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2018-2019学年广东省佛山市顺德区八下期末数学试卷
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这是一份2018-2019学年广东省佛山市顺德区八下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 不等式 x≥−3 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.
2. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是
A.
角
B.
直角三角形
C.
平行四边形
D.
等腰三角形
3. 若 xA. x+2>y+2B. x2>y2C. x−2>y−2D. −2x>−2y
4. 一个多边形的内角和是 540∘，这个多边形是
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
5. 如图是一次函数 y=kx+b（k，b 是常数）的图象，则不等式 kx+b>0 的解集是
A. x<−2B. x>−2C. x>2D. x<2
6. 下列分式运算中，正确的是
A. 1x+1y=1x+yB. x+ax+b=abC. x2−y2x−y=x+yD. ab⋅cd=adbc
7. 等腰 △ABC 的两条边长分别为 3 和 4，则其周长等于
A. 10B. 11C. 10 或 11D. 不确定
8. 下列命题是假命题的是
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 若 a=b，则 a2=b2
D. 若 a>b，则 a2>b2
9. 若三角形三边长 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+ac+bc，则 △ABC 的形状为
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 不等边三角形D. 无法确定
10. 如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD，BC 上的点，且 BE∥DF，AC 分别交 BE，DF 于点 G，H．下列结论：
①四边形 BFDE 是平行四边形；
② △AGE≌△CHF；
③ BG=DH；
④ S△AGE:S△CDH=GE:DH．
其中正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：x2+6x= ．
12. 要使分式 1x+3 有意义，则 x 的取值范围为 ．
13. 若 x2+mx+1 是完全平方式，则 m= ．
14. 如图，点 E，F 分别是平行四边形 ABCD 的两边 AD，DC 的中点．若 △ABC 的周长是 30，则 △DEF 的周长是 ．
15. 如图，等腰 △ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，∠DBC=15∘，则 ∠A 的度数是 度．
16. 已知不等式 2x−a<1,x−2b>3 的解集为 −1
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组 2x−1>−3,1+2x3≥x−1.
18. 先化简，再求值：x2−4x+4x2−1÷1−1x−1，其中 x=3．
19. A 城市到 B 城市铁路里程是 300 千米，若旅客从 A 城市到 B 城市可选择高铁和动车两种交通工具，高铁速度是动车速度的 1.5 倍，时间相差 30 分钟，求高铁的速度．
20. 如图，△ABC 中，∠C=90∘．
（1）用尺规作图法在 BC 上找一点 D，使得点 D 到边 AC，AB 的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）．
（2）在（1）的条件下，若 CD=1，∠B=30∘，求 AB 的长．
21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，点 E 为 AB 的中点，连接 CE 并延长与 DA 的延长线相交于点 F，连接 DE．
（1）求证：△AEF≌△BEC；
（2）求证：DE 是 ∠CDF 的平分线．
22. 如图，点 O 为平面直角坐标系的原点，点 A 在 x 轴的正半轴上，正方形 OABC 的边长是 3，点 D 在 AB 上，且 AD=1，将 △OAD 绕着点 O 逆时针旋转得到 △OCE．
（1）求证：OE⊥OD；
（2）在 x 轴上找一点 P，使得 PD+PE 的值最小，求出点 P 的坐标．
23. 已知一次函数 y1=−x+1，y2=−3x+2．
（1）若方程 y1=a+y2 的解是正数，求 a 的取值范围．
（2）若以 x，y 为坐标的点 x,y 在已知的两个一次函数图象上，求 12x2+12xy+3y2 的值；
（3）若 4−2x3x−2x−1=Ay1+8y2，求 A 的值．
24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D，E 分别是 AB，AC 的中点，延长 BC 到 F，使得 CF=12BC，连接 CD，EF．
（1）求证：四边形 CDEF 为平行四边形；
（2）若四边形 CDEF 的周长是 32，AC=16，求 △ABC 的面积；
（3）在（2）的条件下，求点 F 到直线 CD 的距离．
25. 将 △AOB 沿直线 OB 平移到 △DBC 的位置，连接 AD，AC．
