形两底角相等”的逆命题是
A. 等腰三角形“三线合一”
B. 底边上高和中线重合的三角形等腰
C. 两个角互余的三角形是等腰三角形
D. 有两个角相等的三角形是等腰三角形

4. 若点 P3,2−m 在函数 y=1x 的图象上，则点 P 一定在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

5. 如图，在平面直角坐标系中，直线 h 对应的函数表达式为 y=2x，将直线 h 向左平移，使之分别与 x，y 轴交于点 A，B，若 OA=2，则线段 OB 的长为
A. 3B. 4C. 22D. 23

6. 命题甲：由正比例函数图象上任意一点的坐标可以确定该正比例函数的解析式；
命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形．
则下列判断正确的是
A. 两命题都正确B. 两命题都不正确
C. 甲不正确乙正确D. 甲正确乙不正确

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 化简：x−12= ．

8. 方程 2x+3x+4=0 的根是 ．

9. 在实数范围内分解因式：2x2−4x−3= ．

10. 随着市场多重刺激，宝山的学区房一扫连月低迷，终于走上了连续上涨的轨道，某小区学区房去年第二季度每平方米 a 元，若平均每季度上涨 6%，则去年第四季度的价格为每平方米 元（用含 a 的代数式表示）．

11. 函数 y=x2+1 的定义域是 ．

12. 已知函数 fx=12+x，那么 f3= ．

13. 若 A1,a，B2,3 是同一个正比例函数图象上的两点，则 a 3．

14. 在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向 x 轴，y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为 2016．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，y 随着 x 增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 ．

15. 以线段 AB 为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是 ．

16. 如图已知，∠BAC=30∘，D 为 ∠BAC 平分线上一点，DF∥AC 交 AB 于 F，DE⊥AC 于 E，若 DE=2，则 DF= ．

17. 已知点 A，B，C 的坐标分别 A1,5，B1,0，C5,0．若点 P 在 ∠ABC 的平分线上，且 PA=5，则点 P 的坐标为 ．

18. 如图，点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 边 AD 上，连接 PB．过点 B 作一条射线与边 DC 的延长线交于点 Q，使得 ∠QBE=∠PBC，其中 E 是边 AB 延长线上的点，连接 PQ．若 PQ2=PB2+PD2+1，则 △PAB 的面积为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：2218+112−13．

20. 用适当方法解方程：x2+6x+3=0．

21. 已知正比例函数 y=5x 与反比例函数 y=kx 交于 A，B 两点，其中 A 的横坐标为 1．求 A，B 的坐标与反比例函数的解析式．

22. 某工地利用一面 16 米长的墙和简易板材围一个面积为 140 平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为 2 米的门，除留作门以外部分的板材总长度为 32 米，求这个长方形临时堆场的尺寸．

23. 已知在同一坐标系中，正比例函数 y=kx（其中 k≠0），反比例函数 y=tx（其中 t≠0）的图象没有交点，试判断关于 x 的方程 x2−ax+kt=0 的根的情况并说明理由．

24. 如图，在 △ABC 中，BD=2AC，CD⊥BC，E 是 BD 的中点，求证：∠A=2∠B．

25. 步彦京同学在前阶段复习中突然发现“定理”：凡三角形都是等腰三角形，下面是步彦京同学的证明：
如图，设 △ABC 中 ∠A 的平分线与边 BC 的垂直平分线相交于 D，M 是边 BC 垂直平分线的垂足．联结 DB，DC．又过 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，E，F 为垂足．
由角平分线定理易知 DE=DF，又易证 △ADE≌△ADF 从而得到 AE=AF，同时由垂直平分线性质得 DB=DC，然后再证明 直角△BED≌直角△CFD，从而得到 BE=CF，于是由等量公理得 AE+BE=AF+CF，即 AB=AC．因此凡三角形都是等腰三角形．
由此步彦京百思不得其解：“难道我们教材上的几何内容错了?学习如此低级错误的内容岂不误人子弟?“同学：根据你所掌握的知识，你认为究竟是教材内容错了，还是步彦京同学错了?为什么?

26. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AD，BE，CF 分别是三边上的中线．
（1）若 AC=1，BC=2．求证：AD2+CF2=BE2；
（2）是否存在这样的 Rt△ABC，使得它三边上的中线 AD，BE，CF 的长恰好是一组勾股数?请说明理由．（提示：满足关系 a2+b2=c2 的 3 个正整数 a，b，c 称为勾股数．）
答案
第一部分
1. B【解析】A、 5 与 −2 不能合并，所以A选项错误；
B、 原式=75，所以B选项正确；
C、 原式=x，所以C选项错误；
D、 原式=∣π−4∣=4−π，所以D选项错误．
2. A【解析】∵a=1，b=−3，c=7，
∴Δ=b2−4ac=−32−4×1×7=−19<0，
∴ 方程没有实数根．
3. D
4. A【解析】∵ 函数 y=1x 中，k=1>0，
∴ 函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
∵ 点 P3,2−m 中 3>0，
∴ 点 P 一定在第一象限．
5. B
【解析】∵OA=2，
∴A−2,0，
∴l1∥l2，直线 l1 对应的函数表达式为 y=2x，
∴ 直线 l2 对应的函数表达式可设为 y=2x+b，
把 A−2,0 代入得 −4+b=0，解得 b=4，
∴ 直线 l2 对应的函数表达式为 y=2x+4，
∴B0,4，
∴OB=4．
故选B．
6. C【解析】命题甲：由正比例函数图象上任意一点（除原点外）的坐标可以确定该正比例函数的解析式，不正确；
命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形，正确．
第二部分
7. x−1
8. x=−3，x=−4
【解析】方程 2x+3x+4=0，可得 x+3=0 或 x+4=0，解得：x=−3，x=−4．
9. 2x−2+102x−2−102
【解析】由 2x2−4x−3=0，得
x=2±102，
原式=2x2−2x−32=2x−2+102x−2−102.
10. a1+6%2
【解析】∵ 某小区学区房去年第二季度每平方米 a 元，若平均每季度上涨 6%，
∴ 去年第三季度的价格为 a1+6% 元，去年第四季度的价格为 a1+6%2 元．
11. x 取全体实数
【解析】根据题意得：x2+1≥0，
解得：x 取全体实数．
12. 2−3
【解析】∵ 函数 fx=12+x，
∴f3=12+3=2−32+32−3=2−3．
13. <
【解析】设解析式为：y=kx，
将点 2,3 代入可得：2k=3，
解得：k=1.5，
故函数解析式为：y=1.5x，
将点 1,a 代入可得：a=1.5，即 a<3．
故答案为：<．
14. y=−2016x
【解析】从这个反比例函数图象上任意一点向 x 轴，y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为 2016，
∣k∣=∣xy∣=2016，
k=2016 或 k=−2016，
∵ 这个反比例函数在相同的象限内，y 随着 x 增大而增大，
∴k=−2016，
故反比例函数的解析式是 y=−2016x．
15. 线段 AB 的垂直平分线（与 AB 的交点除外）
【解析】∵△ABC 以线段 AB 为底边，CA=CB，
∴ 点 C 在线段 AB 的垂直平分线上，除去与 AB 的交点（交点不满足三角形的条件），
∴ 以线段 AB 为底边的等腰三角形的顶点 C 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线，不包括 AB 的中点，
故答案为线段 AB 的垂直平分线，不包括 AB 的中点．
16. 4
【解析】如图，过点 D 作 DG⊥AB 于 G，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，DE⊥AC，
∴DG=DE，
∵DF∥AC，
∴∠DFG=∠BAC=30∘，
在 Rt△DFG 中，DF=2DG=2×2=4．
故答案为：4．
17. 6,5 或 1,0
【解析】∵A1,5，B1,0，C5,0，
∴AB=5，且 AB⊥BC，
∴∠ABC=90∘，
