初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教学设计及反思

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教学设计及反思，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，作业布置与教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x-h）2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的平移规律.
2.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点坐标.
二、教学重难点
重点
用二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质解决简单问题.
难点
通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x-h）2+k的形式，并得到其性质.
重难点解读
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条对称轴平行于y轴的抛物线，它的图象常见画法有两种：描点法和平移法.
（1）描点法，其一般步骤如下：
①把二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x-h）2+k的形式；
②确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图.
（2）平移法，其一般步骤如下：
①利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x-h）2+k的形式，确定其顶点（h，k）；
②作出函数y=ax2的图象；
③将函数y=ax2的图象平移，使其顶点（0，0）平移到（h，k）.
2.a决定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向：a＞0，开口方向向上；a＜0，开口方向向下.a，b决定抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置：a，b同号，对称轴在y轴左侧；a，b异号，对称轴在y轴右侧.c决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点位置：c＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上；c=0，抛物线经过原点；c＜0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上.
三、教学过程
活动1 旧知回顾
1.二次函数y=a（x-h）2+k的图象，可以由函数y=ax2的图象先向__________平移__________个单位长度，再向__________平移__________个单位长度得到.
2.二次函数y=a（x-h）2+k图象的开口方向向__________，对称轴是__________，顶点坐标是__________.
活动2 探究新知
1.教材第37页 思考.
提出问题：
（1）你知道二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？你能否利用之前学过的知识来解决？
（2）你能把二次函数y=x2-6x+21化为y=a（x-h）2+k的形式吗？二次函数y=x2-6x+21的图象可以由抛物线y=x2经过怎样的平移得到？
（3）在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数y=x2-6x+21与y=x2的图象，并对比观察它们的图象有什么区别和联系？
（4）观察二次函数y=x2-6x+21的图象，指出当x取何值时，函数值y最小，最小值是多少？当x取何值时，函数值y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？
2.不画出图象，你能直接说出函数y=-x2+2x-3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
提出问题：
（1）你能用上面的方法讨论二次函数y=-x2+2x-3的图象和性质吗？
（2）思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
（3）你能由此总结归纳出二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质吗？
活动3 知识归纳
提出问题：
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何得到的？
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化为y=a（x-h）2+k的形式，即y=a（x+
）2+.因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 x= ，顶点是（，） .
提出问题：
观察二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？
2.从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以看出：
①如果a＞0，当x ＜ 时，y随x的增大而减小，当x ＞ 时，y随x的增大而增大；
②如果a＜0，当x ＜ 时，y随x的增大而增大，当x ＞ 时，y随x的增大而减小.
活动4 典例赏析及练习
例1 用配方法将二次函数y=-x2-x+化为y=a（x-h）2+k的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】解：y=-x2-x+=-（x+1）2+2.抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，2）.
例2 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴交于负半轴.
（1）给出四个结论：①a＞0；②b＞0；c＞0；④a+b+c=0.其中正确的结论的序号是 ①④ ；
（2）给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1.其中正确的结论的序号是 ②③④ .
观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号.开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号.顶点在第一、四象限，＞0，由此得a，b异号；顶点在第二、三象限，＜0，由此得a，b同号.再由①中a的符号，即可确定b的符号.
例3 在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ C ）
A.（-3，-6） B.（1，-4） C.（1，-6） D.（-3，-4）
二次函数的平移规律：将抛物线y=ax2（a≠0）向上平移k（k＞0）个单位所得的函数关系式为y=ax2+k，向下平移k（k＞0）个单位长度所得的函数关系式为y=ax2-k；向左平移h（h＞0）个单位长度所得的函数关系式为y=a（x+h）2；向右平移h（h＞0）个单位长度所得的函数关系式为y=a（x-h）2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”.
练习：
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）y=3x2+2x；（2）y=-x2-2x；（3）y=-2x2+8x-8；（4）y=x2-4x+3.
【答案】解：（1）开口向上，对称轴为x=-=，顶点为（，）；
（2）开口向下，对称轴为x=-=-1，顶点为（-1，1）；
（3）开口向下，对称轴为x=-=2，顶点为（2，0）；
（4）开口向上，对称轴为x=-=4，顶点为（4，-5）.
2.将抛物线y=2x2+4x+6向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 y=2（x-2）2+6（或y=2x2-8x+14） .
3.把抛物线y=ax2+bx+c，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y=x2-3x+5，则a+b+c= 11 .
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列式子：①abc＜0，②9a+3b+c=0，③2a+b=0，④b2-4ac＜0，⑤4a-2b+c＞0中，正确的是（ D ）
A.①④ B.①②③④⑤ C.②③④⑤ D.②③⑤
活动5 课堂小结
1.形如y=ax2+bx+c（a≠0）的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：
（1）当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴；
（2）当a，b，c比较复杂时，可直接用公式来确定：
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=，顶点坐标为（，）.
2.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时，应先将它化为y=a（x-h）2+k形式后进行.
四、作业布置与教学反思
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一、教学目标
1.利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.
2.通过介绍二次函数的一般式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法.
二、教学重难点
重点
会用待定系数法求二次函数的解析式.
