初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题复习练习题

这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题复习练习题，共19页。试卷主要包含了8B等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（ ）

A.8B.82C.217D.10

2. 如图，P为边长为2的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是( )

A.1B.2C.22D.4

3. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（ ）

A.4.8B.6C.10D.无法确定

4. 底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A.10B.8C.5D.4

5. 如图，已知∠AOB=15∘，点M在边OB上，且OM=4，N和P分别是OM和OA上的动点，则 PM+PN的最小值为 （ ）

A.1B.2C.3D.4

6. 如图，与正六边形ABCDEF关于直线1对称的图形是六边形 A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（ ）

A.AB=A′B′B.BC//B′C′C.直线 l⊥BB′D.∠A′=120∘

7. 如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A.(3+213) cmB.97 cmC.85 cmD.109 cm

8. 如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）
A.10029mB.1200mC.1300mD.1700m

9. 如图，已知点A、B直线MN同侧两点，点A’、A关于直线MN对称.连接A’B交直线MN于点P,连接AP.若A’B＝5cm，则AP+BP的长为________

10. 夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形
荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 ________ m．

11. 如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．

12. 长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点(________)

13. 如图所示，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现使一绳子从点A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是________cm．

14. 如图所示，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60∘，∠ADO＝90∘，BD＝12，点P是AO上一动点，点Q是OC上一动点，（P、Q不与端点重合），且AP＝OQ，连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是________．


15. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________．


16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,AC=6,BC=8，CD平分∠ACB交AB于点D，E为CD的中点，在BC上有一动点P，则PD+PE的最小值是________．


17. 如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短.

18. 已知，P为∠AOB内一点，PO=24cm，∠AOB=30∘，试在OA、OB上分别找出两点C、D，使△PCD周长最小，并求这个最小周长．

19. 直线l的两旁分别有点A、B，在直线l求作一点P使|PB−PA|最大．

20. 一个长方体的长是25分米，宽是18分米，高是12分米，这个长方体的表面积是多少？

21. 如图，l为汀江河的南岸线，一天傍晚某牧童在A处放牛，欲将牛牵到河边饮水后再回到家B处，牧童想以最短的路程回家．请你在图中画出牛饮水处C的位置．(保留痕迹)


22. 如图，一牧马人从点A出发，到草地MN放牧，在傍晚回到帐篷B之前，先带马群到河边PQ去给马饮水．试问：牧马人应走哪条线路才能使整个放牧的路程最短，写出作法．


