2020-2021学年安徽省九年级（上）月考数学试卷（二）

这是一份2020-2021学年安徽省九年级（上）月考数学试卷（二），共30页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省九年级（上）月考数学试卷（二）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知2a＝3b，则的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（4分）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
3．（4分）如图，点D在△ABC的边AB上，DE∥BC，DE交AC于点E，EF∥AB交BC于点F，下列比例式不成立的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（4分）把二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1配方成顶点形式y＝﹣2（x+h）2+k，则h，k的值分别为（　　）
A．h＝﹣1，k＝1 B．h＝﹣1，k＝﹣2 C．h＝1，k＝1 D．h＝1，k＝﹣3
5．（4分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（　　）

A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE•CD＝CA•CB D．＝
6．（4分）肚脐眼是人上下身的分界点，已知某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，若该人的身高约为1.8米，则他的上身长度约为（　　）（精确到0.1米）
A．0.9米 B．1.0米 C．1.1米 D．1.2米
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，AD＝10，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A与点C重合，折痕与AB交于点M，与CD交于点N，则线段MN的长是（　　）

A．5 B．12 C． D．
8．（4分）已知抛物线y＝﹣x2﹣4x+5，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴上
B．当x＞﹣2时，函数值y随x的增大而减小
C．若2≤x≤5，则函数一定有最大值是9
D．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（5，0）
9．（4分）如图，△ABC中，CA＝CB＝5cm，AB＝8cm，直线l经过点A且垂直于AB，现将直线l以1cm/s的速度向右匀速移动，直至经过点B时停止移动，直线l与边AB交于点M，与边AC（或CB）交于点N．若直线l移动的时间是x（s）、△AMN的面积为y（cm2），则y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
10．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，点D、E分别在边AB，BC上，且∠CDE＝45°，下列结论中：①△CAD∽△DBE；②若点D是AB的中点，则点E也是BC的中点；③若点D是AB的三等分点，则BE的长是，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知a＝3，b＝6，则a，b的比例中项是　 　．
12．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则a+b+c　 　0（填“＞”或“＝”或“＜”）．

13．（5分）如图，点A（2，4）在第一象限，点B（b，3）在第二象限，且OA⊥OB，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过点B，则k的值为　 　．

14．（5分）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，过点C作CG⊥BE于G，CG的延长线交AD于F，连接DG并延长交BC于H，且点H恰好是BC的中点．
（1）若∠CBE＝35°，则∠CDH＝　 　°．
（2）若CE＝6，DE＝2，则DF的长是　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知a：b：c＝2：3：4，求的值．
16．（8分）如图，抛物线y＝2x2+bx﹣2过点A（﹣1，m）和B（5，m）．
（1）求b和m的值；
（2）若抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点，此时从镜子中恰好看到树顶的A点，已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，求大树AB的高度．

18．（8分）如图，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．
（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1与△ABC的位似比是　 　．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知△ABC的面积为S，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC．
【填空】（1）如图1，若AD：DB＝1：1，则四边形DECB的面积a1＝　 　（用含S的式子表示，下同）；
（2）如图2，若AD：DB＝1：2，则四边形DECB的面积a2＝　 　；
（3）如图3，若AD：DB＝1：3，则四边形DECB的面积a3＝　 　；以此类推，…
【猜想】根据上述规律猜想，若AD：DB＝1：n，则四边形DECB的面积an＝　 　；
【应用】计算a1•a2•a3…a10．

20．（10分）喷洒酒精能有效杀灭“新型冠状肺炎”病毒．根据实验知道喷洒酒精在教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：h）的函数表达式为y＝．其大致图象如图所示．请根据以上信息解答下列问题：
（1）试确定点A的坐标；
（2）根据经验，当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，请通过计算说明单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为多少小时？

六、（本题满分12分）
21．（12分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（mk≠0）的图象相交于点A（1，6）和点B（n，﹣2）．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且△PAB的面积为12，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集．

七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（6，n）
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上位于点B、C之间的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，△APC的面积最大，并求出其最大值；
（3）在y轴上是否存在点M，使△BMC与△BAO相似？若存在，直接写出点M的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．

八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，E，F三点在一条直线上，连接FA并延长交边CB的延长线于点H．
（1）求证：△HCA∽△HFC；
（2）求的值；
（3）若HC＝6，HB＝2，求正方形AEFG的边长．


