2018_2019学年北京市门头沟区八上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市门头沟区八上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如果二次根式 x−3 有意义，那么 x 的取值范围是
A. x≥3B. x≥0C. x>3D. x≠3

2. 在下列实数中，无理数是
A. 13B. 2C. 0D. 9

3. 9 的平方根是
A. 3B. ±3C. ±3D. 81

4. 下列事件中，属于不确定事件的是
A. 科学实验，前 100 次实验都失败了，第 101 次实验会成功
B. 投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是 7 点
C. 太阳从西边升起来了
D. 用长度分别是 3 cm，4 cm，5 cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形

5. 小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从中任抽一颗．袋子里有三种颜色的糖果，它们的大小、形状、质量等都相同．如果袋中所有糖果数量统计如图所示，那么小明抽到红色糖果的可能性为
A. 518B. 115C. 215D. 13

6. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是
A. B.
C. D.

7. 如果将分式 2xx+y 中的字母 x 与 y 的值分别扩大为原来的 10 倍，那么这个分式的值
A. 扩大为原来的 10 倍B. 扩大为原来的 20 倍
C. 缩小为原来的 110D. 不改变

8. 如果实数 a=11，且 a 在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 2 的相反数是 ．

10. 已知分式 x−2x+1 的值为 0，那么 x 的值为 ．

11. 如果实数 a 在数轴上的位置如图所示，那么 a−12+a−22= ．

12. 2017 年 11 月 5 日 19 时 45 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中远地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是： ．

13. 如图，Rt△ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将 △ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为 ．

14. 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+14=0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 a，b 的值：a= ，b= ．（答案不唯一）

15. 学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是 9 或 12”，你认为小明的回答是否正确： ，你的理由是 ．

16. 学习了“分式的加法”的相关知识后，小明同学画出了如图所示的流程图，请问他画的图中①为 ，②为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：38−12+∣3−2∣．

18. 解方程：x2+4x−1=0．

19. 已知 a−3b=0，求 a−ba2+2ab+b2⋅a+b 的值．

20. 解方程：xx−1−2x2−1=1．

21. 阅读材料，并回答问题：
小明在学习分式运算过程中，计算 1x+2−1x−2 的解答过程如下：
解：
1x+2−1x−2 ⋯⋯①=x−2x+2x−2−x+2x−2x+2 ⋯⋯②=x−2−x+2 ⋯⋯③=x−2−x−2 ⋯⋯④=−4. ⋯⋯⑤
问题：
（1）上述计算过程中，从 步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程：

22. 已知：如图，∠BAC=∠DAC．请添加一个条件 ，使得 △ABC≌△ADC，然后再加以证明．

23. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE 和 DE，如果 ∠ABE=40∘，BE=DE．求 ∠CED 的度数．

24. 如图，电信部门要在公路 m 和公路 n 之间的区域内修建一座电视信号发射塔 P．按照设计要求，发射塔 P 到地点 A 和地点 B 的距离相等，到两条公路 m 和公路 n 的距离也相等．
（1）在所给的图中，作出发射塔 P 所处的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）简单说明作图的依据．

25. 列方程解应用题：
为了缓解北京市西部地区的交通拥堵现象，市政府决定修建本市的第一条磁浮地铁线路- -“S1 线”．该线路连接北京城区与门头沟，西起石门营，向东经苹果园，终点至慈寿寺与 6 号线和 10 号线相接．为使该工程提前 4 个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高 10%．问原计划完成这项工程需用多少个月．

26. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2−3m+1x+2m+3=0．
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围．
（2）在（ 1 ）的条件下，当该方程的根都是整数，且 ∣x∣<4 时，求 m 的整数值．

27. 阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于 −1，记作 i2=−1，那么这个 i 就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为 a+bi（a，b 均为实数）的形式，其中 a 叫做它的实部，b 叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．例如计算：5+i+3−4i=5+3+i−4i=8−3i．根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：2+i2；
（3）将 1+i1−i 化为 a+bi（a，b 均为实数）的形式（即化为分母中不含 i 的形式）．

