2018_2019学年北京市东城区八下期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市东城区八下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 函数 y=1x−3 中自变量 x 的取值范围是
A. x≥3B. x≠−3C. x≤3D. x≠3

2. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是
A. 3，4，5B. 6，8，9C. 1，2，7D. 5，12，14

3. 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达 A，B 的点 C，找到 AC，BC 的中点 D，E，并且测出 DE 的长为 10 m，则 A，B 间的距离为
A. 15 mB. 20 mC. 25 mD. 30 m

4. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如表：
尺码3940414243平均每天销售数量件1012201212
该店主决定本周进货时，增加了一些 41 码的衬衫，影响该店主决策的统计量是
A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数

5. 用配方法解一元二次方程 x2+2x−1=0，配方后得到的方程是
A. x−12=2B. x+12=2C. x+22=2D. x−22=2

6. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角

7. 函数 y=kx+b 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 kx+b<0 的解集是
A. x>0B. x<0C. x>2D. x<2

8. 如图，某工厂有甲，乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 在某次七年级期末测试中，甲乙两个班的数学平均成绩都是 89 分，且方差分别为 s甲2=0.15，s乙2=0.2，则成绩比较稳定的是 班．

10. 如图，平行四边形 ABCD 中两个邻角的度数比为 1:3，则其中较小的内角的度数为 ．

11. 写出一个图象经过第二、四象限的正比例函数的解析式 ．

12. 将一次函数 y=−3x+4 的图象向上平移 2 个单位长度后得到的解析式 ．

13. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，分别以 BC，AB，AC 为边向外作正方形，面积分别记为 S1，S2，S3，若 S2=4，S3=6，则 S1= ．

14. 如图，菱形 ABCD 的边长是 2 cm，∠ABC=60∘，则菱形 ABCD 的面积为 cm2．

15. 若关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．

16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：Rt△ABC，∠ABC=90∘．
求作：矩形 ABCD．
小敏的作法如下：
①以 A 为圆心，BC 长为半径作弧，以 C 圆心，AB 长为半径作弧，两弧相交于点 D；
②连接 DA，DC．
所以四边形 ABCD 为所求矩形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 解方程：x2−4x−5=0

18. 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象经过点 A−1,1 和点 B1,5，求一次函数的解析式．

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE=CF，求证：BE=DF．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−mx−2=0．
（1）证明：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为 −2，求 m 的值．

21. 每年的 4 月 23 日是“世界图书日”．某班鼓励同学们到阅览室借阅图书，并统计图书借阅总量．该班在 2015 年图书借阅总量是 1000 本，2017 年图书借阅总量是 1440 本，该班的图书借阅总量的年平均增长率是多少?

22. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF．
（1）求证：BE=BF；
（2）求 BE 的长．

23. 某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了甲，乙两座荒山，各栽 100 棵小枣树，发现成活率均为 97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了 4 棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）直接写出甲山 4 棵小枣树产量的中位数 ；
（2）分别计算甲，乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；
（3）用样本平均数估计甲乙两座山小枣的产量总和．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B．
（1）求点 A 和点 B 的坐标；
（2）若点 P 在 y 轴上，且 S△AOP=12S△AOB，求点 P 的坐标．

25. 有这样一个问题：如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质．
小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
下面是小南的探究过程：
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是 ；
（2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请你帮小南说明理由；
已知：如图，在筝形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．
证明：
（3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，请从边，角，对角线等方面写出筝形的其他性质（一条即可）： ．

26. 小俊奶茶店厂生产A，B两种奶茶，由于地处旅游景点区域，每天都供不应求．经过数学计算，小俊发现A种奶茶每杯生产时间为 4 分钟，B种奶茶每杯生产时间为 1 分钟，由于原料和运营时间限制，每天生产的总时间为 300 分钟．
（1）设A种奶茶生产 x 杯，B种奶茶生产 y 杯，则 y 与 x 之间的函数关系式 y= ；
（2）由于A种奶茶比较受顾客青睐，小俊决定每天生产A种奶茶不少于 73 杯，那么不同的生产方案有多少种?并写出每种生产方案；
（3）在（2）情况下，若A种奶茶每杯利润为 3 元，B种奶茶每杯利润为 1 元，直接写出小俊每天获得的最大利润为 ．

27. 正方形 ABCD 中，点 P 是边 CD 上的任意一点，连接 BP，O 为 BP 的中点，作 PE⊥BD 于 E，连接 EO，AE．
（1）若 ∠PBC=α，求 ∠POE 的大小（用含 α 的式子表示）；
（2）用等式表示线段 AE 与 BP 之间的数量关系，并证明．

