人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试精练

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【基础知识网络预习】

考点1  两角和与差的三角函数公式的应用

【基础知识重温】

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；

T(α＋β)：tan(α＋β)＝；

T(α－β)：tan(α－β)＝.

变形公式：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；

.

考点2  二倍角公式的运用公式的应用

【基础知识重温】

二倍角的正弦、余弦、正切公式：

S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

T2α：tan 2α＝.

变形公式：

cos2α＝，sin2α＝

1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2

考点3 三角函数的综合应用

【基础知识重温】

    函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

【重难点例题启发与方法总结】

考点1  两角和与差的三角函数公式的应用

【题组全面展示】

【1-1】【2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】设为锐角，若，

则(    )

A.                 B.                  C.                D.   

【1-2】【崇明县2013学年高三第一学期期末考试试卷】若则         

【1-3】【2014年高考全国2卷文第14题】函数的最大值为_________．

【1-4】已知，，且，则         .

综合点评：这些题目主要考查三角函数的和角公式的运用，要注意审题，根据题目特征正确选用公式.

【方法规律技巧】

1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．

2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．

提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．

【新题变式探究】

【变式1】【福建省安溪八中2014届高三12月月考数学】已知，则的值是(   )

A．            B．              C．            D．

【变式2】【江苏省连云港市2014届高三第二次调研考试数学试题】

已知，，则的值为      ．

【变式3】【2014年高考全国2】函数的最大值为_________．

【变式4】【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知均为锐角，且，．

     （Ⅰ）求的值；

     （Ⅱ）求的值．

【变式5】【广东省梅州市2014届高三3月质检】已知函数的部分图像如图所示.

    （Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；

    （Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.

考点2  二倍角公式的运用公式的应用

【题组全面展示】

【2-1】【2014宿州高三第一次教学质量检测数学】 设向量的模为，则（   ）

A.                 B.                C.                    D.   [来源:学科网ZXXK]

【2-2】【山东省烟台市高三统一质量检测考试】已知，则=        .

【2-3】【2014年温州市高三第一次适应性测试】已知，则(      )

A．                B．              C．              D．

【2-4】【2014年高考大纲卷文第14题】函数的最大值为           .

【2-5】若cosα＝－，α是第三象限角，则＝           .

综合点评：这些题目都是考查二倍角公式，仔细审题，弄清题目的特征，正确选用公式.

【方法规律技巧】

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：[来源:Zxxk.Com]

    （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

【新题变式探究】

【变式1】【唐山市2013-2014学年度高三年级第一次模拟考试】若，则（     ）

A．            B．             C．                D．

【变式2】【2014淄博模拟】已知cos(α－)＝，则sin 2α等于(　　)

A.            B．－              C.                D．－

【变式3】【2014年四川眉山市高三模拟】函数f(x)=sin2(x+)-sin2(x-), x(,)的值域是______.

【变式4】【2014年洛阳模拟】已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<. 则tan 2α的值为           .

【变式5】若－2π＜α＜－，则 的值是           .

考点3 三角函数的综合应用

【题组全面展示】

【3-1】【2014黄冈中学模拟】已知cos(α＋)＝，则sin(2α－)的值为(　　)

A.                B．－              C.                D．－

【3-2】已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（    ）

A.           B.             C.              D.

【3-3】【上海市2014届高三八校联合调研考试数学试题】已知函数的最小正周期是，则         ．

【3-4】已知，，则          .

【3-5】【广东省揭阳市2014届高三3月高考第一次模拟考试】已知函数.

    （Ⅰ）求函数的定义域和最小正周期；

（Ⅱ）若，，求的值.

【方法规律技巧】

    高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

【新题变式探究】[来源:学科网ZXXK]

【变式1】【广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟考试】函数是（   ）

A．最小正周期为的奇函数            B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为的奇函数             D．最小正周期为的偶函数

【变式2】【四川省2014届“联测促改”（一）数学】(12分)已知向量，函数.

     （I）设，x为某三角形的内角，求时的值；

     （II）设，当函数取最大值时，求的值.

【变式3】【2014年安徽省“江南十校”高三联考数学】设函数

    （I）求的最小正周期

    （II）若，求的最大值及相应的值．

【变式4】【山东省威海市2014届高三3月模拟考试】已知向量，.

    （Ⅰ）若，，且，求；

    （Ⅱ）若，求的取值范围.

【变式5】【2014年高考江西】已已知函数，其中，．

（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值与最小值；

（Ⅱ）若，求的值．

三、易错试题常警惕

易错典例：若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．

    易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．

温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.

【重难点关联练习巩固与方法总结】

1.【山东省淄博市2014届高三3月模拟考试】已知，那么的值是（   ）

A．               B．                    C．        D．

2.【成都七中高2014届高三3月高考模拟考试数学（理）】若，

则_________．

3.【2014年哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试】

若，则            .

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

4.【2014高考上海卷文第1题】函数的最小正周期为            .

5.【2014年高考江苏第15题】已知,.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

【课后强化巩固练习与方法总结】

1.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x∈时，f（x）=sinx，则f的值为                                                                       (      )

A.-    B.     C.-      D.

2.设点P是函数f(x)=29sinx的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是                                                                        （     ）

A.2    B.     C.     D.

3. y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值为（     ）

A.，0   B.2，0     C.，    D.2，

4.已知函数f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R，则f(x)是 (     )

A.最小正周期为的奇函数

B.最小正周期为的偶函数

C.最小正周期为的奇函数

D.最小正周期为的偶函数



5.将函数f(x)=sin2x-cos2x的图像向右平移(＞0)个单位，所得函数是奇函数，则实数的最小值为  (      )

A.    B.    C.    D.

6.cos(+)=,sin=,,∈，那么cos的值为  (     )

A.    B.    C.    D.

7.使函数f(x)= sin(2x+)+cos(2x+)是奇函数，且在［0，］上是减函数的的一个值是 (    ）

A.                B.              C.               D.



8.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数,a≠0，x∈R)在x=处取得最小值，则函数y=f是  （     ）

A.偶函数且它的图像关于点（，0）对称

B.偶函数且它的图像关于点（）对称

C.奇函数且它的图像关于点（）对称

D.奇函数且它的图像关于点（，0）对称

9.函数f(x)=(0≤x≤2）的值域是（ ）

A.   B. ［-1，0］  C.［-，0］  D. ［-，0］



10.若cos(+)=,cos(-)=,则tan·tan=         .

11.若f(x)=asin+bsin（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是           .（注：只要填满足a+b=0的一组数字即可）（写出你认为正确的一组即可）.

12.关于函数f(x)=2sin,有下列命题：

①其最小正周期为；

②其图像由y=2sin3x向左平移个单位而得到；

③在上为单调递增函数，则其中真命题为         （写出你认为正确答案的序号）.