2020-2021学年安徽省九年级（上）月考数学试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知2a＝3b，则的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据已知条件得出＝，再把要求的式子化成﹣1，再代值计算即可得出答案．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝；
故选：A．
2．（4分）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k＜0即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2，
故选：D．
3．（4分）如图，点D在△ABC的边AB上，DE∥BC，DE交AC于点E，EF∥AB交BC于点F，下列比例式不成立的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴C错误，符合题意；
∵DE∥BC，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
故选：C．
4．（4分）把二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1配方成顶点形式y＝﹣2（x+h）2+k，则h，k的值分别为（　　）
A．h＝﹣1，k＝1 B．h＝﹣1，k＝﹣2 C．h＝1，k＝1 D．h＝1，k＝﹣3
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到h、k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴h＝﹣1，k＝1，
故选：A．
5．（4分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（　　）

A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE•CD＝CA•CB D．＝
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：∵CE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DCA＝90°﹣∠BCD，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠DAC＝∠A，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，
∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠CBA﹣∠BCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴A不符合题意，
∵点B是DE的中点，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴B不符合题意，
∵CE•CD＝CA•CB，
∴＝，
∵∠BCE＝∠DCA，
∴△CEB∽△CAD，
∴C不符合题意．
由＝，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，
∴D符合题意，
故选：D．
6．（4分）肚脐眼是人上下身的分界点，已知某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，若该人的身高约为1.8米，则他的上身长度约为（　　）（精确到0.1米）
A．0.9米 B．1.0米 C．1.1米 D．1.2米
【分析】直接根据黄金分割的定义求解即可．
【解答】解：∵某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，该人的身高约为1.8米，
∴他的上身长度约为×1.8≈0.618×1.8≈1.1（米），
故选：C．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，AD＝10，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A与点C重合，折痕与AB交于点M，与CD交于点N，则线段MN的长是（　　）

A．5 B．12 C． D．
【分析】先判定△CON≌△AOM，即可得到MO＝NO，再根据△ABC∽△AOM，即可得到OM＝，进而得出MN＝2OM＝．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝24，AD＝BC＝10，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝26，
由折叠可得，MN垂直平分AC，
∴AO＝CO＝13，
又∵CD∥AB，
∴∠NCO＝∠MAO，∠CNO＝∠AMO，
∴△CON≌△AOM（AAS），
∴MO＝NO，
∵∠AOM＝∠B＝90°，∠MAO＝∠BAC，
∴△ABC∽△AOM，
∴＝，即＝，
解得OM＝，
∴MN＝2OM＝．
故选：D．

8．（4分）已知抛物线y＝﹣x2﹣4x+5，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴上
B．当x＞﹣2时，函数值y随x的增大而减小
C．若2≤x≤5，则函数一定有最大值是9
D．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（5，0）
【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可．
【解答】解：A、由于c＝5＞0，所以抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴上，故本选项不符合题意．
B、由于y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，所以当x＞﹣2时，函数值y随x的增大而减小，故本选项符合题意．
C、由于y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9的顶点坐标是（﹣2，9），且开口方向向下，所以当x＝﹣2时，函数一定有最大值是9，故本选项不符合题意．
D、由于y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+5）（x﹣1），所以抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（﹣5，0），故本选项不符合题意．
故选：B．
9．（4分）如图，△ABC中，CA＝CB＝5cm，AB＝8cm，直线l经过点A且垂直于AB，现将直线l以1cm/s的速度向右匀速移动，直至经过点B时停止移动，直线l与边AB交于点M，与边AC（或CB）交于点N．若直线l移动的时间是x（s）、△AMN的面积为y（cm2），则y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】用面积公式，分段求出△AMN的面积即可求解．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
在等腰△ABC中，AC＝5，AD＝AB＝4，则CD＝3，
在Rt△ACD中，tanA＝＝＝tanB，
（1）当0≤x≤4，如图1，

