2018-2019学年广州市三中八下期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广州市三中八下期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是
A. 12B. 11C. 27D. a3

2. △ABC 三边长分别为 a，b，c，则下列条件不能判断 △ABC 是直角三角形的是
A. a=3，b=4，c=5B. a=4，b=5，c=6
C. a=6，b=8，c=10D. a=5，b=12，c=13

3. 如果一组数据 −3，−2，0，1，x，6，9，12 的平均数为 3，则 x 为
A. 2B. 3C. −1D. 1

4. 一次函数 y=−3x+5 的图象不经过的象限是第 象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四

5. 对于两组数据 A，B，如果 sA2>sB2，且 xA=xB，则
A. 这两组数据的波动相同B. 数据 B 的波动小一些
C. 它们的平均水平不相同D. 数据 A 的波动小一些

6. 下列命题中的假命题是
A. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B. 平行于同一直线的两条直线平行
C. 直线 y=2x−1 与直线 y=2x+3 一定互相平行
D. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等

7. 在同一直角坐标系中，一次函数 y=k−2x+k 的图象与正比例函数 y=kx 图象的位置可能是
A. B.
C. D.

8. 如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，把矩形 ABCD 沿过点 A 的直线 AE 折叠，点 D 落在矩形 ABCD 内部的点 Dʹ 处，则 CDʹ 的最小值是
A. 4B. 45C. 45−4D. 45+4

9. 如图，平行四边形 ABCD 中，∠BDC=30∘，DC=4，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，且 E，F 恰好是 BD 的三等分点，AE，CF 的延长线分别交 DC，AB 于 N，M 点，那么四边形 MENF 的面积是
A. 2B. 3C. 22D. 23

10. 如图，点 M 是直线 y=2x+3 上的动点，过点 M 作 MN 垂直于 x 轴于点 N，y 轴上是否存在点 P，使得 △MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点 P 有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 a，b 都是实数，b=1−2a+2a−1−2，则 ab 的值为 ．

12. 直角三角形两条边的长度分别为 3 cm，4 cm，那么第三条边的长度是 cm．

13. 如果将直线 y=3x−1 平移，使其经过点 0,2，那么平移后所得直线的表达式是 ．

14. 已知一次函数 y1=x 和函数 y2=−x−1,x<03x−1,x≥0 当 y1>y2 时，x 的取值范围是 ．

15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ADO=30∘，AB=8，点 A 的坐标为 −3,0，则点 C 的坐标为 ．

16. 在平行四边形 ABCD 中，CD=2AD，BE⊥AD，点 F 为 DC 中点，连接 EF，BF，下列结论：① ∠ABC=2∠ABF；② EF=BF；③ S四边形DEBC=2S△EFB；④ ∠CFE=3∠DEF，其中正确的有 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：
（1）27−12+13+38．
（2）23+1515−23．

18. 已知 △ABC，AB=AC，D 为 BC 上一点，E 为 AC 上一点，AD=AE．
（1）如果 ∠BAD=10∘，∠DAE=30∘，那么 ∠EDC= ∘．
（2）如果 ∠ABC=60∘，∠ADE=70∘，那么 ∠BAD= ∘，∠CDE= ∘．
（3）设 ∠BAD=α，∠CDE=β 猜想 α，β 之间的关系式，并说明理由．

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，连接 DE．
（1）求证：DA=DF；
（2）若 ∠ADE=∠CDE=30∘，DE=23，求平行四边形 ABCD 的面积．

20. 在全民读书月活动中，某校随机抽样调查了一部分学生本学期计划购买课外书的费用情况，根据图中的相关信息，解答下面问题．
（1）这次调查获取的样本容量是 ；
（2）由统计图可知，这次调查获取的样本数据的众数是 ；中位数是 ；
（3）求这次调查获取的样本数据的平均数；
（4）若该校共有 1000 名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．

21. 如图，△ABC 中，AB=AC．求作一点 D，使得以 A，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

