2019-2020学年上海市奉贤区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2019-2020学年上海市奉贤区九上期末数学试卷（一模），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知线段 a，b，c，如果 a:b:c=1:2:3，那么 a+bc+b 的值是
A. 13B. 23C. 35D. 53

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 ∠A 的正弦值是 14，那么下列各式正确的是
A. AB=4BCB. AB=4ACC. AC=4BCD. BC=4AC

3. 已知点 C 在线段 AB 上，AC=3BC，如果 AC=a，那么 BA 用 a 表示正确的是
A. 34aB. −34aC. 43aD. −43a

4. 下列命题中，真命题是
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似
B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似
D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似

5. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表：
x⋯01345⋯y⋯−57272−5−152⋯
根据如表，下列判断正确的是
A. 该抛物线开口向上
B. 该抛物线的对称轴是直线 x=1
C. 该抛物线一定经过点 −1,−152
D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的

6. 在 △ABC 中，AB=9，BC=2AC=12，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DE∥BC，AD=2BD，以 AD 为半径的 ⊙D 和以 CE 为半径的 ⊙E 的位置关系是
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 tanα=3，那么锐角 α 的度数是 ．

8. 若 a 与单位向量 e 方向相反，且长度为 3，则 a= （用单位向量 e 表示向量 a）．

9. 若一条抛物线的顶点在 y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 （只需写一个）．

10. 如果二次函数 y=ax−12a≠0 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是 ．

11. 抛物线 y=x2+bx+2 与 y 轴交于点 A，如果点 B2,2 和点 A 关于该抛物线的对称轴对称，那么 b 的值是 ．

12. 已知 △ABC 中，∠C=90∘，csA=34，AC=6，那么 AB 的长是 ．

13. 已知 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB 和 AC 的反向延长线上，若 ADAB=13，则当 AEEC 的值是 时，DE∥BC．

14. 小明从山脚 A 出发，沿坡度为 1:2.4 的斜坡前进了 130 米到达 B 点，那么他所在的位置比原来的位置升高了 米．

15. 如图，将 △ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 △AʹBʹCʹ 的位置，如果点 Aʹ 恰好是 △ABC 的重心，AʹBʹ 、 AʹCʹ 分别于 BC 交于点 M，N，那么 △AʹMN 的面积与 △ABC 的面积之比是 ．

16. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径 OA 的长为 1，如果用它的面积来近似估计 ⊙O 的面积，那么 ⊙O 的面积约是 ．

17. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果 E 是矩形 ABCD 的一个“直角点”，且 CD=3EC，那么 AD:AB 的值是 ．

18. 如图，已知矩形 ABCDAB>BC，将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90∘，点 A，D 分别落在点 E，F 处，连接 DF，如果点 G 是 DF 的中点，那么 ∠BEG 的正切值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知函数 y=−x−1x−3．
（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；
（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．
x⋯ ⋯y⋯ ⋯

20. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90∘，∠BAD=45∘，DC=2，AB=6，AE⊥BD，垂足为点 F．
（1）求 ∠DAE 的余弦值；
（2）设 DC=a，BC=b，用向量 a，b 表示 AE．

21. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，CD⊥AB，垂足为点 D，E 是 BC 的中点，OE 与弦 BC 交于点 F．
（1）如果 C 是 AE 的中点，求 AD:DB 的值；
（2）如果 ⊙O 的直径 AB=6，FO:EF=1:2，求 CD 的长．

22. 如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄 CD 垂直于水平地面 GQ，当点 P 与点 A 重合时，伞收紧；当点 P 由点 A 向点 B 移动时，伞慢慢撑开；当点 P 与点 B 重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度 CD 是 220 厘米，在它撑开的过程中，总有 PM=PN=CM=CN=50 厘米，CE=CF=120 厘米，BC=20 厘米．
（参考数据：sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，tan53∘≈1.3 ）
（1）当 ∠CPN=53∘，求 BP 的长?
（2）如图，当伞完全张开时，求点 E 到地面 GQ 的距离．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CB 的延长线上，连接 CE，EF，CE2=DE⋅CF．
（1）求证：∠D=∠CEF；
（2）连接 AC，交 EF 于点 G，如果 AC 平分 ∠ECF，求证：AC⋅AE=CB⋅CG．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A2,−3 和点 B5,0，顶点为 C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点 C 的坐标；
（2）点 A 关于抛物线对称轴的对应点为点 D，联结 OD，BD，求 ∠ODB 的正切值；
（3）将抛物线 y=x2+bx+c 向上平移 tt>0 个单位，使顶点 C 落在点 E 处，点 B 落在点 F 处，如果 BE=BF，求 t 的值．

25. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，AD=5，AB=5，tanA=2，点 E 在射线 AD 上，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为点 E，交射线 AB 于点 F，交射线 CB 于点 G，连接 CE，CF，设 AE=m．
（1）当点 E 在边 AD 上时，
①求 △CEF 的面积；（用含 m 的代数式表示）
②当 S△DCE=4S△BFG 时，求 AE:ED 的值；
（2）当点 E 在边 AD 的延长线上时，如果 △AEF 与 △CFG 相似，求 m 的值．
答案
第一部分
1. C
2. A【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A 正弦值是 14，
∴sinA=BCAB=14，
∴AB=4BC．
3. D【解析】∵ 点 C 在线段 AB 上，AC=3BC，AC=a，
∴BA=43AC，
∵BA 与 AC 方向相反，
∴BA=−43a．
4. B【解析】∵ 邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，
∴ 邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；
∵ 邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；
∵ 对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，
∴ 对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；
∵ 对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，
∴ 对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误．
5. C
【解析】因为抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 过点 1,72，3,72，
所以抛物线的对称轴是：直线 x=2，
故B错误；
因为由表格可知：当 x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，
所以该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，
故A，D错误；
因为该抛物线的对称轴是：直线 x=2，点 5,−152 在抛物线上，
所以该抛物线一定经过点 −1,−152，
故C正确．
6. B【解析】∵ 在 △ABC 中，AB=9，BC=2AC=12，DE∥BC，AD=2BD，如图：
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=23，即：DE=23BC=23×12=8，
∵ 以 AD 为半径的 ⊙D 和以 CE 为半径的 ⊙E 的半径分别为 6，2，即：6+2=8，
∴ 以 AD 为半径的 ⊙D 和以 CE 为半径的 ⊙E 的位置关系是：外切．
第二部分
7. 60∘
8. −3e
【解析】∵a 与单位向量 e 方向相反，且长度为 3，
∴a=−3e．
9. y=2x2（形如 y=ax2+ca≠0 即可）
10. a>0
【解析】∵ 二次函数 y=ax−12a≠0 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴ 二次函数 y=ax−12a≠0 的图象开口向上，
∴a>0．
11. −2
【解析】∵ 抛物线 y=x2+bx+2 与 y 轴交于点 A，
∴ 点 A 的坐标是：0,2，
∵ 点 B2,2 和点 A 关于该抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴是：直线 x=1，
即：−b2a=1，
∴−b2×1=1，解得：b=−2．
12. 8
13. 14
【解析】∵ 点 D，E 分别在边 AB 和 AC 的反向延长线上，
若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=13，
∴AEEC=14．
14. 50
【解析】设他所在的位置比原来的位置升高了 x 米．
∵ 坡度为 1:2.4，
∴ 他所在的位置比原来的位置水平移动了 2.4x 米，
∴2.4x2+x2=1302，解得 x=50．
15. 19
【解析】∵△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 △AʹBʹCʹ 的位置，
∴AʹM∥AB，AʹN∥AC，
∴∠AʹMN=∠B，∠AʹNM=∠C，
∴△AʹMN∽△ABC，
∵AD 和 AʹD 分别是 △AʹMN 和 △ABC 对应边上的中线，点 Aʹ 恰好是 △ABC 的重心，
∴AʹDAD=AʹMAB=13，
∴△AʹMN 的面积与 △ABC 的面积之比是：19．
16. 3
【解析】由题意得：∠O=30∘，AO=BO=1．
如图，作 AC⊥OB，则 AC=12AO=12×1=12．
∴△AOB 的面积是 1×12×12=14，
∴ 圆的内接正十二边形的面积是 14×12=3，即 ⊙O 的面积约是 3．
17. 23
【解析】∵E 是矩形 ABCD 的一个“直角点”，
∴∠AEB=90∘，
∴∠AED+∠BEC=90∘，
∵∠EAD+∠AED=90∘，
∴∠BEC=∠EAD，
∵∠D=∠C，
∴△BEC∽△EAD，
∴BCED=CEDA，
∵CD=3EC，
设 EC=x，则 AB=CD=3x，ED=2x，
∴BC2x=xDA，
∵AD=BC，
∴AD2=2x⋅x=2x2，即：AD=2x，
∴AD:AB=2x:3x=23．
18. 1
【解析】延长 EG 交 DC 于点 M．
∵ 点 G 是 DF 的中点，
∴DG=FG，
∵EF∥DC，
∴∠GDM=∠GFE，∠GMD=∠GEF，
在 △GMD 和 △GEF，
∵∠GDM=∠GFE,∠GMD=∠GEF,DG=FG,
∴△GMD≅△GEFAAS，
∴EF=MD，
∴BC=EF=MD，
∵DC=BE，
∴DC−MD=BE−BC，即 CM=CE，
∵∠MCE=90∘，
∴∠BEG=45∘，
∴∠BEG 的正切值是 1．
第三部分
19. （1） 开口向下；顶点 2,1；
当 x≤2，y 随 x 的增大而增大，
当 x≥2，y 随 x 的增大而减小．
（2） 略．
20. （1） 31010
（2） AE=3a+34b
21. （1） 1:3．
（2） 423．
22. （1） 40 厘米；
（2） 196 厘米．
23. （1） 证明略；
（2） 证明略．
24. （1） y=x2−6x+5；C3,−4．
（2） 3．
（3） 52．
25. （1） ① 25m−m2；② 3；
（2） 352 或 655．