（1）如图 1，写出线段 OA 与 BD 的关系 ；
（2）如图 1，求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2；
（3）如图 2，当 △AOB 是边长为 2 的等边三角形时，以点 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系．求出点 P 的坐标，使得以 O，C，D，P 为顶点的四边形是平行四边形．
答案
第一部分
1. A【解析】由于 x≥−3，所以表示 −3 的点应该是实心点，射线的方向应该是向右．
2. C【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
3. D【解析】A、不等式的两边都加 2，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都除以 2，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都减 2，不等号的方向不变，故C错误；
D 、不等式的两边都乘以 −2，不等号的方向改变，故D正确．
4. A【解析】设多边形的边数是 n，
则 n−2⋅180∘=540∘，
解得 n=5，
∴ 这个多边形是五边形．
5. B
【解析】从图象得知一次函数 y=kx+b（k，b 是常数）的图象经过点 −2,0，并且函数值 y 随 x 的增大而增大，
所以不等式 kx+b>0 的解集是 x>−2．
6. C【解析】因为 1x+1y=x+yxy，故选项A错误；
因为 x+ax+b≠abx≠0，故选项B错误；
因为 x2−y2x−y=x+yx−yx−y=x+y，故选项C正确；
因为 ab⋅cd=acbd，故选项D错误．
7. C【解析】① 3 是腰长时，三角形的三边分别为 3，3，4，
能组成三角形，周长 =3+3+4=10；
② 3 是底边长时，三角形的三边分别为 3，4，4，
能组成三角形，周长 =3+4+4=11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11．
8. D【解析】A、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题：
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题；
C、若 a=b，则 a2=b2，正确，是真命题；
D、若 a>b，则 a2>b2，当 a=2，b=−3 时错误，是假命题．
9. B【解析】由 a2+b2+c2=ab+ac+bc，
可以得出 2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc．
故有 a−b2+a−c2+b−c2=0 成立．
因此可得 a=b=c．
由等边三角形的定义可知 △ABC 是等边三角形．
10. D
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，
∵BE∥DF，AD∥BC，
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，故①正确．
∵ 四边形 BEDF 是平行四边形，
∴BF=DE，DF=BE，
∴AE=FC，
∵AD∥BC，BE∥DF，
∴∠DAC=∠ACB，∠ADF=∠DFC，∠AEB=∠ADF，
∴∠AEB=∠DFC，且 ∠DAC=∠ACB，AE=CF，
∴△AGE≌△CHFASA，故②正确．
∵△AGE≌△CHF，
∴GE=FH，且 BE=DF，
∴BG=DH，故③正确．
∵△AGE≌△CHF，
∴S△AGE=S△CHF，
∵S△CHF:S△CDH=FH:DH，
∴S△AGE:S△CDH=GE:DH．
故④正确．
第二部分
11. xx+6
【解析】原式=x6+x．
12. x≠−3
【解析】由题意得，x+3≠0，解得 x≠−3．
13. ±2
【解析】由于 x±12=x2±2x+1=x2+mx+1，
∴m=±2．
14. 15
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵ 点 E，F 分别是平行四边形 ABCD 的两边 AD，DC 的中点，
∴AE=DE，DF=CF，
∴EF=12AC，
∵△ABC 的周长是 30，
∴△ADC 的周长是 30，
∴△DEF 的周长 =DE+EF+DF=12AD+DC+AC=12×30=15．
15. 50
【解析】∵DM 是 AB 的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A，
∵ 等腰 △ABC 中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180∘−∠A2，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=180∘−∠A2−∠A=15∘，
解得：∠A=50∘．
16. −6
【解析】由 2x−a<1,x−2b>3 得 x3+2b,
∵−1 ∴a+12=1，3+2b=−1，
解得 a=1，b=−2，
∴a+1b−1=1+1−2−1=−6．
第三部分
17. 解不等式 2x−1>−3，得
x>−1.
解不等式 1+2x3≥x−1，得：
x≤4.
则不等式组的解集为
−118. 原式=x−22x−1x+1÷x−2x−1=x−22x−1x+1×x−1x−2=x−2x+1.
当 x=3 时，原式=3−23+1=14．
19. 设动车速度为 x 公里/小时，则高铁速度为 1.5x 公里/小时，
依题意，得：
300x−3001.5x=12.
解得：
x=200.
