2020年江苏省常州市中考数学模拟试卷（5月份）

这是一份2020年江苏省常州市中考数学模拟试卷（5月份），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．3x2﹣6x+3＝0B．3x2+x﹣6＝0C．x2﹣5x+10＝0D．3x2+9x＝0
2．（2分）在抗击疫情中，某社区志愿者小分队年龄如表：
则这10名队员年龄的中位数是（ ）
A．20岁B．22岁C．26岁D．30岁
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC且分别交AB、AC于点D、E．若AD＝2，DB＝3，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠A＝60°，则∠B等于（ ）
A．30°B．50°C．60°D．70°
6．（2分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，2），若图象不经过第二象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≤B．k≥C．0＜k≤D．≤k≤1
7．（2分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1
8．（2分）如图，点A是反比例函数y＝﹣图象上一动点，连接AO并延长交图象另一支于点B．又C为第一象限内的点，且AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动．则∠CAB的正切值为（ ）
A．2B．3C．2D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）若csA＝，则锐角A的度数为 ．
10．（2分）在一个不透明的布袋中，有五张分别写有数字，、﹣1、0、π且大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ．
11．（2分）一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴的交点坐标是 ．
12．（2分）已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为 cm2．
13．（2分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝ m．
14．（2分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝ 度．
15．（2分）已知a是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（a2﹣a）（a﹣+2）的值为 ．
16．（2分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
17．（2分）在△ABC中，AB＝5，∠C＝30°，∠A＞∠B，则BC的长的最大值是 ．
18．（2分）若二次函数y＝a（x﹣4）2+4的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的上方，在6＜x＜7这一段位于x轴的下方，则a值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算．
20．（8分）解下列方程
（1）x2﹣3x﹣2＝0；
（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．
21．（8分）随着我国人民生活水平的提高，越来越多的居民重视选择适合自己的方式强身健体．某班同学在街头随机调查了所在地区一些参加健身活动的市民，并将他们的健身方式绘制成如下两幅仅提供部分信息的统计图（A：跑步；B：打球；C：舞蹈；D：下棋；E：其它）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求本次参与调查的健身市民人数；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）若该区有20000名市民参加健身活动，根据调查数据估计他们中有多少人选择打球方式健身．
22．（8分）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：
A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？
23．（8分）如图，分别位于反比例函数y＝、y＝在第一象限图象上的两点A、B与原点O在同一直线上，且．
（1）求k的值；
（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
24．（8分）某居民小区有一朝向为正南方的居民楼，如图，该居民楼一楼是高7m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面18m处要盖一高20m的新楼，当冬季正午时，阳光与地平面夹角为32°（tan32°≈0.6249）．问冬季正午时：
（1）超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？
（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（结果保留整数）
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AB＝9，求CE的长．
26．（10分）我国互联网发展日新月异，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条60元，当售价为每条100元时，每月可销售120条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查知：销售单价每降1元，则每月可多销售6条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4950元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
27．（10分）操作作图
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D在边AC上，请用圆规和直尺作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上（不写作法，但要保留作图痕迹）．
阅读理解
我们把图①中的菱形DEFG称为△ABC的有一边平行于AB的内接菱形，简称AB类内接菱形．类似的可得到AB类内接矩形．若公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，求CD的长．
深入探究
（1）当CD长度满足什么条件时，可作2个AB类内接菱形DEFG？说明理由；
（2）直接写出AB类内接菱形DEFG面积的最大值．
28．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+8的图象与x轴交于两点A（﹣6，0）和B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求a、b的值；
（2）已知在x轴上方的二次函数图象上有一点P满足∠APC＝90°．求点P的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在点Q，使得cs∠QBA＝cs∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年江苏省常州市中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
1．（2分）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．3x2﹣6x+3＝0B．3x2+x﹣6＝0C．x2﹣5x+10＝0D．3x2+9x＝0
【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断，
【解答】解：A、Δ＝（﹣6）2﹣4×3×3＝0，方程有两个相等的两个实数根；
B、Δ＝12﹣4×3×（﹣6）＝73＞0，方程有两个相等的两个实数根；
C、Δ＝（﹣5）2﹣4×10＝﹣15＜0，方程没有实数根；