28. 定义：若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0 的两个实数根为 x1，x2x1（1）若方程为 x2−2x=0，写出该方程的衍生点 M 的坐标．
（2）若关于 x 的一元二次方程 x2−2m+1x+2m=0m<0 的衍生点为 M，过点 M 向 x 轴和 y 轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求 m 的值．
（3）是否存在 b，c，使得不论 kk≠0 为何值，关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的衍生点 M 始终在直线 y=kx−2k−2 的图象上，若有请直接写出 b，c 的值，若没有说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. B
4. A
5. B
6. B
7. C
8. D
第二部分
9. 甲
10. 45∘
11. 答案不唯一，k<0 即可，如 y=−2x
12. y=−3x+6
13. 2
14. 23
15. m<1
16. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
第三部分
17. ∵ a=1，b=−4，c=−5．
∴ △=b2−4ac=−42−4×1×−5=36>0．
x=−b±b2−4ac2a=−−4±−42−4×1×−52×1=4±62．
所以，方程的解为 x1=5，x2=−1．
【解析】解法二：
配方得，x2−4x+4−4−5=0．
即 x−22=9．
即 x−2=±3．
所以，方程的解为 x1=5，x2=−1．
解法三：
x−5x+1=0．
x−5=0 或 x+1=0．
所以，方程的解为 x1=5，x2=−1．
18. ∵ 一次函数过点 A−1,1 和 B1,5，
∴−k+b=1,k+b=5. 解得 k=2,b=3.
∴ 一次函数解析式为 y=2x+3．
19. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠BAE=∠DCF．
在 △AEB 和 △CFD 中，
AB=CD,∠BAE=∠DCF,AE=CF,
∴△AEB≌△CFD，
∴BE=DF．
20. （1） ∵Δ=b2−4ac=−m2−4×1×−2=m2+8>0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根．
（2） 若方程有一个根为 −2，
∴−22−−2m−2=0．
∴m=−1．
21. 设年平均增长率为 x，
根据题意列方程，得
10001+x2=1440.
解得
x1=0.2,x2=−2.2舍去.
所以
x=0.2=20%.
答：该班的图书借阅总量从 2015 年至 2017 年的年平均增长率是 20%．
22. （1） 在矩形 ABCD 中，AD∥BC，
所以 ∠DEF=∠EFB．
由折叠可知 ∠BEF=∠DEF，
所以 ∠BEF=∠EFB．
所以 BE=BF．
（2） 在矩形 ABCD 中，∠A=90∘，
由折叠可知 BE=ED．
设 BE=x，则 AE=9−x，
在 Rt△ABE 中，∠A=90∘，
所以 AE2+AB2=BE2．
所以 9−x2+32=x2，
解得 x=5．
所以 BE=5．
23. （1） 38
（2） x甲=50+36+40+344=40（千克），
x乙=32+40+48+364=39（千克），
因为 40>39，且两山抽取的样本一样多，
所以甲山样本的产量高．
（3） 总产量为：40×100+39×100×0.97=7663（千克）．
答：甲乙两山小枣的产量总和为 7663 千克．
24. （1） 令 x=0，得 y=4，
令 y=0，得 x=2．
∴A2,0，B0,4．
（2） ∵S△AOB=12×2×4=4，
∴S△AOP=12S△AOB=2，
∴12×∣OA∣×∣OP∣=2，
∴12×2×∣OP∣=2，
∴∣OP∣=2，
∵P 点在 y 轴上，
∴P10,−2，P20,2．
25. （1） 菱形或正方形
（2） 连接 AC，
在 △ABC 和 △ADC 中，
AB=AD,AC=AC,BC=DC,
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠D．
（3） （答案不唯一）筝形的对角线互相垂直
26. （1） −4x+300
【解析】因为每天生产的时间为 300 分钟，所以 4x+y=300，y=−4x+300．
（2） x≥73,300−4x≥0, 解得 73≤x≤75，
因为 x 为整数，所以 x 可取 73，74，75，
方案一：A种 73 杯，B种 8 杯，
方案二：A种 74 杯，B种 4 杯，
方案三：A种 75 杯，B种 0 杯．
（3） 227 元
【解析】利润为：3x+−4x+300=−x+30073≤x≤75，
故生产A种奶茶 73 杯，B种奶茶 8 杯时，利润最大为 227 元．
27. （1） 在正方形 ABCD 中，BC=DC，∠C=90∘，
∴∠DBC=∠CDB=45∘，
∵∠PBC=α，
∴∠DBP=45∘−α，
∵PE⊥BD，且 O 为 BP 的中点，
∴EO=BO，
∴∠EBO=∠BEO，
∴∠EOP=∠EBO+∠BEO=90∘−2α．
（2） BP=2AE．
证明：
如图，连接 OC，EC，
在正方形 ABCD 中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
在 Rt△BPC 中，O 为 BP 的中点，
∴CO=BO=12BP，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠COP=2α，
由（1）知 ∠EOP=90∘−2α，
∴∠EOC=∠COP+∠EOP=90∘，
又由（1）知 BO=EO，
∴EO=CO，
∴△EOC 是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2=EC2，
∴EC=2OC=22BP，
即 BP=2EC，
∴BP=2AE．
28. （1） x2−2x=0，
解得：x1=0，x2=2，
故方程 x2−2x=0 的衍生点为 M0,2．
（2） x2−2m+1x+2m=0m<0，
∵m<0，
∴2m<0，
解得：x1=2m，x2=1，
方程 x2−2m+1x+2m=0m<0 的衍生点为 M2m,1，
点 M 在第二象限内且纵坐标为 1，
由于过点 M 向两坐标轴作垂线，两条垂线与 x 轴 y 轴恰好围成一个正方形，
所以 2m=−1，解得 m=−12．
（3） 存在．直线 y=kx−2k−2=kx−2+4，
过定点 M2,4，x2+bx+c=0 两个根为 x1=2，x2=4，
解得：b=−6,c=8.