∵tan∠A＝＝＝，即MN＝x，
y＝×AM•MN＝x×x＝x2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；
（2）当4＜x≤8时，
同理：y＝x×（8﹣x）＝﹣x2+3x，
该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x＝4，
故选：C．
10．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，点D、E分别在边AB，BC上，且∠CDE＝45°，下列结论中：①△CAD∽△DBE；②若点D是AB的中点，则点E也是BC的中点；③若点D是AB的三等分点，则BE的长是，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据外角定理结合已知条件可得∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDE+∠BDE，从而可得∠ACD＝∠BDE，又∠A＝∠B＝45°，故可判定△CAD∽△DBE，则①正确；根据勾股定理可得AB＝6，当D为AB中点时，由由①结论可得：，可得BE＝＝，则可判断②正确；若点D是AB的三等分点，则AD＝2或4，由①结论可得：，进而可得到BE＝．故③正确．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDE+∠BDE，∠CDE＝45°，
∴∠ACD＝∠BDE，
∴△CAD∽△DBE，
故①正确；
∵CA＝CB＝3，
∴AB＝＝6，
当点D是AB的中点时，BD＝AD＝＝3，
由①结论可得：，
即，解得：BE＝＝，
故点E为BC的中点，
故②正确；
若点D是AB的三等分点，
则AD＝2或4，
由①中结论可得：，
∴或，
解得：BE＝．
故③正确．
综上，正确的共有3个．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知a＝3，b＝6，则a，b的比例中项是　±3　．
【分析】首先设c是a，b的比例中项，根据比例中项的定义，即可得c2＝ab，又由a＝3，b＝6，即可求得a，b的比例中项的值．
【解答】解：设c是a，b的比例中项，
则c2＝ab，
∵a＝3，b＝6，
∴c2＝18，
解得c＝±3．
故答案为：±3．
12．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则a+b+c　＜　0（填“＞”或“＝”或“＜”）．

【分析】根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点在0、1之间，即可判断当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在﹣2、﹣3之间，
∴另一个交点在0、1之间，
∴当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
故答案为＜．
13．（5分）如图，点A（2，4）在第一象限，点B（b，3）在第二象限，且OA⊥OB，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过点B，则k的值为　18　．

【分析】作AC⊥x轴，BD⊥x轴．易得△ACO∽△ODB，根据比例式求出OD，可得出点B的坐标，代入y＝﹣（k≠0）即可求出k的值．
【解答】解：如图，作BD⊥x轴，AC⊥x轴．

∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠OAC+∠AOC＝90°，∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴，
∵A（2，4），B（b，3），
∴OC＝2，AC＝4，OD＝﹣b，BD＝3，
∴＝，
∴b＝﹣6，
∴B（﹣6，3），
∵设反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过点B，
∴﹣k＝﹣6×3＝﹣18，
∴k＝18，
故答案为18．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，过点C作CG⊥BE于G，CG的延长线交AD于F，连接DG并延长交BC于H，且点H恰好是BC的中点．
（1）若∠CBE＝35°，则∠CDH＝　20　°．
（2）若CE＝6，DE＝2，则DF的长是　4　．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出∠CBE＝∠HGB＝35°，再根据三角形外角性质得出∠CHD＝70°，最后根据直角三角形两锐角互余即可得解；
（2）由（1）得∠HBG＝∠HGB，再根据直角三角形的两锐角互余可求得∠DGE＝∠DCG，即可判定△DGE∽△DCG，可得出DG2＝DE•DC，再根据矩形的性质及对顶角相等可求得DG＝DF，即可得解．
【解答】解：（1）∵CG⊥BE，H是BC的中点，
∴HB＝HC＝HG＝BC，
∴∠CBE＝∠HGB，
∵∠CBE＝35°，
∴∠HGB＝35°，
∴∠CHD＝∠CBE+∠HGB＝70°，
在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴∠CDH＝90°﹣∠CHD＝20°，
故答案为：20；
（2）由（1）得∠HBG＝∠HGB，
∵∠HGB＝∠DGE，
∴∠HBG＝∠DGE，
∵∠BCE＝90°，
∴∠DCG+∠BCG＝90°，
∵CG⊥BE于G，
∴∠HBG+∠BCG＝90°，
∴∠DCG＝∠HBG，
∴∠DGE＝∠DCG，
∵∠D＝∠D，
∴△DGE∽△DCG，
∴＝，
∴DG2＝DE•DC，
∵HC＝HG，
∴∠HCG＝∠HGC，
∵AD∥BC，
∴∠HCG＝∠GFD，
∵∠HGC＝∠DGF，
∴∠GFD＝∠DGF，
∴DG＝DF，
∴DF2＝DE•DC＝2×（2+6）＝2×8＝16，
∴DF＝4，
故答案为：4．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知a：b：c＝2：3：4，求的值．
【分析】根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：由a：b：c＝2：3：4可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
则原式＝＝﹣．
16．（8分）如图，抛物线y＝2x2+bx﹣2过点A（﹣1，m）和B（5，m）．
（1）求b和m的值；
（2）若抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝2x2+bx﹣2上的两点，可以得到b的值，即可得到函数解析式，把A（﹣1，m）代入解析式即可求得m的值；
（2）求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝2x2+bx﹣2上的两点，
∴﹣＝，
解得，b＝﹣8，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣8x﹣2，
把A（﹣1，m）代入得，m＝2+8﹣2＝8；
（2）由y＝2x2﹣8x﹣2可知，抛物线与y轴交点C的坐标为（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵A（﹣1，8）和B（5，8），
∴AB＝6，
∴S△ABC＝（2+8）＝30．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点，此时从镜子中恰好看到树顶的A点，已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，求大树AB的高度．