22. 如图，直线过 A−1,5，P2,a,B3,−3．
（1）求直线 AB 的解析式和 a 的值；
（2）求 △AOP 的面积．

23. 如图所示，在菱形 ABCD 中，AC 是对角线，CD=CE，连接 DE．
（1）若 AC=16，CD=10，求 DE 的长．
（2）G 是 BC 上一点，若 GC=GF=CH 且 CH⊥GF，垂足为 P，求证：2DH=CF．

24. 如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A−1,−1，B3,2，C1,−2．
（1）判断 △ABC 的形状，请说明理由．
（2）求 △ABC 的周长和面积．

25. 如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B−3,5，点 D 在线段 AO 上，且 AD=2OD，点 E 在线段 AB 上，当 △CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标．

26. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠DAB=60∘，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上的一个动点（不与点 A 重合），延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接 MD，AN．
（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形
（2）当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是矩形，请你把猜想出的 AM 值作为已知条件，说明四边形 AMDN 是矩形的理由．
答案
第一部分
1. B【解析】12=22，A不是最简二次根式；
B．11 是最简二次根式；
27=33，C不是最简二次根式；
a3=aa，D不是最简二次根式．
2. B【解析】A．∵32+42=52，∴△ABC 是直角三角形；
B．∵52+42≠62，∴△ABC 不是直角三角形；
C．∵62+82=102，∴△ABC 是直角三角形；
D．∵122+42=132，∴△ABC 是直角三角形．
3. D【解析】∵−3，−2，0，1，x，6，9，12 的平均数为 3，
∴−3−2+0+1+x+6+9+128=3，解得：x=1．
4. C【解析】∵−3<0，
∴ 图象经过二、四象限；
∵5>0，
∴ 直线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，图象还过第一象限．
∴ 一次函数 y=−3x+5 的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
5. B
【解析】∵sA2>sB2，
∴ 数据 B 组的波动小一些．
6. D【解析】A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
B．平行于同一直线的两条直线平行，正确；
C．直线 y=2x−1 与直线 y=2x+3 一定互相平行，正确；
D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，错误；应该是如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
7. C【解析】当 k>2 时，正比例函数 y=kx 图象经过 1，3 象限，一次函数 y=k−2x+k 的图象 1，2，3 象限；
当 0当 k<0 时，正比例函数 y=kx 图象经过 2，4 象限，一次函数 y=k−2x+k 的图象 2，3，4 象限，
当 k−2x+k=kx 时，x=k2<0，所以两函数交点的横坐标小于 0，选C．
8. C【解析】如图，连接 AC，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC=4，∠B=90∘，
∵AB=8，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=45，
∵ 折叠，
∴AD=ADʹ=4，
∴ 点 Dʹ 在以点 A 为圆心，AD 长为半径的圆上，
∴ 当点 Dʹ 在线段 AC 上时，CDʹ 值最小，
∴CDʹ 的最小值 =45−4．
9. B【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC=4，
∵E，F 恰好是 BD 的三等分点，
∴DE=EF=BF，
∵AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，
∴AN∥CM，
∴AM=BM=12AB=2，
又 ∵∠ABD=30∘，
则在 Rt△BFM 中，MF=12BM=1，BF=3，
同理：在 Rt△DEN 中，EN=1，
∴EN=MF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴MF∥EN，
∴ 四边形 MENF 是平行四边形，
