2019-2020学年上海市松江区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年上海市松江区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列二次根式中最简二次根式为
A. 0.3xB. 2xC. x3yD. x2−1

2. 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是
A. 2 和 12B. 2 和 12
C. 2ab 和 ab3D. a−1 和 a+1

3. 下列函数中，y 随着 x 的增大而减小的是
A. y=3xB. y=3xC. y=−3xD. y=−3x

4. 某厂今年十月份的总产量为 500 吨，十二月份的总产量达到 720 吨．若平均每月增长率是 x，则可以列出方程
A. 5001+2x＝720B. 5001+x2＝720
C. 5001+x2＝720D. 7201−x2＝500

5. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是
A. 两个锐角分别对应相等
B. 两条直角边分别对应相等
C. 一条直角边和斜边分别对应相等
D. 一个锐角和一条斜边分别对应相等

6. 下列说法错误的是
A. 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B. 到点 P 距离等于 1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，半径长为 1 cm 的圆
C. 到直线 l 距离等于 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2 cm 的直线
D. 等腰 △ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：8×12= ．

8. 2−52= ．

9. 已知 x=3 是方程 x2−2x+m=0 的一个根，那么 m= ．

10. 在实数范围内分解因式：x2−3x−2= ．

11. 函数 y=xx−5 的定义域为 ．

12. 已知反比例函数 y=3m−1x 的图象有一分支在第二象限，那么常数 m 的取值范围是 ．

13. 已知直角坐标平面上点 P3,2 和 Q−1,5，那么 PQ= ．

14. “有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 命题（填“真”或“假”）．

15. 如图：在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AB 于点 E，F，∠AEF=65∘，那么 ∠CAE= ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90∘，AD 平分 ∠CAB，BC=12 cm，AC=9 cm，那么 BD 的长是 ．

17. 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AF⊥BC 于 F，M 是 CD 中点，AM 的延长线交 BC 的延长线于 E，AE⊥AB，∠B=60∘，AF=23，则梯形的面积是 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，已知 ∠C=90∘，∠B=55∘，点 D 在边 BC 上，BD=2CD．把 △ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0
三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：12−1+33−6+8．

20. 解方程：x2−13+x2=x．

21. 关于 x 的一元二次方程 x2+2m−1x+m2=0，其根的判别式的值为 9，求 m 的值及这个方程的根．

22. 如图在四边形 ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且 ∠B=90∘，求 ∠DAB 的度数．

23. 已知：y=y1+y2，并且 y1 与 x−1 成正比例，y2 与 x 成反比例．当 x=2 时，y=5；当 x=−2 时，y=−9．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）求当 x=8 时的函数值．

24. 如图，已知在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，∠CAD=∠CBD．
（1）求证：CD 平分 ∠ACB；
（2）点 E 是 AD 延长线上一点，CE=CA，CF∥BD 交 AE 于点 F，若 ∠CAD=15∘，求证：EF=BD．

25. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，正比例函数 y=3x 的图象与反比例函数 y=kxx>0 的图象都经过点 A2,m．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 B 在 x 轴上，且 OA=BA，反比例函数图象上有一点 C，且 ∠ABC=90∘，求点 C 坐标．