难点
选择恰当的解析式求法.
重难点解读
利用待定系数法求二次函数的解析式时，设二次函数的方法一般有以下几种情况（a≠0）：
（1）顶点在原点，可设为y=ax2.
（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k.
（3）顶点在x轴上（或抛物线与x轴只有一个交点），可设为y=a（x-h）2.
（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.
（5）已知顶点（h，k）时，可设为y=a（x-h）2+k.
（6）已知抛物线上三点坐标时，可设为y=ax2+bx+c.
（7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1，0），（x2，0）时，可设为y=a（x-x1）（x-x2）.
三、教学过程
活动1 旧知回顾
1.在我们学习二次函数之前，我们学习过哪些函数？这些函数的解析式是什么？
2.我们在前面刚刚学习了二次函数，二次函数的表达式有哪些？
3.还记得我们是怎样求一次函数和正比例函数的解析式吗？如直线经过（2，3）和（-4，5）两点，求这个函数的解析式？
活动2 探究新知
1.教材第39页 探究.
提出问题：
（1）一般地，函数关系式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数的关系式.例如：我们确定正比例函数y=kx（k≠0）只需要一个独立条件；确定一次函数y=kx+b（k≠0）需要两个独立条件.要确定二次函数y=ax2+bx+c的关系式，需要几个独立的条件呢？
（2）回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？
（3）如果一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，同学们能仿照求一次函数的解析式的步骤求出这个二次函数的解析式吗？
2.已知抛物线的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式.
提出问题：
（1）图象顶点为（h，k）的二次函数的解析式是什么？如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
（2）如何设解析式？
（3）如果已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤是什么？
活动3 知识归纳
1.求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需要求出 a，b，c 的值.
由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于 a，b，c 的方程组，求出 a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式.
提出问题：
回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般可分为哪几种情况？
2.利用待定系数法求二次函数解析式时，设抛物线的方法一般可分以下几种情况：
（1）顶点在原点，可设为y=ax2；
（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k；
（3）顶点在x轴上，可设为y=a（x-h）2；
（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx；
（5）已知顶点（h，k）时，可设顶点式y=a（x-h）2+k；
（6）已知抛物线上三点时，可设一般式y=ax2+bx+c；
（7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1，0），（x2，0）时，可设交点式y=a（x-x1）（x-x2）.
活动4 典例赏析及练习
例1 根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式.
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0），（-5，0），顶点的纵坐标为SX（92SX）；
（2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）；
（3）已知二次函数的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）.
【答案】解：（1）y=-x2-2x+；（2）y=2x2-3x+5；（3）y=x2+x+.
【解析】（1）抛物线经过的（1，0），（-5，0）两点的纵坐标相同，则抛物线的对称轴为x=-2，∴顶点坐标为（-2，），设解析式为y=a（x+2）2+，把（1，0）代入抛物线得a=-，再带回所设的方程；也可设抛物线为y=a（x-1）（x+5），化为一般式后根据顶点的纵坐标为求出抛物线；（2）已知抛物线经过的三点坐标，设一般式组成的三元一次方程组，用待定系数法求解；（3）由顶点坐标设二次函数的解析式y=a（x+1）2+3，再把（2，5）代入解析式得a=，可得二次函数的解析式.
例2 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0），B（1，0），且经过点C（2，8）.试求该抛物线的解析式及顶点坐标.
因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程组简单.而顶点可根据顶点公式求出.
【答案】解：抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.顶点坐标为（-，-）.
例3 如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（0，-6）两点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积.
求解析式一般都用待定系数法；求底边落在x轴上的三角形的面积时，第三点纵坐标的绝对值即为三角形的高.
【答案】解：（1）二次函数的解析式为y=-x2+4x-6；（2）S△ABC=AC×OB=×2×6=6.
练习：
1.教材第40页 练习第1，2题.
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c= -2 .
3.抛物线y=ax2+bx-3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（ C ）
A.3 B.9 C.15 D.-15
4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的顶点为A（-2，-2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（ D ）
A.y=x2+2 B.y=（x-2）2+2
C.y=（x-2）2-2 D.y=（x+2）2-2
5.（1）一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1；当x=-2与时，y=0.求这个二次函数的解析式；
（2）已知二次函数的图象经过点（0，2），（1，1），（3，5）三点.求这个二次函数的解析式；
（3）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）.求这个二次函数的解析式.
【答案】解：（1）设所求二次函数为y=a（x+2）（x-）（a≠0），由题意知函数过点（0，-1），得-1=a（0+2）（0-）.解得a=1.∴二次函数的解析式为y=x2+x-1；
（2）设所求二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），由题意知函数图象经过点（0，2），（1，1），（3，5）三点，则
解得
∴二次函数的解析式为y=x2-2x+2；
（3）设所求二次函数为y=a（x+1）2+2，把（2，1）代入解析式，得a=-.
∴二次函数的解析式为y=-x2-+.
活动5 课堂小结
求解析式时，要灵活运用待定系数法设出适当的解析式，及常用的设二次函数解析式的三种情形.
四、作业布置与教学反思