28. 已知：在 △ABC 中，∠CAB=90∘，AB=AC．
（1）如图 1，P，Q 是 BC 边上两点，AP=AQ，∠BAP=20∘，求 ∠AQB 的度数；
（2）点 P，Q 是 BC 边上两动点（不与 B，C 重合），点 P 在点 Q 左侧，且 AP=AQ，点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM．
①依题意将图 2 补全；
②小明通过观察和实验，提出猜想：在点 P，Q 运动的过程中，始终有 PM=2PA．他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：
（Ⅰ）要想证明 PM=2PA，只需证 △APM 为等腰直角三角形；
（Ⅱ）要想证明 △APM 为等腰直角三角形，只需证 ∠PAM=90∘，PA=AM；
⋯
请参考上面的思路，帮助小明证明 PM=2PA．
答案
第一部分
1. A【解析】二次根式 x−3 有意义，
则 x 的取值范围是：x≥3．
2. B【解析】A．13 是分数，所以是有理数，故本选项错误；
B．2 是开方开不尽的数，是无理数，故本选项正确；
C．0 是整数，是有理数，故本选项错误；
D．9 是整数，是有理数，故本选项错误．
3. B【解析】±9=±3．
4. A【解析】A．是随机事件，故A符合题意；
B．是不可能事件，故B不符合题意；
C．是不可能事件，故C不符合题意；
D．是必然事件，故D不符合题意．
5. D
【解析】根据统计图得绿色糖果的个数为 2 颗，红色糖果的个数为 5 颗，黄色糖果的个数为 8 颗，
∴ 小明抽到红色糖果的概率 =52+5+8=13．
6. D【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
7. D【解析】原式=20x10x+10y=2xx+y．
8. C【解析】由被开方数越大算术平方根越大，得 9<11<494，得 3第二部分
9. −2
【解析】2 的相反数是 −2．
10. 2
11. 1
【解析】a−12+a−22=a−1+a−2．
∵1 ∴原式=a−1+2−a=1．
12. 三角形具有稳定性
13. 4
【解析】设 BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9−x，
∵ D 是 BC 的中点，
∴ BD=3，
在 Rt△BND 中，x2+32=9−x2，
解得 x=4．
故线段 BN 的长为 4．
14. 4，2
【解析】关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+14=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4×14a=b2−a=0，
∴a=b2，
当 b=2 时，a=4，
故 b=2，a=4 时满足条件．
15. 不正确，2+2<5，当三边边长分别为 2，2，5 时不构成三角形
【解析】当腰为 5 时，
周长=5+5+2=12；
当腰长为 2 时，
因为 2+2<5，
根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为 5，这个三角形的周长是 12．
16. 化为最简分式，通分
【解析】由分式的运算法则可知：①化为最简分式；②通分．
第三部分
17. 原式=2−23+2−3=4−33．
18. 因为
x2+4x−1=0.
所以
x2+4x=1.
所以
x2+4x+4=1+4.
所以
x+22=5.
所以
x=−2±5.
所以
x1=−2+5,x2=−2−5.
19. a−ba2+2ab+b2⋅a+b=a−ba+b2⋅a+b=a−ba+b,
∵a−3b=0，
∴a=3b
当 a=3b 时，
原式=3b−b3b+b=2b4b=12.
20. 方程两边都乘以 x2−1 得：xx+1−2=x2−1.
去括号得 x2+x−2=x2−1.
移项合并得 x=1．
检验：当 x=1 时，方程的分母等于 0,
所以原方程无解．
21. （1） ③
（2） 不能去分母
（3） 正确解答过程为：
解：
1x+2−1x−2=x−2x+2x−2−x+2x−2x+2=x−2−x−2x+2x−2=−4x2−4.
22. AB=AD（或 ∠B=∠D 或 ∠ACB=∠ACD）（答案不唯一）
【解析】若添加的条件为：AB=AD，
则在 △ABC 与 △ADC 中，
AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC．
若添加的条件为：∠B=∠D，
则在 △ABC 与 △ADC 中，
∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC．
若添加的条件为：∠ACB=∠ACD，
则在 △ABC 与 △ADC 中，
∠BAC=∠DAC,AC=AC,∠ACB=∠ACD,
∴△ABC≌△ADC．
23. ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵∠ABE=40∘，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=60∘−40∘=20∘，
∵BE=DE，
∴∠D=∠EBC=20∘，
∴∠CED=∠ACB−∠D=40∘．
24. （1） 如图所示：
（2） 依据：角平分线上的点到角的两边的距离相等；线段的中垂线上的点到线段两个端的距离相等．
25. 设原计划完成这项工程用 x 个月，
则实际完成这项工程用 x−4 个月．
根据题意有：
1+10%×1x=1x−4.
解得：
x=44.
经检验：x=44 是原方程的解，并且满足题意．
答：原计划完成这项工程用 44 个月．
26. （1） m≠0 且 m≠−3．
（2） m=−1 或 3．
27. （1） −i；1
【解析】∵i2=−1，
∴i3=i2⋅i=−1⋅i=−i，i4=i2⋅i2=−1⋅−1=1．
（2） 2+i2=i2+4i+4=−1+4i+4=3+4i．
（3） 1+i1−i=1+i1+i1−i1+i=1+i22=2i2=i．
28. （1） ∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠C=45∘，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∵∠APQ=∠B+∠BAP，∠AQP=∠C+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=20∘，
∴∠AQB=45∘+20∘=65∘．
（2） ①如图所示：
② ∵Q，M 关于 AC 对称，
∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，
∵∠BAP=∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAM，
∴∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC，
即 ∠PAM=∠BAC=90∘，
∵AP=AQ，
∴AP=AM，
∴△PAM 是等腰直角三角形，
∴PM=2AP．