2018_2019学年杭州市西湖区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年杭州市西湖区九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 3x=2yxy≠0，则下列比例式成立的是
A. x3=y2B. x3=2yC. xy=32D. x2=y3

2. 正五边形需要旋转 后才能与自身重合．
A. 36∘B. 45∘C. 60∘D. 72∘

3. 已知 ⊙O 的面积为 25π，若 PO=5.5，则点 P 在
A. ⊙O 外B. ⊙O 上
C. ⊙O 内D. ⊙O 上或 ⊙O 内

4. 如图，在边长为 1 的格点图形中，与 △ABC 相似的是
A. B.
C. D.

5. 从 2 种不同款式的衬衣和 2 种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有 种可能．
A. 1B. 2C. 3D. 4

6. 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP>PB，则有
A. AB2=AP⋅PBB. AP2=BP⋅AB
C. BP2=AP⋅ABD. AP⋅AB=PB⋅AP

7. 如图，A，B，C 三点在已知的圆上，在 △ABC 中，∠ABC=70∘，∠ACB=30∘，D 是 BAC 的中点，连接 DB，DC，则 ∠DBC 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 70∘

8. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 sinA=55，AB=2，则 AC 长是
A. 455B. 255C. 55D. 2

9. 已知：A0,4，B0,−6，C 为 x 轴正半轴上一点，且满足 ∠ACB=45∘，则
A. △ABC 外接圆的圆心在 OC 上B. ∠BAC=60∘
C. △ABC 外接圆的半径等于 5D. OC=12

10. 已知一次函数 y=ax+b 过一，二，四象限，且过点 6,0，则关于二次函数 y=ax2+bx+1 的以下说法：
①图象与 x 轴有两个交点；② a<0，b>0；③当 x=3 时函数有最小值；④若存在一个实数 m，当 x≤m 时，y 随 x 的增大而增大，则 m≤3．
其中正确的是
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 比较 sin30∘，sin45∘ 的大小，并用“<”连接为 ．

12. 已知：a4=b3=c2，则 a−b+ca+2b= ．

13. 已知扇形的半径为 5 cm，弧长为 6π cm，那么扇形的面积为 ．

14. 一个不透明的布袋里装有 2 个红球，4 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出 1 个球是黄球的概率为 0.4，则 a= ．

15. 如图，已知扇形 OAB 的半径为 6，C 是弧 AB 上的任一点（不与 A，B 重合），CM⊥OA，垂足为 M，CN⊥OB，垂足为 N，连接 MN，若 ∠AOB=45∘，则 tan∠AOB= ，MN= ．

16. 已知关于 x 的二次函数 y=ax2+a2−1x−a 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为 m,0，若 3
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 将 y=x2 的图象向上平移 1 个单位，再向左平移 1 个单位所得的函数记为 y1．
（1）写出 y1 的顶点坐标与函数表达式；
（2）当 −1≤x≤0 时，比较 y 与 y1 的大小．

18. 如图，ABCD 与 ACED 都是平行四边形，点 R 在 DE 上，BR 分别交 AC，CD 于点 P，Q．
（1）请直接写出图中全部的相似三角形（相似比为 1 除外，不另加辅助线或字母）；
（2）若点 R 是 DE 的中点，求 CQAB 的值．

19. 某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在四等分的转盘上依次标有“0 元”，“10 元”，“30 元”，“50 元”字样，购物每满 300 元可以转动转盘 2 次，转盘停下后，顾客可以获得指针所指区域相应金额的购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费 300 元，并参加促销活动，转了 2 次转盘．
（1）求出该顾客可能落得购物券的最高金额和最低金额；
（2）请用列表法或画树状图法求出该顾客获购物金额不低于 50 元的概率．

20. 已知：如图，在菱形 ABCD 中 AE⊥BC，垂足为 E，对角线 BD=8，tan∠CBD=12，求：
（1）边 AB 的长；
（2）cs∠BAE 的值．

21. 如图，AB 是半圆 O 的直径，E 是弧 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8 cm，DE=2 cm，求 OD 与 AD 的长．