经检验，x=200 是原分式方程的根，且符合题意．
∴1.5x=300．
答：高铁速度为 300 公里/小时．
20. （1） 如图所示，点 D 即为所求．
（2） ∵∠C=90∘，∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，
由（1）知 AD 是 ∠BAC 平分线，
∴∠BAD=∠CAD=30∘，
在 Rt△ACD 中，∵CD=1，
∴AD=2CD=2，则 AC=AD2−CD2=22−12=3，
∴AB=2AC=23．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠F=∠BCE，
∵E 是 AB 中点，
∴AE=EB，
在 △AEF 和 △BEC 中，
∵∠F=∠BCE,∠AEF=∠BEC,AE=EB,
∴△AEF≌△BECAAS．
（2） 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE，
∵AB=2BC，点 E 为 AB 的中点，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE 是 ∠CDF 的平分线．
22. （1） ∵ 将 △OAD 绕着点 O 逆时针旋转得到 △OCE，
∴∠AOD=∠COE，
∵ 四边形 OABC 是正方形，
∴∠AOC=90∘，
∴∠AOD+∠COD=∠COE+∠COD=90∘，
∴OE⊥OD．
（2） ∵OA=3，AD=1，
∴D3,1，
作 D 关于 x 轴的对称点 F 连接 EF 交 x 轴于 P，
则此时，PD+PE 的值最小，
∵D3,1，
∴F3,−1，
∵ 将 △OAD 绕着点 O 逆时针旋转 90∘ 得到 △OCE，
∴E−1,3，
设直线 EF 的解析式为 y=kx+b，
∴3=−k+b,−1=3k+b,
∴k=−1,b=2,
∴ 直线 EF 的解析式为 y=−x+2，
当 y=0 时，x=2，
∴P2,0．
23. （1） ∵y1=a+y2 的解是正数，
∴−x+1=a−3x+2，
解得 x=a+12，
∴a+12>0，
解得 a>−1．
（2） ∵ 以 x，y 为坐标的点 x,y 在已知的两个一次函数图象上，
∴y=−x+1, ⋯⋯①y=−3x+2. ⋯⋯②
①+② 得，2y=−4x+3，
∴2x+y=32，
12x2+12xy+3y2=32x+y2=3×322=274.
（3） ∵y1=−x+1，y2=−3x+2，4−2x3x−2x−1=Ay1+8y2，
∴4−2x3x−2x−1=A−x+1+8−3x+2，
4−2x3x−2x−1=A−3x+23x−2x−1+8−x+13x−2x−1，
4−2x3x−2x−1=−3A−8x+2A+83x−2x−1，
∴−3A−8=−2,2A+8=4.
解得 A=−2．
24. （1） 如图．
∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，F 是 BC 延长线上的一点，
∴ED 是 Rt△ABC 的中位线，
∴ED∥FC．DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE=CF，
∴ 四边形 CDEF 是平行四边形．
（2） ∵ 四边形 CDEF 为平行四边形，
∴DC=EF，
∵DC 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∴AB=2DC，
∴ 四边形 DCFE 的周长 =AB+BC，
∵ 四边形 DCFE 的周长为 32，AC 的长 16，
∴BC=32−AB，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，
∴AB2=BC2+AC2，即 AB2=32−AB2+162，解得 AB=20，
∴BC=12，
∴△ABC 的面积 =12×12×16=96．
（3） 过 F 作 FH⊥DC 于 H．
∴∠H=∠ECF=90∘，
∵∠EFC=∠FCH，
∴△ECF∽△FHC，
∴FHCE=CFCD，
∴FH8=662+82，
∴FH=245，
∴ 点 F 到直线 CD 的距离为 245．
25. （1） OA=BD
【解析】由平移的性质可知：OA=BD．
（2） 如图 1 中，过 A 作 AG⊥BC 于 G，DH⊥BC 于 H，
∴∠AGB=∠DHC=90∘，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，AB=DC，AB∥DC，
∴∠ABG=∠DCH，
在 △ABG 和 △DCH 中，
∠ABC=∠DCH,∠AGB=∠DHC,AB=CD,
∴△ABG≌△DCHAAS，
∴BG=CH，AG=DH，
由勾股定理得：AC2=AG2+CG2，
BD2=DH2+BC−CH2，
AB2=AG2+BG2，
∴AC2+BD2=AG2+CG2+DH2+BC−CH2=2AG2+BC+BG2+BC−BG2=2AG2+2BC2+2BG2=2AB2+2BC2=AB2+BC2+CD2+DA2.
