2018_2019学年广州市荔湾区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年广州市荔湾区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是
A. B.
C. D.

2. 下列事件中，是必然事件的是
A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 打开电视，正在播放新闻
C. 明天会下雨D. 地球绕着太阳转

3. 方程 x2=x 的解为
A. x1=1，x2=0B. x=0C. x=1D. x1=−1，x2=0

4. 从 1∼9 这九个自然数中任取一个，恰好是 2 的倍数的概率是
A. 49B. 59C. 59D. 79

5. 如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △AED，若线段 AB=3，则 BE=
A. 2B. 3C. 4D. 5

6. 如图，在平面直角坐标系中，半径为 2 的 ⊙P 的圆心 P 的坐标为 3,0，将 ⊙P 沿 x 轴左平移，使 ⊙P 与 y 轴相切，则平移的距离为
A. 1B. 3C. 5D. 1 或 5

7. 如图，点 A 为函数图象上的一点，已知 Rt△ABO 的面积为 1，则该图象对应的函数表达式为
A. y=1xB. y=−1xC. y=2xD. y=−2x

8. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，若 ∠A:∠C=5:7，则 ∠C=
A. 210∘B. 150∘C. 105∘D. 75∘

9. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 10，圆周角 ∠ACB=45∘，则这个圆的直径 AD 为
A. 52B. 102C. 152D. 202

10. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，有下列结论：
① a，b 同号；
②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；
③ 4a+b=0；
④当 −1其中正确的有
A. ①②B. ②③C. ①③④D. ②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 将抛物线 y=12x2 向上平移 1 个单位，则平移后抛物线的表达式是 ．

12. 关于 x 的方程 x2+2x+c=0 有两个不相等的实数根，则 c 的取值范围为 ．

13. 如图，在 2×2 的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点 A 和 B，在余下的格点中任取一点 C，使 △ABC 为直角三角形的概率是 ．

14. 若反比例函数 y=k−1x 的图象在其每个象限内，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围为 ．

15. 用半径为 3 cm，圆心角是 120∘ 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm．

16. 如图，线段 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CAB=30∘，BE=1，则 CD 的长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 如图，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上．
（1）画出 △ABC 关于原点成中心对称的 △AʹBʹCʹ，并直接写出 △AʹBʹCʹ 各顶点的坐标．
（2）求点 B 旋转到点 Bʹ 的路径长（结果保留 π）．

18. 已知抛物线 y=x2+mx+n 的图象经过 −3,0，1,0．
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．

19. 有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A，B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，若想获胜机会大，你会选择哪一个，为什么?

20. 四边形 ABCD 是正方形，点 E，F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 90∘ 得到 △ABF，连接 EF．若 BC=8，DE=6，求 △AEF 的面积．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，OP⊥OA 交 AB 于点 P，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CP=CB．
（1）求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为 5，OP=1，求 BC 的长．

22. 某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为 10 元/件的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y=−2x+120．
（1）若该公司获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；当销售单价定位多少时，该多用途垃圾桶获得的利润最大?最大利润是多少元?
（2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过 30 元/件，那么定价为多少时才可获得最大利润?

23. 已知：如图，函数 y=kx 的图象 y=−2x+8 交于 A1,a，Bb,2．
（1）求函数 y=kx 的解析式以及点 A，B 的坐标；
（2）观察图象，直接写出不等式 kx<−2x+8 的解集；
（3）若点 P 是 y 轴上的动点，当 PA+PB 取得最小值时，直接写出点 P 的坐标．

24. 如图，在 ⊙O 中，弦 AC，BD 相交于点 M，且 ∠A=∠B．
（1）求证：AC=BD；
（2）若 OA=4，∠A=30∘，当 AC⊥BD 时，求 CD 的长．