22. 如图，已知 A，B，C，M 在一条直线上，P 为直线 AB 外一点，连接 PA，PB，PC，PM，若 PA2:PC2=AB:BC，则称 PB 为 AC 边上的“平方比线”．
（1）当 AB=6，AC=8，PA=215，PC=25 时，试说明 PB 为 AC 边上的“平方比线”；
（2）当 AB=6，AC=8，CM=4，PM=43 时，
①若 ∠A=25∘，求 ∠CPM 的度数；
②求证：PB 为 AC 边上的“平方比线”．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y1=x2−4x+4 的顶点为 D，直线 y2=kx−2kk≠0；
（1）点 D 是否在直线 y2=kx−2k 上?请说明理由；
（2）过 x 轴上一点 Mt,00≤t≤2 作 x 轴上的垂线，分别交为 y1，y2 于点 P，点 Q．小明同学借助图象性质探究，当 k 满足什么条件时，存在实数 t 使得 PQ=3，他发现以下结论：
①当 k>0 时，存在满足条件的 t；
②当 −2你认为小明的判断是否正确?请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】A、由 x3=y2 得，2x=3y，故本选项不符合题意；
B、由 x3=2y 得，xy=6，故本选项不符合题意；
C、由 xy=32 得，2x=3y，故本选项不符合题意；
D、由 x2=y3 得，3x=2y，故本选项符合题意．
2. D【解析】根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转 72 度的整数倍，就可以与自身重合，即正五边形需要旋转 72∘ 后才能与自身重合．
3. A【解析】设圆的半径为 R，
根据题意得 πR2=25π，解得 R=5，
∵PO=5.5，
∴PO>R，
∴ 点 P 在 ⊙O 外．
4. A【解析】已知给出的三角形的各边分别为 2，2，10，
所以 △ABC 的三边之比为 2:2:10=1:2:5，
A．三角形的三边分别为 1，2，5，三边之比为 1:2:5，故A选项正确；
B．三角形的三边分别为 2，5，3，三边之比为 2:5:3，故B选项错误；
C．三角形的三边分别为 1，5，22，三边之比为：1:5:22，故C选项错误；
D．三角形的三边分别为：2，5，13，三边之比为 2:4:13，故D选项错误．
5. D
【解析】把 2 种不同款式的衬衣用 A，B 表示，2 种不同款式的裙子用 a，b 表示，画树状图为：
共有 4 种等可能的结果数．
6. B【解析】∵P 为线段 AB 的黄金分割点，且 AP>BP，
∴AP2=BP⋅AB．
7. C
8. A【解析】如图，
∵∠C=90∘，sinA=55，AB=2，
∴BC=AB×sinA=2×55=255，
由勾股定理得：AC=AB2−BC2=455．
9. D【解析】设线段 BA 的中点为 E，
∵ 点 A0,4，B0,−6，
∴AB=10，E0,−1．
如图所示，过点 E 在第四象限作 EP⊥BA，且 EP=12AB=5，
则易知 △PBA 为等腰直角三角形，∠BPA=90∘，PA=PB=52；
以点 P 为圆心，PA（或 PB）长为半径作 ⊙P，与 y 轴的正半轴交于点 C，
∵∠BCA 为 ⊙P 的圆周角，
∴∠BCA=12∠BPA=45∘，则点 C 即为所求．
过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，则 OF=PE=5，PF=OE=1，
在 Rt△PFC 中，PF=1，PC=52，
由勾股定理得：CF=PC2−PF2=7，
∴OC=OF+CF=5+7=12．
10. C
【解析】∵ 一次函数 y=ax+b 过一，二，四象限，且过点 6,0，
∴a<0，b>0，0=6a+b，故②正确，
∴b=−6a，
∴y=ax2+bx+1 中 a<0，b>0，
∴Δ=b2−4a×1=36a2−4a=4a9a−1>0，
∴ 图象与 x 轴有两个交点，故①正确，
在 y=ax2+bx+1 中，当 x=−b2a=−−6a2a=3 时，取得最大值，故③错误，
∴ 当 x>3 时，y 随 x 的增大而减小，当 x<3 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ 若存在一个实数 m，当 x≤m 时，y 随 x 的增大而增大，则 m≤3，故④正确．
第二部分
11. sin30∘【解析】∵sin30∘=12，sin45∘=22，
∴sin30∘12. 310
【解析】设 a4=b3=c2=kk≠0，则 a=4k，b=3k，c=2k，
∴a−b+ca+2b=4k−3k+2k4k+2⋅3k=310．
13. 15π cm2
【解析】扇形的面积 =12LR=12×5×6π=15π cm2．
14. 4
【解析】根据题意得：a2+4+a=0.4，
解得：a=4，
经检验，a=4 是原分式方程的解，
则 a=4．
15. 1，32
【解析】如图，连接 OC，延长 OA，NC 交于 D，
则 OC=6，
∵CM⊥OA，CN⊥OB，
∴∠DMC=∠DNO=90∘，
∵∠D=∠D，
∴△DMC∽△DNO，
∴DMDN=DCDO，即 DMDC=DNDO，
∵∠D=∠D，∠DNM=∠DOC，
∴△DMN∽△DCO，
∴MNCO=DNDO，
∵CN⊥OB，∠AOB=45∘，
∴sin∠AOB=DNOD=22，tan∠AOB=1，