（3） 如图 2 中，满足条件的点 P 如图所示．
由题意 △ABO 是等边三角形，边长为 2，
∴AO=OB=AB=BC=CD=BD=AD=2，
∴A1,3，
可知 P−1,3，Pʹ1,−3，Pʺ7,3．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 不等式 x≥−3 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.
2. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是
A.
角
B.
直角三角形
C.
平行四边形
D.
等腰三角形
3. 若 x
4. 一个多边形的内角和是 540∘，这个多边形是
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
5. 如图是一次函数 y=kx+b（k，b 是常数）的图象，则不等式 kx+b>0 的解集是
A. x<−2B. x>−2C. x>2D. x<2
6. 下列分式运算中，正确的是
A. 1x+1y=1x+yB. x+ax+b=abC. x2−y2x−y=x+yD. ab⋅cd=adbc
7. 等腰 △ABC 的两条边长分别为 3 和 4，则其周长等于
A. 10B. 11C. 10 或 11D. 不确定
8. 下列命题是假命题的是
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 若 a=b，则 a2=b2
D. 若 a>b，则 a2>b2
9. 若三角形三边长 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+ac+bc，则 △ABC 的形状为
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 不等边三角形D. 无法确定
10. 如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD，BC 上的点，且 BE∥DF，AC 分别交 BE，DF 于点 G，H．下列结论：
①四边形 BFDE 是平行四边形；
② △AGE≌△CHF；
③ BG=DH；
④ S△AGE:S△CDH=GE:DH．
其中正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：x2+6x= ．
12. 要使分式 1x+3 有意义，则 x 的取值范围为 ．
13. 若 x2+mx+1 是完全平方式，则 m= ．
14. 如图，点 E，F 分别是平行四边形 ABCD 的两边 AD，DC 的中点．若 △ABC 的周长是 30，则 △DEF 的周长是 ．
15. 如图，等腰 △ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，∠DBC=15∘，则 ∠A 的度数是 度．
16. 已知不等式 2x−a<1,x−2b>3 的解集为 −1
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组 2x−1>−3,1+2x3≥x−1.
18. 先化简，再求值：x2−4x+4x2−1÷1−1x−1，其中 x=3．
19. A 城市到 B 城市铁路里程是 300 千米，若旅客从 A 城市到 B 城市可选择高铁和动车两种交通工具，高铁速度是动车速度的 1.5 倍，时间相差 30 分钟，求高铁的速度．
20. 如图，△ABC 中，∠C=90∘．
（1）用尺规作图法在 BC 上找一点 D，使得点 D 到边 AC，AB 的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）．
（2）在（1）的条件下，若 CD=1，∠B=30∘，求 AB 的长．
21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，点 E 为 AB 的中点，连接 CE 并延长与 DA 的延长线相交于点 F，连接 DE．
（1）求证：△AEF≌△BEC；
（2）求证：DE 是 ∠CDF 的平分线．
22. 如图，点 O 为平面直角坐标系的原点，点 A 在 x 轴的正半轴上，正方形 OABC 的边长是 3，点 D 在 AB 上，且 AD=1，将 △OAD 绕着点 O 逆时针旋转得到 △OCE．
（1）求证：OE⊥OD；
（2）在 x 轴上找一点 P，使得 PD+PE 的值最小，求出点 P 的坐标．
23. 已知一次函数 y1=−x+1，y2=−3x+2．
（1）若方程 y1=a+y2 的解是正数，求 a 的取值范围．
（2）若以 x，y 为坐标的点 x,y 在已知的两个一次函数图象上，求 12x2+12xy+3y2 的值；
（3）若 4−2x3x−2x−1=Ay1+8y2，求 A 的值．
24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D，E 分别是 AB，AC 的中点，延长 BC 到 F，使得 CF=12BC，连接 CD，EF．
（1）求证：四边形 CDEF 为平行四边形；
（2）若四边形 CDEF 的周长是 32，AC=16，求 △ABC 的面积；
（3）在（2）的条件下，求点 F 到直线 CD 的距离．
25. 将 △AOB 沿直线 OB 平移到 △DBC 的位置，连接 AD，AC．
（1）如图 1，写出线段 OA 与 BD 的关系 ；