D、Δ＝92﹣4×3×0＝81＞0，方程有两个相等的两个实数根．
故选：A．
2．（2分）在抗击疫情中，某社区志愿者小分队年龄如表：
则这10名队员年龄的中位数是（ ）
A．20岁B．22岁C．26岁D．30岁
【分析】先将表格中的年龄按照从小到大排列，然后即可得到这10名队员年龄的中位数．
【解答】解：将表格中的年龄按照从小到大排列是：18，18，22，22，22，30，30，35，35，43，
故这10名队员年龄的中位数是（22+30）÷2＝26（岁），
故选：C．
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴csA＝＝＝，∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝csA＝．
故选：A．
4．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC且分别交AB、AC于点D、E．若AD＝2，DB＝3，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】先判断△ADE与△ABC相似，再求出相似比，而面积比等于相似比平方即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
∵AD＝2，DB＝3，
∴＝，
∴＝（）2＝．
故选：D．
5．（2分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠A＝60°，则∠B等于（ ）
A．30°B．50°C．60°D．70°
【分析】连接BD．求出∠ABD，再证明∠CBD＝∠ABD即可解决问题．
【解答】解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠CBA＝60°，
故选：C．
6．（2分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，2），若图象不经过第二象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≤B．k≥C．0＜k≤D．≤k≤1
【分析】由一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝2﹣3k，由一次函数图象经过的象限可得出k＞0，b≤0，进而可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，2），
∴2＝3k+b，即b＝2﹣3k．
∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限，
∴k＞0，b≤0，
∴，
解得：k≥．
故选：B．
7．（2分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1
【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故选：B．
8．（2分）如图，点A是反比例函数y＝﹣图象上一动点，连接AO并延长交图象另一支于点B．又C为第一象限内的点，且AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动．则∠CAB的正切值为（ ）
A．2B．3C．2D．2
【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：根据轴对称的性质得到AO＝BO．根据等腰三角形的性质得到CO⊥AB．根据相似三角形的性质得到＝，得到AE＝，CF＝，即可得到结论．
【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：
由直线AB与反比例函数y＝﹣的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴＝，
∵AE•OE＝|﹣1|＝1，CF•OF＝8，
∴AE＝，CF＝，
∴＝＝，
∴＝2（负值舍去），
∴∠CAB的正切值为＝＝2，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）若csA＝，则锐角A的度数为 45° ．
【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．
【解答】解：∵csA＝，
∴∠A＝45°，
故答案为：45°．
10．（2分）在一个不透明的布袋中，有五张分别写有数字，、﹣1、0、π且大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：有五张分别写有数字，、﹣1、0、π且大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到的无理数有，π，
则抽到无理数的概率是，
故答案为：．
11．（2分）一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴的交点坐标是 （3，0） ．
【分析】代入y＝0求出x值，此题得解．
【解答】解：当y＝0时，有﹣2x+6＝0，
解得：x＝3，
∴一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴的交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
12．（2分）已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为 12π cm2．
【分析】根据扇形的面积S＝进行计算即可．
【解答】解：∵r＝6cm，n＝120°，
根据扇形的面积公式S＝得
S扇＝＝12（cm2）．
故答案为：12π．
13．（2分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝ 8 m．
【分析】连接OA，根据垂径定理可知AD＝BD＝AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．
【解答】解：连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB．
在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3m，∠ADO＝90°，
∴AD＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD＝8m．
故答案为：8．
14．（2分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝ 66 度．
【分析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB＝108度，然后根据角平分线的定义得到∠PAB＝54度，再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝108度，
∵AP是∠EAB的角平分线，
∴∠PAB＝54度，
∵∠ABP＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°．
故答案为：66．
15．（2分）已知a是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（a2﹣a）（a﹣+2）的值为 15 ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a2＝a+5，再利用通分和整体代入的方法得到原式═5×，然后约分后进行有理数乘法运算即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实根，
∴a2﹣a﹣5＝0，即a2＝a+5，
∴原式＝（a+5﹣a）×
＝5×
＝5×3
＝15．
故答案为15．
16．（2分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y3＜y1＜y2 ．
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在第二象限，
∴0＜y1＜y2．
∵1＞0，
∴C（1，y3）点在第四象限，
∴y3＜0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