25. 如图，抛物线 y=−x2−2x+3 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点．
（1）求点 A，B，C 的坐标；
（2）Mm,0 为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A，B 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QN⊥x 轴于点 N，可得矩形 PQNM．如图，点 P 在点 Q 左边，试用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周长；
（3）当矩形 PQNM 的周长最大时，m 的值是多少?并求出此时的 △AEM 的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ，过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方）．若 FG=22DQ，求点 F 的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】A、不是中心对称图形，故错误；
B、不是中心对称图形，故错误；
C、是中心对称图形，故正确；
D、不是中心对称图形，故错误．
2. D【解析】A、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
B、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，故此选项错误；
C、明天会下雨，是随机事件，故此选项错误；
D、地球绕着太阳转，是必然事件，故此选项正确．
3. A【解析】方程整理，得 x2−x=0，因式分解得 xx−1=0，
于是，得 x=0 或 x−1=0，解得 x1=0，x2=1．
4. A【解析】∵ 在 1∼9 这九个自然数中，是 2 的倍数的有 2，4，6，8，
∴ 在 1∼9 这九个自然数中任取一个，是 2 的倍数的概率是 49．
5. B
【解析】∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △AED，
∴AB=AE，∠BAE=60∘，
∴△AEB 是等边三角形，
∴BE=AB，
∵AB=3，
∴BE=3．
6. D【解析】当 ⊙P 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 5；
当 ⊙P 位于 y 轴的右侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 1．
7. D【解析】设反比例函数的解析式为 y=kx，由题意：k<0，k2=1，
∴k=−2，
∴y=−2x．
8. C【解析】∵∠A+∠C=180∘，∠A:∠C=5:7，
∴∠C=180∘×75+7=105∘．
9. B
10. D
【解析】∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=2，
∴b=−4a<0，
∴ ①错误，
∴b+4a=0，
∴ ③正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=2，
∴ 当 x=1 和 x=3 时，函数值相等，
∴ ②正确；
∵ 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 −1,0，
而抛物线的对称轴为直线 x=2，
∴ 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 5,0，
∴ 当 −1 ∴ ④正确．
第二部分
11. y=12x2+1
【解析】∵ 抛物线 y=12x2 向上平移 1 个单位，
∴ 平移后抛物线的顶点坐标为 0,1，
∴ 平移后抛物线的表达式是 y=12x2+1．
12. c<1
【解析】∵ 关于 x 的方程 x2+2x+c=0 有两个不相等的实数根，
∴ Δ=22−4c=4−4c>0，解得：c<1．
13. 47
【解析】∵ 取定格点 A 和 B，在余下的 7 个格点中任取一点 C，使 △ABC 为直角三角形的有 4 种情况，
∴ 使 △ABC 为直角三角形的概率是：47．
14. k>1
【解析】∵ 反比例函数 y=k−1x 的图象在其每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
∴k−1>0，解得：k>1．
15. 1
【解析】设此圆锥的底面半径为 r cm，由题意，得 2πr=120π×3180，解得 r=1．
16. 23
【解析】如图，连接 OC．
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO．
∵∠CAB=30∘，
∴∠COB=60∘．
设 OC=OB=x，
∵BE=1，
∴OE=x−1．
由 cs∠COE=OEOC 可得 x−1x=12，
解得：x=2，
即 OC=2，OE=1．
∵CD⊥AB，
∴CE=OC2−OE2=3．
则 CD=2CE=23．
第三部分
17. （1）
Aʹ4,0，Bʹ3,3，Cʹ1,3．
（2） 由图可知：OB=32+32=32，
∴ BBʹ 的长为 π⋅OB=32π．（方法不唯一，做对即可）
【解析】如：BBʹ 的长为 nπr180∘=180∘×π×32180∘=32π．
18. （1） ∵ 二次函数 y=x2+mx+n 图象过 −3,0，C1,0，
∴9−3m+n=0,1+m+n=0, 解得：m=2,n=−3,
二次函数的解析式为 y=x2+2x−3．
（2） ∵y=x2+2x−3=x+12−4，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，顶点坐标为：−1,−4．
19. 选择A转盘．
画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，A大于B的有 5 种情况，A小于B的有 4 种情况，
∴PA大于B=59，PA小于B=49，
∴ 选择A转盘．
20. ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠D=90∘，AD=BC=8．
在 Rt△ADE 中，DE=6，AD=8，
∴AE=AD2+DE2=10，
∵△ABF 可以由 △ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90∘ 得到，
∴AE=AF，∠EAF=90∘，
∴△AEF 的面积 =12AE2=12×100=50．
21. （1）
连接 OB，
∵OP⊥OA，
∴∠APO+∠A=90∘．
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB=∠APO．
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBA+∠CBP=∠APO+∠A=90∘，
∴OB⊥BC．
∵ 点 B 在 ⊙O 上，
∴BC 是 ⊙O 的切线．
（2） 设 CP=CB=x．
在 Rt△OBC 中，∠OBC=90∘，CB=x，CO=PC+OP=x+1，OB=5，
∴x2+52=x+12，
解得 x=2．
答：BC 的长为 2．
22. （1） W=x−10⋅−2x+120=−2x2+140x−1200,
∵W=−2x2+140x−1200=−2x−352+1250,
∴ 当 x=35 时，W 有最大值，最大利润为 1250 元．
答：当销售单价定为 35 元时，商场可获最大利润，最大利润是 1250 元．
（2） ∵W=−2x2+140x−1200=−2x−352+1250,
∵x≤30，抛物线开口向下，在直线 x=35 的左侧，y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=30 时，W 有最大值，最大值为 1200 元．
答：当销售单价定为 30 元时，商场可获最大利润，最大利润是 1200 元．
23. （1） 由题意得：A1,6，B3,2，
把 A1,6 代入 y=kx 中，可得 k=6，
∴ 反比例函数解析式为 y=6x，A，B 两点坐标分别为 A3,2，B1,6．
（2） 由图象得：不等式 6x<−2x+8 的解集为 1 （3） 如图，作点 A 关于 y 轴的对称点 Aʹ，Aʹ−1,6，连接 AʹB 交 y 轴于点 P，则 PAʹ=PA，连接 PA．
∴AP+BP=AʹP+BP=AʹB，即 AP+BP 的最小值为线段 AʹB 的长度．
设直线 AʹB 的解析式为 y=mx+n，
∵B3,2，Bʹ−1,6，
∴3m+n=2,−m+n=6, 解得 m=−1,n=5.
∴ 直线 AʹB 的解析式为 y=−x+5，
当 x=0 时，y=5，
∴ 点 P 的坐标为 0,5．
24. （1） 如图 1，延长 AO 交 ⊙O 于点 F，连接 CF，延长 BO 交 ⊙O 于点 E，连接 DE，