如图，以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 ∠ABC 的平分线于两点，
∵ 点 P 在 ∠ABC 的平分线上，且 PA=5，
∴ 当点 P 在点 B 处时，P1 的坐标为 1,0，
当点 P 在第一象限内时，由 △ABP2 是等腰直角三角形，可知 P2 的坐标为 6,5．
18. 14
【解析】∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90∘，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90∘，
∵∠PBC+∠PBA=90∘，
∴∠PBA=∠QBC，
在 Rt△PAB 和 Rt△QCB 中，
∠A=∠QCB,AB=CB,∠PBA=∠QBC,
∴△PAB≌△QCBASA，
∴QC=PA，
设正方形的边长 AB=a，PA=x，则 QC=x，
∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD−PA=a−x，
在 Rt△PAB 中，PB2=PA2+AB2=x2+a2，
∵PQ2=PB2+PD2+1，
∴a−x2+a+x2=x2+a2+a−x2+1，解得：2ax=1，
∴ax=12，
∵△PAB 的面积 S=12PA⋅PB=12ax=12×12=14．
第三部分
19. 原式=122×18+122×32−33=3+32−33=3+36.
20.
x2+6x+3=0,x2+6x=−3,x2+6x+9=6,x+32=6,x+3=±6,
x1=−3−6,x2=−3+6.
21. 根据题意易知 A1,5，
将 A1,5 代入 y=kx，得 k=5，
∴ 反比例函数的解析式为 y=5x，
由正比例函数和反比例函数的交点对称易知 B−1,−5．
22. 如图，
设这个长方形临时堆场垂直于墙面的一边为 x 米，则平行于墙面的一边为 32−2x+2 米，
根据题意有，
x34−2x=140,
解得
x=7或x=10,
其中 x=7时,
34−2x=20>16,
所以
x=10.
答：这个长方形垂直于墙面的一边为 10 米，平行于墙面的一边为 14 米．
23. ∵ 在同一坐标系中，y=kx（其中 k≠0）和 y=tx（其中 t≠0）的图象没有交点，
∴kt<0，
∵ 关于 x 的方程 x2−ax+kt=0 的根的判别式 Δ=a2−4kt，
∴Δ>0，
∴ 关于 x 的方程 x2−ax+kt=0 有两个不相等的实数根．
24. ∵CD⊥BC，E 是 BD 的中点，
∴CE=BE=12BD，
∴∠B=∠BCE，
由三角形的外角性质得，∠CED=∠B+∠BCE=2∠B，
∵BD=2AC，
∴AC=12BD，
∴AC=CE，
∴∠CED=∠A，
∴∠A=2∠B .
25. 教材内容没有错，步彦京同学错了．理由如下：
步彦京同学给出的示意图是错误的，正确的图形如右，即角平分线与垂直平分线的交点在三角形外，
步彦京同证明 AE=AF，BE=CF 没有错，
但此时 AC=AF−CF，AB=AE+BE．
只有 AB=AC+2CF，而没有 AB=AC．
26. （1） 如图，连接 FD．
∵AD，BE，CF 分别是三边上的中线，
∴CD=12BC=22，CE=12AC=12，FD=12AC=12，
由勾股定理得 AD2=AC2+CD2=12+222=32，
CF2=CD2+FD2=222+122=34，
BE2=BC2+CE2=22+122=94，
∵32+34=94，
∴AD2+CF2=BE2．
（2） 设两直角边分别为 a，b，
∵AD，BE，CF 分别是三边上的中线，
∴CD=12a，CE=12b，FD=12AC=12a，
由勾股定理得 AD2=AC2+CD2=b2+12a2=14a2+b2，
CF2=CD2+FD2=12a2+12b2=14a2+14b2，
BE2=BC2+CE2=a2+12b2=a2+14b2，
∵AD2+CF2=BE2，
∴14a2+b2+14a2+14b2=a2+14b2，
整理得 a2=2b2，
∴AD=62b，CF=32b，BE=32b，
∴CF:AD:BE=1:2:3，
∵ 没有整数是 2 和 3 的倍数，
∴ 不存在这样的 Rt△ABC．