（2）如图 1，求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2；
（3）如图 2，当 △AOB 是边长为 2 的等边三角形时，以点 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系．求出点 P 的坐标，使得以 O，C，D，P 为顶点的四边形是平行四边形．
答案
第一部分
1. A【解析】由于 x≥−3，所以表示 −3 的点应该是实心点，射线的方向应该是向右．
2. C【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
3. D【解析】A、不等式的两边都加 2，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都除以 2，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都减 2，不等号的方向不变，故C错误；
D 、不等式的两边都乘以 −2，不等号的方向改变，故D正确．
4. A【解析】设多边形的边数是 n，
则 n−2⋅180∘=540∘，
解得 n=5，
∴ 这个多边形是五边形．
5. B
【解析】从图象得知一次函数 y=kx+b（k，b 是常数）的图象经过点 −2,0，并且函数值 y 随 x 的增大而增大，
所以不等式 kx+b>0 的解集是 x>−2．
6. C【解析】因为 1x+1y=x+yxy，故选项A错误；
因为 x+ax+b≠abx≠0，故选项B错误；
因为 x2−y2x−y=x+yx−yx−y=x+y，故选项C正确；
因为 ab⋅cd=acbd，故选项D错误．
7. C【解析】① 3 是腰长时，三角形的三边分别为 3，3，4，
能组成三角形，周长 =3+3+4=10；
② 3 是底边长时，三角形的三边分别为 3，4，4，
能组成三角形，周长 =3+4+4=11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11．
8. D【解析】A、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题：
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题；
C、若 a=b，则 a2=b2，正确，是真命题；
D、若 a>b，则 a2>b2，当 a=2，b=−3 时错误，是假命题．
9. B【解析】由 a2+b2+c2=ab+ac+bc，
可以得出 2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc．
故有 a−b2+a−c2+b−c2=0 成立．
因此可得 a=b=c．
由等边三角形的定义可知 △ABC 是等边三角形．
10. D
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，
∵BE∥DF，AD∥BC，
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，故①正确．
∵ 四边形 BEDF 是平行四边形，
∴BF=DE，DF=BE，
∴AE=FC，
∵AD∥BC，BE∥DF，
∴∠DAC=∠ACB，∠ADF=∠DFC，∠AEB=∠ADF，
∴∠AEB=∠DFC，且 ∠DAC=∠ACB，AE=CF，
∴△AGE≌△CHFASA，故②正确．
∵△AGE≌△CHF，
∴GE=FH，且 BE=DF，
∴BG=DH，故③正确．
∵△AGE≌△CHF，
∴S△AGE=S△CHF，
∵S△CHF:S△CDH=FH:DH，
∴S△AGE:S△CDH=GE:DH．
故④正确．
第二部分
11. xx+6
【解析】原式=x6+x．
12. x≠−3
【解析】由题意得，x+3≠0，解得 x≠−3．
13. ±2
【解析】由于 x±12=x2±2x+1=x2+mx+1，
∴m=±2．
14. 15
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵ 点 E，F 分别是平行四边形 ABCD 的两边 AD，DC 的中点，
∴AE=DE，DF=CF，
∴EF=12AC，
∵△ABC 的周长是 30，
∴△ADC 的周长是 30，
∴△DEF 的周长 =DE+EF+DF=12AD+DC+AC=12×30=15．
15. 50
【解析】∵DM 是 AB 的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A，
∵ 等腰 △ABC 中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180∘−∠A2，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=180∘−∠A2−∠A=15∘，
解得：∠A=50∘．
16. −6
【解析】由 2x−a<1,x−2b>3 得 x
∵−1
解得 a=1，b=−2，
∴a+1b−1=1+1−2−1=−6．
第三部分
17. 解不等式 2x−1>−3，得
x>−1.
解不等式 1+2x3≥x−1，得：
x≤4.
则不等式组的解集为
−1
当 x=3 时，原式=3−23+1=14．
19. 设动车速度为 x 公里/小时，则高铁速度为 1.5x 公里/小时，
依题意，得：
300x−3001.5x=12.
解得：
x=200.