∵BE，AF 是 ⊙O 的直径，
∴∠EDB=∠FCA=90∘．
在 △DEB 与 △CFA 中，
∠EDB=∠FCA,∠B=∠A,EB=FA,
∴△DEB≌△CFAAAS，
∴AC=BD．
（2） 如图 2，延长 AO 交 ⊙O 于点 F，连接 CF，延长 BO 交 ⊙O 于点 E，连接 DE，CD，OD，OC，
∵∠A=30∘，OA=OC，
∴∠COA=180∘−30∘−30∘=120∘．
∵∠A=∠B=30∘，AC⊥BD，
∴∠EOA+∠A=60∘，
∴∠EOA=30∘．
∵∠B=12∠DOE，
∴∠DOE=60∘．
∵∠COD=∠COA−∠EOA−∠DOE，
∴∠COD=30∘，
∴lCD=30πR180=23π．
25. （1） 由抛物线 y=−x2−2x+3 可知，C0,3．
令 y=0，则 0=−x2−2x+3，解得，x=−3 或 x=1，
∴A−3,0，B1,0．
（2） 由抛物线 y=−x2−2x+3 可知，对称轴为直线 x=−1．
∵Mm,0，
∴PM=−m2−2m+3，MN=−m−1×2=−2m−2，
∴矩形PMNQ的周长=2PM+MN=−m2−2m+3−2m−2×2=−2m2−8m+2.
（3） ∵−2m2−8m+2=−2m+22+10，
∴ 矩形的周长最大时，m=−2．
∵A−3,0，C0,3，
设直线 AC 的解析式 y=kx+b，
∴−3k+b=0,b=3, 解得 k=1,b=3,
∴ 直线 AC 的解析式 y=x+3，
令 x=−2，则 y=1，
∴E−2,1，
∴EM=1，AM=1，
∴S△AEM=12AM×EM=12．
（4） 如图，
∵M−2,0，抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∴ 点 N 应与原点 O 重合，Q 点与 C 点重合，
∴DQ=DC，
把 x=−1 代入 y=−x2−2x+3，解得 y=4，
∴D−1,4，
∴DQ=DC=2．
∵FG=22DQ，
∴FG=4．
设 Fn,−n2−2n+3，则 Gn,n+3，
∵ 点 G 在点 F 的上方且 FG=4，
∴n+3−−n2−2n+3=4，解得 n=−4 或 n=1，
∴F−4,−5或1,0．