【分析】由图不难得出，△CDN∽△ABN，再利用相似三角形对应边成比例，进而可求解线段的长．
【解答】解：∵AB⊥DB，DC⊥DB，
∴∠CDN＝∠ABN＝90°，
∵∠CND＝∠ANB，
∴△CDN∽△ABN．
∴，
即，
∴AB＝1.6×21÷1.4＝24（m），
答：大树AB的高度为24m．
18．（8分）如图，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．
（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1与△ABC的位似比是　3　．

【分析】（1）连接OB、OC，分别延长OB、OC到点B1、C1，使＝＝，再首尾连接即可；
（2）由位似比＝可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）△A1B1C1与△ABC的位似比＝＝3，
故答案为：3．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知△ABC的面积为S，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC．
【填空】（1）如图1，若AD：DB＝1：1，则四边形DECB的面积a1＝　S　（用含S的式子表示，下同）；
（2）如图2，若AD：DB＝1：2，则四边形DECB的面积a2＝　S　；
（3）如图3，若AD：DB＝1：3，则四边形DECB的面积a3＝　S　；以此类推，…
【猜想】根据上述规律猜想，若AD：DB＝1：n，则四边形DECB的面积an＝　　；
【应用】计算a1•a2•a3…a10．

【分析】（1）先算出＝，再判断出△ADE∽△ABC，得出＝，进而得出S△ADE＝S，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）同（1）的方法，即可得出结论；
【猜想】同（1）的方法，即可得出结论；
【应用】先得出a1•a2•a3…a10＝••••…•，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD：DB＝1：1，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADE＝S，
∴a1＝S﹣S△ADE＝S，
故答案为：S；

（2）∵AD：DB＝1：2，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADE＝S，
∴a2＝S﹣S△ADE＝S，
故答案为：S；

（3）∵AD：DB＝1：3，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADE＝S，
∴a3＝S﹣S△ADE＝S，
故答案为：S；

【猜想】∵AD：DB＝1：n，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADE＝S，
∴an＝S﹣S△ADE＝[1﹣]S＝S＝S，
故答案为：S；

【应用】由【猜想】知，an＝S，
∴a1•a2•a3…a10
＝••••…•
＝×
＝．
20．（10分）喷洒酒精能有效杀灭“新型冠状肺炎”病毒．根据实验知道喷洒酒精在教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：h）的函数表达式为y＝．其大致图象如图所示．请根据以上信息解答下列问题：
（1）试确定点A的坐标；
（2）根据经验，当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，请通过计算说明单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为多少小时？

【分析】（1）点A是一次函数与二次函数的交点，令函数值相等即可求解；
（2）教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3，分别令一次函数与二次函数等于1，求得相应的X值，再根据取值范围确定解，进而算出处于最佳状态的时间．
【解答】解：（1）由题意可得A为函数y＝2x与y＝﹣x2+6x﹣4的交点，
所以2x＝﹣x2+6x﹣4，
解得x1＝x2＝2，代入y＝2x得y＝4，
可得A（2，4）．
（2）当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，
由（1）得m＝2，
当0＜x＜2时，
令y＝1，
2x＝1，
x＝；
当x≥2时，
令y＝1，
﹣x2+6x﹣4＝1
整理得x2﹣6x+5＝0
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝5，
所以x＝5，
所以单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为（5﹣）＝4.5小时．
六、（本题满分12分）
21．（12分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（mk≠0）的图象相交于点A（1，6）和点B（n，﹣2）．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且△PAB的面积为12，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集．