23. 如图所示，在直线1的同侧有A，B两点，请在直线1上求作一点P，使 PA−PB最长．


24. 如图，已知点A，B在直线1的异侧，在直线1上找一点P，使 PA−PB 最小．


25. 如图，已知直线l及其一侧两点A，B．

在直线l上求作一点Q，使QA，QB与l的夹角相等，并说明理由；

在直线l上求作一点S，使|SA−SB|最大，并说明理由．
参考答案与试题解析
第十三章 课题学习 最短路径问题同步练习
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【解答】
根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM=62+82=10，
即DN+MN的最小值是10；
2.
【答案】
B
【考点】
菱形的性质
轴对称——最短路线问题
平行四边形的性质与判定
【解析】
先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
【解答】
解：如图，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，
此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵ 菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴ M′是AD的中点，
又∵ N是BC边上的中点，
∴ AM′ // BN，AM′=BN，
∴ 四边形ABNM′是平行四边形，
∴ M′N=AB=2，
∴ MP+NP=M′N=2，即MP+NP的最小值为2，
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图作F关于直线AB的对称点M，作F关于直线BC的对称点N，连接BM，BN，BF，EF，EN，DE，DM．
∵ ∠MBA=∠FBA，∠CBN=∠CBF，∠ABF+∠CBF=90∘，
∴ ∠MBF+∠FBN=180∘，
∴ M、B、N共线，
∵ DF+DE+EF=DM+DE+EN，
∵ DM+DE+EN≥MN，
∴ 当D、E、M、N共线时，且BF⊥AC时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2BF，
∵ BF⊥AC，
∴ 12⋅AC⋅BF=12⋅AB⋅AC，
∴ BF=AB⋅BCAC=125=2.4，
∴ DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
平面展开-最短路径问题
【解析】
将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】
解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为12cm，
则BC=12×12=6cm．
又因为AC=8cm，
所以AB=62+82=10cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
作M关于OA的对称点Q，过Q作QN⊥OB于N，交OA于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，得出∠QOA=∠AOB=15∘，OQ=OM=4，PM=PQ，∠QNO=90∘，根据含30度角的直角三角形性质求出QN即可．
【解答】
解：
作M关于OA的对称点Q，过Q作QN⊥OB于N，交OA于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，
则∠QOA=∠AOB=15∘，OQ=OM=4，PM=PQ，∠QNO=90∘，
∵ QN=12OQ=12×4=2，
∴ PM+PN=PQ+PN=QN=2.
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
由题意可知本题主要考查轴对称的性质，做此题之前可先回忆一下轴对称的性质，再利用对称轴的性质来判断．
【解答】
解;由图形可知：
A.点A和B对称点是点A′和B′，所以AB＝A′B′．故A是正确的；
B.点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以BC // D′E′，DE // B′C′．故B是错误的．
C.点B、E对称点分别是点B′、E′，所以BB’⊥直线l．故C是正确的．
D.正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′
所以六边形A′B′C′D′E′F′也是正六边形，则∠A′＝120∘．故D是正确的．
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
平面展开-最短路径问题
勾股定理的应用
【解析】
把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是42+92=97；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是72+62=85；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是32+102=109；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
故选(C)．
8.
【答案】
C
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，
作DB′=CA′，且DB′⊥CD，
∵ DB′=CA′，DB′⊥CD，BB′ // A′A，
∴ 四边形A′B′BA是矩形，
∴ B′A′=CD，
在Rt△BB′A′中，
连接A′B′，则BB′=BD+DB′=1200，
BA′=5002+12002=1300(m)．
故选C．
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
9.
【答案】
5cm
【考点】
线段垂直平分线的性质
轴对称的性质
轴对称——最短路线问题
【解析】
点A′、A关于直线MN对称，点P在对称轴MN上，AP.AP关于直线MN对称，
AP=AP
AP+BP=A+PB=A′B=5cm
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
140m．
【考点】
生活中的平移现象
规律型：图形的变化类
轴对称——最短路线问题
【解析】
将小桥横，纵两方向都平移到一边可知，小桥总长中矩形周长的一半，为140m．
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
5
【考点】
勾股定理的应用
平面展开-最短路径问题
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意知：盒子底面对角长为62+82=10cm
盒子的对角线长：102+1032=20cm
细木棒．t5cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25−20=5cm
12.
【答案】
对
【考点】
认识立体图形
正方体相对两个面上的文字
平面展开-最短路径问题
【解析】
根据长方体的特征：长方体有6个面，都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等；12条棱，相对的
棱的长度相等；有8个顶点．正方体的6个面都是正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点，据此判断．
【解答】
由分析得：长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点．
故答案为：对．
13.
【答案】
5
【考点】
平面展开-最短路径问题
【解析】
把长方体右边的表面展开，连接AC，则AC就是绳子的最短时经过的路径，然后根据勾股定理求解．
【解答】
解：如图所示，将长方体右边的表面翻折90∘（展开），
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：AC2=32+(2+2)2=25，AC=5cm．
即绳子最短为5cm．
故答案为5．
14.
【答案】
12
【考点】
轴对称——最短路线问题
中心对称
【解析】
当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．
【解答】
DP+BQ最小值是12；理由如下：
当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，
∵ ∠ADO＝90∘，
∴ DP=12OA＝6，
同理BQ＝6，
∴ DP+BQ的最小值＝6+6＝12，
15.
【答案】
12
【考点】
平行四边形的性质
勾股定理
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接BD，DE，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 点B与点D关于直线AC对称，
∴ DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵ AB=8，AE=6，
∴ DE=BQ+QE=AD2+AE2=10，
∵ AB=8，AE=6，
∴ BE=2，
∴ △BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=12．
故答案为：12．
16.
【答案】
12107
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 10 分 ，共计90分 ）
17.
【答案】
见解析
【考点】
轴对称——最短路线问题
角平分线的性质
垂线段最短
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对称点P1与P2
—Y
连接P1P2，分别交OX于点M，交OY于点N，则PM+MN+NP最短．
18.
【答案】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于C，交OB于D，
则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
CP=P1C，PD=P2D，则△PCD的周长的最小值=P1P2，
∴ ∠P1OP2=2∠AOB=60∘，
∴ △OP1P2是等边三角形，
△PCD的周长=P1P2，
∴ P1P2=OP1=OP2=OP=24cm．
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于C，交OB于D，△PCD的周长=P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
【解答】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于C，交OB于D，
则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
CP=P1C，PD=P2D，则△PCD的周长的最小值=P1P2，
∴ ∠P1OP2=2∠AOB=60∘，
∴ △OP1P2是等边三角形，
△PCD的周长=P1P2，
∴ P1P2=OP1=OP2=OP=24cm．
19.
【答案】
解：如图所示：
作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA−PB|=|PA′−PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA−PB|的值最大．
【解答】
解：如图所示：
作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．
20.
【答案】
这个长方体的表面积是加1932dm2
【考点】
平面展开-最短路径问题
几何体的表面积
认识立体图形
【解析】
根据长方体的表面积公式即可求解．
【解答】
S=2×25×18+25×12+18×12
=2×450+300+216
=2×966
=1932dm2
答：这个长方体的表面积是1932cm2
21.
【答案】
解：如图，作点A的对称点A′，连接A′B，与直线l相交于点C，连接AC，则点C即为所求．
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
22.
【答案】
如图，
①作点A关于直线MN的对称点A′，点B关于直线PQ的对称点B′；
②连结A′B′交MN于点C，交PQ于点D；
③连结AC，BD；
则路线AC+CD+BD最短，
牧马人应走的线路为A→C→D→B．
【考点】
轴对称——最短路线问题
作图—应用与设计作图
【解析】
作出点A关于MN的对称点A′，点B关于PQ的对称点B′，连接A′B′，交于MN，PQ于点C，点D，则A→C→D→B是牧民走的最短路线．
【解答】
如图，
①作点A关于直线MN的对称点A′，点B关于直线PQ的对称点B′；
②连结A′B′交MN于点C，交PQ于点D；
③连结AC，BD；
则路线AC+CD+BD最短，
牧马人应走的线路为A→C→D→B．
23.
【答案】
解：如图所示，连接AB，延长AB交直线l于点P，则点P即为所求．
【考点】
作图—复杂作图
轴对称——最短路线问题
线段垂直平分线的性质
角平分线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，连接AB，延长AB交直线l于点P，则点P即为所求．
24.
【答案】
作法：连接AB 交直线Ⅰ于点P，则点P即为所求．
【考点】
圆的综合题
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
25.
【答案】
解：如图①，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点Q，点Q即为所求作的点．理由：∵ 点A，A′关于EF对称，∴ ∠AQF=∠A′QF．∵ ∠A′QF=∠BQE，∴ ∠BQE=∠AQF，∴ 点Q即为所求．
如图②，连接BA，延长BA交直线l于点S，点S即为所求作的点．理由：∵ |SA−SB|≤AB，∴ 当点B，A，S共线时，|SA−SB|的值最大，∴ 点S即为所求．
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
略