26. 已知：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，∠ABC=30∘，AC=4，点 D，E 分别是边 AB，AC 上动点，点 D 不与点 A，B 重合，DE∥BC．
（1）如图 1，当 AE=1 时，求 BD 长；
（2）如图 2，把 △DEA 沿着直线 DE 翻折得到 △DEF，设 CE=x．
①当点 F 落在斜边 BC 上时，求 x 的值；
②如图 3，当点 F 落在 Rt△ABC 外部时，EF，DF 分别与 BC 相交于点 H，G，如果 △ABC 和 △DEF 重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式及定义域．（直接写出答案）
答案
第一部分
1. D【解析】A、 原式=30x10，不符合题意；
B、 原式=2xx，不符合题意；
C、 原式=∣x∣xy，不符合题意；
D、原式为最简二次根式，符合题意，
故选：D．
2. B【解析】A．12=23，被开方数是 3，与 2 的被开方数 2 不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
B．12=22，被开方数是 2，与 2 的被开方数 2 相同，是同类二次根式，故本选项符合题意．
C．ab3=bab，被开方数是 ab，与 2ab 的被开方数 2ab 不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
D．a−1 和 a+1 的被开方数分别是 a−1，a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
3. C【解析】A，y=3x 中 k=3>0，y 随着 x 的增大而增大，不符合题意；
B，y=3x 中 k=3>0，在每个象限内 y 随着 x 的增大而减小，不符合题意；
C，y=−3x 中 k=−3<0，y 随着 x 的增大而减小，符合题意；
D，y=−3x 中 k=−3<0，在每个象限内 y 随着 x 的增大而增大，不符合题意．
4. B
5. A
【解析】A．两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B．可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C．可以利用边角边或 HL 判定两三角形全等，不符合题意；
D．可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
6. D【解析】在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，A正确；
到点 P 距离等于 1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，半径长为 1 cm 的圆，B正确；
到直线 l 距离等于 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2 cm 的直线，C正确；
等腰 △ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线（BC 的中点除外），D错误．
第二部分
7. 2
【解析】8×12=22×122=2.
故答案为：2．
8. 5−2
【解析】原式=∣2−5∣=−2−5=5−2.
9. −3
【解析】将 x=3 代入 x2−2x+m=0，
∴9−6+m=0，
∴m=−3，
故答案为：−3．
10. x−3+172x−3−172
【解析】令 x2−3x−2=0，则 a=1，b=−3，c=−2，
∴x=3±−32−4×1×−22×1=3±172，
∴x2−3x−2=x−3+172x−3−172．
11. x>5
【解析】根据题意得 x−5>0，解得 x>5．
12. m<13
【解析】∵ 反比例函数 y=3m−1x 的图象有一分支在第二象限，
∴3m−1<0，解得 m<13．
13. 5
【解析】∵P3,2 和 Q−1,5，
∴PQ=3+12+5−22=5．
14. 真
【解析】已知：△ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，∠A=∠Aʹ，∠B=∠Bʹ，∠B，∠Bʹ 的角平分线，BD=BʹDʹ，
求证：△ABC≌△AʹBʹCʹ．
证明：
∵∠B=∠Bʹ 且 ∠B，∠Bʹ 的角平分线分别为 BD 和 BʹDʹ，
∴∠ABD=∠AʹBʹDʹ=12∠B，
∵BD=BʹDʹ，∠A=∠Aʹ，
∴△ABD≌△AʹBʹDʹ，
∴AB=AʹBʹ，
∵∠A=∠Aʹ，∠B=∠Bʹ，
∴△ABC≌△AʹBʹCʹ．
∴“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题．
15. 40∘
【解析】∵AB 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AB 于点 E，F，
∴AF=BF，EF⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠BEF=∠AEF=65∘，
∴∠AEB=130∘，
∵∠C=90∘，
∴∠CAE=∠AEB−∠C=40∘．
16. 152 cm
【解析】作 DE⊥AB 于 E，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=92+122=15，
在 △ACD 和 △AED 中，
∠CAD=∠EAD,∠ACD=∠AED=90∘,AD=AD.
∴△ACD≌△AEDAAS