【分析】（1）把A点坐标代入y＝得m＝6，则反比例函数解析式为y＝，再利用反比例函数解析式确定B点坐标；进而利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）首先求得AB与x轴的交点，设交点是C，然后根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的坐标；
（3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）把A（1，6）代入y＝得m＝1×6＝6；
∴反比例函数解析式为y＝，
把B（n，﹣2）代入y＝得﹣2＝，解得n＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣2），
把A（1，6），B（﹣3，﹣2）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）y＝2x+4中，令y＝0，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴一次函数y＝2x+4的图象与x轴的交点C的坐标为（﹣2，0）．
∵S△PAB＝12，
∴PC×6+PC×2＝12．
∴PC＝3，
∴点P的坐标为（﹣5，0）、（1，0）．
（3）由图象可知不等式kx+b＞的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1．

七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（6，n）
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上位于点B、C之间的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，△APC的面积最大，并求出其最大值；
（3）在y轴上是否存在点M，使△BMC与△BAO相似？若存在，直接写出点M的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△APC的面积＝S△PHA+S△PHC，即可求解；
（3）分∠BM′C为直角、∠BCM为直角两种情况，利用数形几何即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝6时，y＝x﹣2＝4＝n，
故点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，﹣2）、（6，4）；
将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x﹣2；

（2）如图，过点P作y轴的平行线交AB于点H，

设点P的坐标为（a，a2﹣5a﹣2），则点H（a，a﹣2），
则△APC的面积＝S△PHA+S△PHC＝×PH×（xC﹣xA）＝×（a﹣2﹣a2+5a+2）×（6﹣2）＝﹣2a2+12a，
∵﹣2＜0，故△APC的面积存在最大值，当a＝3时，△APC的面积的最大值为18；

（3）存在，理由：
由点A、B的坐标知，△ABO为等腰直角三角形，

当△BMC与△BAO相似时，则△BMC为等腰直角三角形，
①当∠BM′C为直角时，
则点M′的纵坐标与点C的纵坐标相同，故点M′（0，4）；
②当∠BCM为直角时，
则点M′是BM的中点，故点M（0，10）；
故点M的坐标为（0，4）或（0，10）．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，E，F三点在一条直线上，连接FA并延长交边CB的延长线于点H．
（1）求证：△HCA∽△HFC；
（2）求的值；
（3）若HC＝6，HB＝2，求正方形AEFG的边长．

【分析】（1）由四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，所以∠BCA＝∠AFE＝45°，即∠HCA＝∠HFC＝45°，又∠CHA＝∠FHC，所以△HCA∽△HFC；
（2）由四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，所以AC＝AB，AF＝AE，可证明∠FAC＝∠BAE，结合，可判定△FAC∽△EAB，所以；
（3）因为BC＝6﹣2＝4，由勾股定理可得AH＝，由（1）得△HCA∽△HFC，所以，可得HF＝，所以AF＝HF﹣AH＝．设正方形AEFG的边长为x，在直角三角形AEF中，由勾股定理得方程2x2＝（）2，解出x即可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴∠BCA＝∠AFE＝45°，
即∠HCA＝∠HFC＝45°，
又∠CHA＝∠FHC，
∴△HCA∽△HFC；

（2）解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴∠ABC＝90°，由勾股定理可得AC＝AB，
同理可得：AF＝AE，
又∠FAE＝∠BAC，
∴∠FAE+∠EAC＝∠BAC+∠EAC，
即∠FAC＝∠BAE，
∴，
∴△FAC∽△EAB，
∴．

（3）解：∵HC＝6，HB＝2，
∴BC＝6﹣2＝4．
由勾股定理得：AH＝＝，
由（1）得△HCA∽△HFC，
∴，
即，
解得：HF＝，
∴AF＝HF﹣AH＝﹣＝．
设正方形AEFG的边长为x，在直角三角形AEF中，
由勾股定理有：2x2＝（）2，
解得：x＝．
即正方形AEFG的边长为．
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日期：2021/8/16 23:17:12；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298