经检验，x=200 是原分式方程的根，且符合题意．
∴1.5x=300．
答：高铁速度为 300 公里/小时．
20. （1） 如图所示，点 D 即为所求．
（2） ∵∠C=90∘，∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，
由（1）知 AD 是 ∠BAC 平分线，
∴∠BAD=∠CAD=30∘，
在 Rt△ACD 中，∵CD=1，
∴AD=2CD=2，则 AC=AD2−CD2=22−12=3，
∴AB=2AC=23．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠F=∠BCE，
∵E 是 AB 中点，
∴AE=EB，
在 △AEF 和 △BEC 中，
∵∠F=∠BCE,∠AEF=∠BEC,AE=EB,
∴△AEF≌△BECAAS．
（2） 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE，
∵AB=2BC，点 E 为 AB 的中点，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE 是 ∠CDF 的平分线．
22. （1） ∵ 将 △OAD 绕着点 O 逆时针旋转得到 △OCE，
∴∠AOD=∠COE，
∵ 四边形 OABC 是正方形，
∴∠AOC=90∘，
∴∠AOD+∠COD=∠COE+∠COD=90∘，
∴OE⊥OD．
（2） ∵OA=3，AD=1，
∴D3,1，
作 D 关于 x 轴的对称点 F 连接 EF 交 x 轴于 P，
则此时，PD+PE 的值最小，
∵D3,1，
∴F3,−1，
∵ 将 △OAD 绕着点 O 逆时针旋转 90∘ 得到 △OCE，
∴E−1,3，
设直线 EF 的解析式为 y=kx+b，
∴3=−k+b,−1=3k+b,
∴k=−1,b=2,
∴ 直线 EF 的解析式为 y=−x+2，
当 y=0 时，x=2，
∴P2,0．
23. （1） ∵y1=a+y2 的解是正数，
∴−x+1=a−3x+2，
解得 x=a+12，
∴a+12>0，
解得 a>−1．
（2） ∵ 以 x，y 为坐标的点 x,y 在已知的两个一次函数图象上，
∴y=−x+1, ⋯⋯①y=−3x+2. ⋯⋯②
①+② 得，2y=−4x+3，
∴2x+y=32，
12x2+12xy+3y2=32x+y2=3×322=274.
（3） ∵y1=−x+1，y2=−3x+2，4−2x3x−2x−1=Ay1+8y2，
∴4−2x3x−2x−1=A−x+1+8−3x+2，
4−2x3x−2x−1=A−3x+23x−2x−1+8−x+13x−2x−1，
4−2x3x−2x−1=−3A−8x+2A+83x−2x−1，
∴−3A−8=−2,2A+8=4.
解得 A=−2．
24. （1） 如图．
∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，F 是 BC 延长线上的一点，
∴ED 是 Rt△ABC 的中位线，
∴ED∥FC．DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE=CF，
∴ 四边形 CDEF 是平行四边形．
（2） ∵ 四边形 CDEF 为平行四边形，
∴DC=EF，
∵DC 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∴AB=2DC，
∴ 四边形 DCFE 的周长 =AB+BC，
∵ 四边形 DCFE 的周长为 32，AC 的长 16，
∴BC=32−AB，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，
∴AB2=BC2+AC2，即 AB2=32−AB2+162，解得 AB=20，
∴BC=12，
∴△ABC 的面积 =12×12×16=96．
（3） 过 F 作 FH⊥DC 于 H．
∴∠H=∠ECF=90∘，
∵∠EFC=∠FCH，
∴△ECF∽△FHC，
∴FHCE=CFCD，
∴FH8=662+82，
∴FH=245，
∴ 点 F 到直线 CD 的距离为 245．
25. （1） OA=BD
【解析】由平移的性质可知：OA=BD．
（2） 如图 1 中，过 A 作 AG⊥BC 于 G，DH⊥BC 于 H，
∴∠AGB=∠DHC=90∘，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，AB=DC，AB∥DC，
∴∠ABG=∠DCH，
在 △ABG 和 △DCH 中，
∠ABC=∠DCH,∠AGB=∠DHC,AB=CD,
∴△ABG≌△DCHAAS，
∴BG=CH，AG=DH，
由勾股定理得：AC2=AG2+CG2，
BD2=DH2+BC−CH2，
AB2=AG2+BG2，
∴AC2+BD2=AG2+CG2+DH2+BC−CH2=2AG2+BC+BG2+BC−BG2=2AG2+2BC2+2BG2=2AB2+2BC2=AB2+BC2+CD2+DA2.
（3） 如图 2 中，满足条件的点 P 如图所示．
由题意 △ABO 是等边三角形，边长为 2，
∴AO=OB=AB=BC=CD=BD=AD=2，
∴A1,3，
可知 P−1,3，Pʹ1,−3，Pʺ7,3．
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