∴MNOC=22，
∵OC=6，
∴MN6=22，
∴MN=32．
16. 14【解析】∵y=ax2+a2−1x−a=ax−1x+a，
∴ 当 y=0 时，x1=1a，x2=−a，
∴ 抛物线与 x 轴的交点为 1a,0 和 −a,0．
∵ 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标为 m,0 且 3 ∴ 当 a>0 时，3<1a<4，解得 14当 a<0 时，3<−a<4，解得 −4第三部分
17. （1） 由“左加右减、上加下减”的原则可知，把二次函数 y=x2 的图象向上平移 1 个单位后，再向左平移 1 个单位，则平移后的抛物线的表达式为 y1=x+12+1．顶点坐标为 −1,1．
（2） 当 −1≤x≤0 时，y18. （1） 图中相似三角形（相似比为 1 除外）有 4 对．
【解析】∵CP∥ER，
∴△BCP∽△BER；
∵CP∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵CQ∥AB，
∴△PCQ∽△PAB；
∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．
∴ 图中相似三角形（相似比为 1 除外）有 4 对．
（2） ∵CP∥RE，BC=CE，
∴CPRE=BCBE=12，
∵ 点 R 是 DE 的中点，
∴CPDR=12，
∵CP∥RE，
∴CQQD=CPDR=12，
∴CQCD=13，
∵AB=CD，
∴CQAB=13．
19. （1） 该顾客可能落得购物券的最高金额为 100 元和最低金额 0 元．
（2） 树状图如图所示：
由树状图可以看出，一共有 16 种等可能的情况，其中顾客获购物金额不低于 50 元的结果共有 6 种，
因此，该顾客获购物金额不低于 50 元的概率为：616=38．
20. （1） 如图，连接 AC，AC 与 BD 相交于点 O，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，BO=12BD=4，
∵Rt△BOC 中，tan∠CBD=OCOB=12，
∴OC=2，
∴AB=BC=BO2+CO2=42+22=25．
（2） ∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC⋅AE=12BD⋅AC，
∵AC=2OC=4，
∴25AE=12×8×4，
∴AE=855，
∴BE=AB2−AE2=252−8552=655，
∴cs∠ABE=BEAB=65525=35．
21. 连接 AC，设 ⊙O 的半径为 R cm．
∵CE=EB，
∴OE⊥BC，
∴CD=DB=4 cm，
在 Rt△ODB 中，
∵OD2+BD2=OB2，
∴R−22+42=R2，
∴R=5 cm，
∴OD=OE−DE=3 cm，
∵AO=OB，CD=DB，
∴AC=2OD=6 cm，
∵AB 是直径，
∴∠C=90∘，
∴AD=AC2+CD2=62+42=213 cm．
22. （1） ∵PA=215，PC=25，
∴PA2=2152=4×15=60，PC2=252=4×5=20，
∴PA2PC2=6020=3，
∵AB=6，AC=8，
∴BC=AC−AB=2，
∴ABBC=31=3，
∴PA2PC2=ABBC，
∴PB 为 AC 边上的“平方比线”．
（2） ① ∵AC=8，CM=4，
∴AM=AC+CM=12，
∴AM×CM=12×4=48，
∵PM=43，
∴PM2=432=48，
∴PM2=CM×AM，
∴PMCM=AMPM，
∵∠M=∠M，
∴△PMC∽△AMP，
∴∠MPC=∠MAP=25∘；
②如图，过点 P 作 PG⊥AM，交 AM 的延长线于 G，
设 MG=a，在 Rt△PMG 中，PM=43，
∴PG2=PM2−MG2=48−a2，
在 Rt△PCG 中，CG=CM+MG=a+4，
根据勾股定理得，
PC2=CG2+PG2=a+42+48−a2=64+8a=8a+8,
在 Rt△APG 中，AG=AC+CM+MG=8+4+a=a+12，
根据勾股定理得，
PA2=AG2+PG2=a+122+48−a2=192+24a=24a+8,
∴PA2PC2=24a+88a+8=3，
∵AB=6，BC=AC−AB=2，
∴ABBC=62=3，
∴PA2PC2=ABBC，
∴PB 为 AC 边上的“平方比线”．
23. （1） ∵y1=x2−4x+4=x−22，
∴ 点 D 的坐标为 2,0．
当 x=2 时，y2=2k−2k=0，
∴ 点 D 在直线 y2=kx−2k 上．
（2） ∵ 点 Mt,0，
∴ 点 Pt,t2−4t+4，点 Qt,kt−2k，
∴PQ=∣t2−4t+4−kt−2k∣=∣t2−4+kt+4+2k∣．
①当 P 在 Q 点上方时，k>0，
∵PQ=3，
∴t2−4+kt+4+2k=3，
整理得 t2−4+kt+1+2k=0，
∵Δ=b2−4ac=4+k2−41+2k=k2+12>0，
∴ 当 k>0 时，存在满足条件的 t 值．
①正确．
②当 P 在 Q 点下方时，k<0．
∵PQ=3，
∴t2−4+kt+4+2k=−3，
∴t2−4+kt+7+2k=0．
∵Δ=b2−4ac=4+k2−47+2k=k2−12，
∴ 当存在 PQ=3 时，k2−12≥0，
∴k≤−23 或 k≥23（舍去），
∴ 当 −2②正确．