∵E，F 恰好是 BD 的三等分点，
∴EF=BF=3，
∴ 四边形 MENF 的面积 =1×3=3．
故选：B．
10. C
【解析】设 N 坐标为 x,0，
若点 M 在第三象限，则 x<0，
若 ∠MNP=90∘，MN=NP，则 P0,0；
若 ∠NMP=90∘，MN=MP，则四边形 MNOP 是正方形，
∴ON=MP=−x，MN=PO=−x，
∴Mx,x，
∴x=2x+3，
∴x=−3，
∴P0,−3，
若 ∠MPN=90∘，MP=NP，
过点 P 作 PE⊥MN，
∴PE=ON=−x，MN=−2x，
∴Mx,2x，
∴2x=2x+3，方程无解，即这样的 P 点不存在．
若点 M 在第二象限，则 x<0，
若 ∠MNP=90∘，MN=NP，则 P0,0，
若 ∠NMP=90∘，MN=MP，则四边形 MNOP 是正方形，
∴ON=MP=−x，MN=PO=−x，
∴Mx,−x，
∴−x=2x+3，
∴x=−1，
∴P0,1，
若 ∠MPN=90∘，MP=NP，
过点 P 作 PE⊥MN，
∴PE=ON=−x，MN=−2x，
∴Mx,−2x，
∴−2x=2x+3，
∴x=−34，
∴P0,34，
当点 P 在第一象限，则 x>0，
∵Mx,2x+3，
∴x≠2x+3，
∴∠MNP≠90∘，∠NMP≠0，
若 ∠MPN=90∘，MP=NP，
过点 P 作 PE⊥MN，
∴PE=ON=x，MN=2x，
∴Mx,2x，
∴2x=2x+3，方程无解，则这样的 P 点不存在．
故 P0,0，0,1，0,−3，0,34，符合条件的点 P 有 4 个点．
第二部分
11. 4
【解析】∵b=1−2a+2a−1−2，
∴1−2a=0，解得：a=12，
则 b=−2，故 ab=12−2=4．
12. 5 或 7
【解析】当这个直角三角形的两直角边分别为 3 cm，4 cm 时，
则该三角形的斜边的长为：32+42=5cm；
当这个直角三角形的一条直角边为 3 cm，斜边为 4 cm 时，
则该三角形的另一条直角边的长为：42−32=7cm．
13. y=3x+2
【解析】设平移后直线的解析式为 y=3x+b．
把 0,2 代入直线解析式得 2=b，
解得 b=2．
所以平移后直线的解析式为 y=3x+2．
14. −12【解析】解不等式组 x>−x−1,x<0, 得 −12解不等式组 x>3x−1,x≥0,，得 0≤x<12，
综上可得，−1215. 8,33
【解析】∵ 点 A 坐标为 −3,0，
∴AO=3，
∵∠ADO=30∘，AO⊥DO，
∴AD=2AO=6，
∵DO=AD2−AO2，
∴DO=33，
∴D0,33，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=8，AB∥CD，
∴ 点 C 坐标 8,33．
16. ①②③④
【解析】如图，延长 EF 交 BC 的延长线于 G，取 AB 的中点 H，连接 FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF，故①正确；
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCGAAS，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90∘，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90∘，
∴BF=EF=FG，故②正确；
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确；
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，
∵CF∥BH，
∴ 四边形 BCFH 是平行四边形，
∵CF=BC，
∴ 四边形 BCFH 是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确．
第三部分
17. （1） 原式=33−23+33+2=433+2.
（2） 原式=15+2315−23=152−232=15−12=3.
18. （1） 5
【解析】∵∠BAD=10∘，∠DAE=30∘，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE=40∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=12180∘−∠BAC=70∘．
∵AD=AE，∠DAE=30∘，
∴∠ADE=∠AED=12180∘−∠DAE=75∘．
∵∠B=70∘，∠BAD=10∘，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=5∘．
（2） 20；10
【解析】∵AB=AC，∠ABC=60∘，
∴∠BAC=60∘，
∵AD=AE，∠ADE=70∘，
∴∠DAE=180∘−2∠ADE=40∘，
∴∠BAD=60∘−40∘=20∘，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60∘+20∘=80∘，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=10∘．