∴CD=ED，AE=AC=9，
∴BE=AB−AE=6，
在 Rt△BED 中，
BD2=DE2+BE2，
即 BD2=12−BD2+62，
解得，BD=152，
故答案为：152 cm．
17. 83
【解析】设 BF=x，
在 Rt△ABF 中，∠B=60∘，
∴∠BAF=30∘，
∴AB=2BF=2x，
由勾股定理得 2x2−x2=232，解得 x=2，
∴AB=4，
在 Rt△ABE 中，∠B=60∘，
∴∠AEB=30∘，
∴BE=2AB=8，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠CEM，
在 △DAM 和 △CEM 中，
∠DAM=∠CEM,∠AMD=∠CME,DM=CM,
∴△DAM≌△CEMAAS，
∴AD=CE，
∴AD+BC=CE+BC=BE=8，
∴ 梯形的面积 =12×AD+BC×AF=83．
18. 70 或 120
【解析】①当点 B 落在 AB 边上时，
∵DB=DB1，
∴∠B=∠DB1B=55∘，
∴m=∠BDB1=180−2×55=70，
②当点 B 落在 AC 上时，
在 Rt△DCB2 中，
∵∠C=90∘，DB2=DB=2CD，
∴∠CB2D=30∘，
∴m=∠C+∠CB2D=120，
故答案为 70 或 120．
第三部分
19. 原式=2+1+3−32+22=4.
20. 将方程整理为一般式为 2x2−3x−2=0，
∵x−22x+1=0，
∴x−2=0 或 2x+1=0，
解得 x=2 或 x=−0.5．
21. 由题意可知：Δ=2m−12−4m2=9，
∴m=−2，
∴ 该方程为：x2−5x+4=0，
∴x=1 或 x=4．
22. 如右图所示，连接 AC，
∵∠B=90∘，AB=BC=2，
∴AC=AB2+BC2=22，∠BAC=45∘，
又 ∵CD=3，DA=1，
∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，
∴AC2+DA2=CD2，
∴△ACD 是直角三角形，
∴∠CAD=90∘，
∴∠DAB=45∘+90∘=135∘．
23. （1） ∵y1 与 x−1 成正比例，y2 与 x 成反比例，
∴ 设 y1=k1x−1，y2=k2x，
∵y=y1+y2，
∴y=k1x−1+k2x，
∵ 当 x=2 时，y=5；当 x=−2 时，y=−9．
∴5=k1+k22,−9=−3k1−k22, 解得：k1=2,k2=6,
∴y 关于 x 的函数解析式为 y=2x−1+6x．
（2） 当 x=8 时，原式=2×7+34=1434．
24. （1） ∵AC=BC，∠CAD=∠CBD，CD=CD，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD，
又 ∵AC=BC，
∴△DCA≌△DCBSAS，
∴∠DCB=∠DCA．
（2） ∵△DCA≌△DCB，
∴∠CAD=∠CBD=15∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCA=∠DCB=45∘，
∴∠FDC=∠CAD+∠DCA=15∘+45∘=60∘，
∵CF∥BD，
∴∠DBC=∠FCB=15∘，
∴∠DCF=60∘，
∴△DCF 是等边三角形，
∴DC=CF，
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠E=15∘，
∴∠ACE=150∘，
∴∠DCB=∠FCE，
∴△DCB≌△FCESAS，
∴EF=BD．
25. （1） ∵ 正比例函数 y=3x 的图象经过点 A2,m，
∴m=23，
∴ 点 A 的坐标为 2,23，
∴k=43，
∴ 反比例函数的解析式为 y=43x．
（2） 作 AD⊥x 轴于 D，CE⊥x 轴于 E，
设点 C 的坐标为 x,43x，
∵AO=AB，AD⊥x 轴，
∴OD=DB=2，AD=23，
∵ 作 AD⊥x 轴，CE⊥x 轴，∠ABC=90∘，
∴△ADB∽△BEC，
∴ADBE=DBCE，即 23x−4=243x，
解得 x1=−2（舍去），x2=6，
则点 C 的坐标为 6,233．
26. （1） ∵∠A=90∘，∠ABC=30∘，AC=4，
∴AB=3AC=43，
∵DE∥BC．
∴∠ABC=∠ADE=30∘，且 ∠A=90∘，AE=1，
∴AD=3，
∴DB=AB−AD=33．
（2） ① ∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB，∠DEF=∠CFE，
∵ 把 △DEA 沿着直线 DE 翻折得到 △DEF，
∴∠AED=∠DEF，AE=EF，
∴∠ACB=∠CFE，
∴CE=EF，
∴AE=CE=12AC=2．
② y=−332x2+43x0【解析】② ∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠EDF=∠DGB，∠DEF=∠EHC
∵ 把 △DEA 沿着直线 DE 翻折得到 △DEF，
∴∠AED=∠DEF，∠ADE=∠EDF，AE=EF，AD=DF，
∴∠DGB=∠B，∠EHC=∠C，
∴EC=EH=x，DG=DB，
∵CE=x，
∴AE=4−x，且 ∠A=90∘，∠ADE=∠ABC=30∘，
∴AD=34−x，DB=AB−AD=43−34−x=3x，
∴S△DEF=S△ADE=12AD×AE=324−x2，
∵FH=EF−EH=4−x−x=4−2x，
GF=DF−DG=34−x−3x=43−23x，
∴S△FHG=12×FH×FG=124−2x×43−23x=324−2x2,
∴y=S△DEF−S△FHG=324−x2−324−2x2=−332x2+43x0