17．（2分）在△ABC中，AB＝5，∠C＝30°，∠A＞∠B，则BC的长的最大值是 10 ．
【分析】如图，作△ABC的外接圆，当∠BAC＝90°时，BC为直径时最长，根据直角三角形含30度角的性质可得结论．
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝5，
当∠BAC＝90°时，BC为直径时最长，
∵∠BAC＝90°，AB＝5，∠C＝30°，
∴BC＝2AB＝10，
∴BC的长的最大值是10．
故答案为：10．
18．（2分）若二次函数y＝a（x﹣4）2+4的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的上方，在6＜x＜7这一段位于x轴的下方，则a值为 ﹣1 ．
【分析】先根据抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为x＝4，由二次函数的对称性可知当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的上方，结合题意可知当x＝6时，y＝0，从而可求得a的值．
【解答】解：∵y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），
∴抛物线的对称轴为x＝4．
又∵当2＜x＜3时，函数图象位于x轴的上方，
∴当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的上方．
又∵当6＜x＜7时，函数图象位于x轴的下方，
∴当x＝6时，y＝0．
∴4a+4＝0．
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算．
【分析】先计算乘方和零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝1+1﹣3+×
＝1+1﹣3+3
＝2．
20．（8分）解下列方程
（1）x2﹣3x﹣2＝0；
（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．
【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根；
（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，
∵（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
21．（8分）随着我国人民生活水平的提高，越来越多的居民重视选择适合自己的方式强身健体．某班同学在街头随机调查了所在地区一些参加健身活动的市民，并将他们的健身方式绘制成如下两幅仅提供部分信息的统计图（A：跑步；B：打球；C：舞蹈；D：下棋；E：其它）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求本次参与调查的健身市民人数；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）若该区有20000名市民参加健身活动，根据调查数据估计他们中有多少人选择打球方式健身．
【分析】（1）根据A健身方式的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数分别乘以C、E所占百分比求出其人数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中B的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）本次参与调查的健身市民人数有：80÷40%＝200（人）；
（2）舞蹈的人数为：200×15%＝30（人），其它的人数为：200×30%＝60（人），
补全图形如下：
（3）根据题意得：
20000×＝2000（人），
答：估计他们中有2000人选择打球方式健身．
22．（8分）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：
A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？
【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能；
（2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大．
【解答】解：（1）列表：
三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；
（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率＝＝；B采用的方案使自己乘上等车的概率＝＝，
因为＜，
所以B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大．
23．（8分）如图，分别位于反比例函数y＝、y＝在第一象限图象上的两点A、B与原点O在同一直线上，且．
（1）求k的值；
（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，则△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k的值；
（2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）过点A、B分别作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F．
则△AOE∽△BOF，又＝，
∴＝．
由点A在函数y＝的图象上，
设A的坐标是（m，），
∴＝，＝，
∴OF＝3m，即B的坐标是（3m，）．
又点B在y＝的图象上，
∴k＝3m×＝9；
（2）由（1）可知，A（m，），B（3m，）．
又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C．
∴C的纵坐标是，
把y＝代入y＝得x＝9m，
∴C的坐标是（9m，），
∴AC＝9m﹣m＝8m．
∴S△ABC＝×8m×＝8．
24．（8分）某居民小区有一朝向为正南方的居民楼，如图，该居民楼一楼是高7m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面18m处要盖一高20m的新楼，当冬季正午时，阳光与地平面夹角为32°（tan32°≈0.6249）．问冬季正午时：
（1）超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？
（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（结果保留整数）
【分析】（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度和7米进行比较．
（2）超市不受影响，说明32°的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和32°的正切值即可计算．
【解答】解：（1）如图1，设CF＝x米，
则AE＝（20﹣x）米，
tan32°＝＝＝0.6249，
解得：x≈9，
∵9＞7，
∴居民住房的采光受影响；
（2）如图2，
当AB＝20m，
tan32°＝＝0.6249，
解得：BC＝32（米）．
故要使超市采光不受影响，两楼应至少相距32米．
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AB＝9，求CE的长．
【分析】（1）连接OC，由AC为⊙O的直径，得到∠ADC＝90°，根据＝，得到AD＝CD，根据平行线的性质得到∠CDE＝∠DCA＝45°，求得∠ODE＝90°，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到AD＝CD＝6，易证△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵D为的中点，
∴＝，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝45°，
∵O是AC的中点，
∴∠ODC＝45°，
∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠DCA＝45°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵⊙O的半径为6，