（3） 猜想：α=2β．
理由如下：设 ∠B=x，∠AED=y，
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠C=∠B=x，∠ADE=∠AED=y．
∵∠AED=∠CDE+∠C，
∴y=β+x，
∵∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE，
∴α+x=y+β=β+x+β，
∴α=2β．
19. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠BAF=∠F．
∵AF 平分 ∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF．
∴∠F=∠DAF．
∴AD=FD．
（2） ∵∠ADE=∠CDE=30∘，AD=FD，
∴DE⊥AF．
∵tan∠ADE=AEDE=33，DE=23，
∴AE=2．
∴S平行四边形ABCD=2S△ADE=AE⋅DE=43．
20. （1） 40
【解析】6+12+10+8+4=40．
（2） 30；50
【解析】众数是 30 元，中位数是 50 元．
（3） x=20×6+30×12+50×10+80×8+100×46+12+10+8+4=50.5 元，
答：平均数是 50.5 元．
（4） 1000×50.5=50500 元，
答：该校本学期计划购买课外书的总花费为 50500 元．
21. 如图即为所求作的菱形．
理由如下：
∵AB=AC，BD=AB，CD=AC，
∴AB=BD=CD=AC，
∴ 四边形 ABDC 是菱形．
22. （1） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+bk≠0，将 A−1,5，B3,−3 代入 y=kx+b，得：−k+b=5,3k+b=−3,
解得：k=−2,b=3.
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−2x+3．
当 x=2 时，y=−2x+3=−1，
∴ 点 P 的坐标为 2,−1，
即 a 的值为 −1．
（2） 设直线 AB 与 y 轴交于点 D，连接 OA，OP，如图所示．
当 x=0 时，y=−2x+3=3，
∴ 点 D 的坐标为 0,3．
S△AOP=S△AOD+S△POD=12OD⋅xA+12OD⋅xP=12×3×1+12×3×2=92．
23. （1） 连接 BD 交 AC 于 K．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AK=CK=8，
在 Rt△AKD 中，DK=AD2−AK2=6，
∵CD=CE，
∴EK=CE−CK=10−8=2，
在 Rt△DKE 中，DE=DK2+EK2=210．
（2） 过 H 作 HQ⊥CD 于 Q，过 G 作 GJ⊥CD 于 J．
∵CH⊥GF，
∴∠GJF=∠CQH=∠GPC=90∘，
∴∠QCH=∠JGF，
∵CH=GF，
∴△CQH≌△GJFAAS，
∴QH=CJ，
∵GC=GF，
∴∠QCH=∠JGF=∠CGJ，CJ=FJ=12CF，
∵GC=CH，
∴∠CHG=∠CGH，
∴∠CDH+∠QCH=∠HGJ+∠CGJ，
∴∠CDH=∠HGJ，
∵∠GJF=∠CQH=∠GPC=90∘，
∴∠CDH=∠HGJ=45∘，
∴DH=2QH，
∴2DH=2QH=CF．
24. （1） △ABC 是直角三角形．
由勾股定理可得：AC2=12+22=5，AC=5，
BC2=22+42=20，BC=20=25，
AB2=32+42=25，AB=25=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形．
（2） △ABC 的周长为：AC+BC+AB=5+25+5=35+5，
△ABC 的面积为：12AC⋅BC=12×5×25=5．
25. 如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 Dʹ，连接 CDʹ 交 AB 于点 Eʹ．
此时 △DCEʹ 的周长最小．
∵ 四边形 AOCB 是矩形，B−3,5，
∴OA=3，OC=5，
∵AD=2OD，
∴AD=2，OD=1，
∴ADʹ=AD=2，
∴Dʹ−5,0，
∵C0,5，
∴ 直线 CDʹ 的解析式为 y=x+5，
∴Eʹ−3,2．
26. （1） ∵ 点 E 是 AD 边的中点，
∴AE=ED，
∵AB∥CD，
∴∠NDE=∠MAE，
在 △NDE 和 △MAE 中，
∠NDE=∠MAE,DE=AE,∠NED=∠MEA,
∴△NDE≌△MAEASA，
∴ND=AM，
∵ND∥AM，
∴ 四边形 AMDN 是平行四边形．
（2） 2
当 AM=2 时，说明四边形是矩形．
∵E 是 AD 的中点，
∴AE=2，
∵AE=AM，∠EAM=60∘，
∴△AME 是等边三角形，
∴AE=EM，
∴AE=ED=EM，
∴∠AMD=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
故当 AM=2 时，四边形 AMDN 是矩形．