∴AC＝12，
∴AD＝CD＝6，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠DCE，
∵∠ABD＝∠CDE＝45°，
∴△ABD∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝8．
26．（10分）我国互联网发展日新月异，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条60元，当售价为每条100元时，每月可销售120条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查知：销售单价每降1元，则每月可多销售6条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4950元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售6条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
（3）利用总利润＝4950+300，求出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：y＝120+6（100﹣x）＝﹣6x+720；
∴y与x的函数关系式为y＝﹣6x+720；
（2）由题意得：
w＝（x﹣60）（﹣6x+720）
＝﹣6x2+1080x﹣43200
＝﹣6（x﹣90）2+5400，
∵﹣6＜0，
当x＝90时，w有最大值，最大值为5400元．
∴应降价100﹣90＝10（元）．
∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是5400元；
（3）由题意得：﹣6（x﹣90）2+5400＝4950+300，
解得：x1＝85，x2＝95．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝90，
∴当85≤x≤95时，符合该网店要求．
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝85．
∴当销售单价定为85元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
27．（10分）操作作图
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D在边AC上，请用圆规和直尺作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上（不写作法，但要保留作图痕迹）．
阅读理解
我们把图①中的菱形DEFG称为△ABC的有一边平行于AB的内接菱形，简称AB类内接菱形．类似的可得到AB类内接矩形．若公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，求CD的长．
深入探究
（1）当CD长度满足什么条件时，可作2个AB类内接菱形DEFG？说明理由；
（2）直接写出AB类内接菱形DEFG面积的最大值．
【分析】操作作图：根据菱形的判定使用尺规作图；
阅读理解：首先画出符合条件的图形，利用相似的判定与性质列出成比例线段，代值求解；
深入探究：（1）根据题意画出临界状态的两个图形，利用相似的相关知识求CD的取值范围；
（2）根据相似的性质列出菱形面积与边长DG的二次函数关系，在DG的范围之内求面积的最大值．
【解答】解：操作作图：
如图所示中的四边形DEFG为符合条件的其中一个菱形．
阅读理解：
符合条件的图形如图所示：
∵公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，
∴DG＝GF，DC＝FM，∠C＝∠FMC＝90°＝∠FMB．
∴Rt△DCG≌Rt△FMG（HL）．
∴CG＝MG．
∵DG∥AB，
∴∠DGC＝∠B．
∴△DCG≌△DMB（AAS）．
∴CG＝BM．
∴．
∵△DCG∽△ACB，
∴．
即，
∴DC＝2．
深入探究：
（1）如图所示，当点E与点A重合时，此时存在符合条件的两个菱形．
在Rt△ABC中，．
∵四边形DEFG为菱形，
∵DG∥AB，
∴，
即．
解得DC＝．
如图，当DE⊥AB时，
过点C作CH⊥AB，交DG于点Q，交AB于点H．
在Rt△ABC中，
．
∵DG∥AB，
∴△ABC∽△DGC．
∴．
即，
∴．
∴．
即，
∴．
∴当时，可作2个AB类内接菱形DEFG．
（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点Q．
∵四边形DEFG为菱形，
设DG＝x，
∵DG∥AB，
∴△ABC∽△DGC．
∴．
即，
∴CQ＝．
则QH＝．
∴S菱形DEFG＝DG×CH＝．
配方得．
当点F与点B重合时，
可求得DG＝，
由（1）可知：
．
在此范围内S菱形DEFG随x的增大而增大，
∴当x＝时，S菱形DEFG最大，
最大值为．
∴AB类内接菱形DEFG面积的最大值为．
28．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+8的图象与x轴交于两点A（﹣6，0）和B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求a、b的值；
（2）已知在x轴上方的二次函数图象上有一点P满足∠APC＝90°．求点P的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在点Q，使得cs∠QBA＝cs∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可得出结论；
（2）先判断出点在以AC为直径的圆上，再求出此圆的圆心O'的坐标，半径，进而用O'P＝5，建立方程求解即可得出结论；
（3）先求出∠ABQ＝45°，再分点Q在x轴上方和下方两种情况，求出直线BQ的解析式，联立抛物线的解析式建立方程组求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+8的图象与x轴交于两点A（﹣6，0）和B（4，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+6）（x﹣4）＝a（x2+2x﹣24）＝ax2+2ax﹣24a，
∴﹣24a＝8，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+8，
∴a，b的值为﹣和﹣；
（2）如图1，
∵∠APC＝90°，
∴点P是以AC为直径的圆与抛物线在x轴上方部分的交点，
此圆的圆心记作O'，连接CP，AP，O'P，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+8，
∴C（0，8），
∵A（﹣6，0），
∴点O'（﹣3，4），O'A＝AC＝5，
设点P（m，﹣m2﹣m+8），
∴O'P2＝（m+3）2+（﹣m2﹣m+8﹣4）2＝（m+3）2+（m2+2m﹣12）2，
∴（m+3）2+（m2+2m﹣12）2＝25，
∴m4+4m3﹣11m2+6m＝0，
∴m（m+6）（m﹣1）2＝0，
∴m＝0（舍）或m＝﹣6（舍）或m＝1，
∴P（1，7）；
（3）存在，理由：如图3，
由（2）知，C（0，8），
∵A（﹣6，8），B（4，0），
∴BC＝4，AC＝10，AB＝10，
∴AC＝AB，
过点A作AD⊥BC于D，
∴CD＝BC＝2，
在Rt△ADC中，cs∠ACB＝＝＝，
∵cs∠QBA＝cs∠ACB，
∴cs∠QBA＝××＝，
∴∠QBA＝45°，
Ⅰ、当点Q在x轴上方时，连接BQ交y轴E，
∴OE＝OB＝4，
∴E（0，4），
∵B（4，0），
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+4①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+8②，
联立①②解得，（舍）或，
∴点Q（﹣3，7），
Ⅱ、当点Q在x轴下方时，同（Ⅰ）的方法得，Q（﹣9，﹣13），
即：满足条件的所有点Q的坐标为（﹣3，7）或（﹣9，﹣13）．
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