高中数学3.3 幂函数学案

这是一份高中数学3.3 幂函数学案，共8页。

经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
如何判断一个函数是幂函数？
[提示] (1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
1.(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝eq \r(x) B．y＝x3
C．y＝3xD．y＝x－1
ABD [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD.]
2.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，则f(4)＝________.
eq \f(1,4) [由f(2)＝eq \f(1,2)可知2α＝eq \f(1,2)，即α＝－1，
∴f(4)＝4－1＝eq \f(1,4).]
知识点2 幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( )
[答案] (1)× (2)√
4.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
B [因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]
知识点3 幂函数的性质
常见的幂函数的图象与性质
(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x和y＝x－1的图象都通过点(1,1)；
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数；
(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x单调递增，函数y＝x－1单调递减；
(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
5.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当幂指数α取1,3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数．( )
(2)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．( )
[答案] (1)√ (2)×
类型1 幂函数的概念
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))所以m＝－3，n＝eq \f(3,2).
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [∵y＝eq \f(1,x2)＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．]
类型2 幂函数的图象及应用
【例2】 点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出
它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A B C D
(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
(2)y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移1个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
类型3 幂函数性质的综合应用
【例3】 比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，eq \r(1.1).
由所给幂的特征，思考如何构造幂函数，幂函数的单调性如何？
[解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，
∴0.213<0.233.
(2)0.9＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9)))，eq \r(1.1)＝1.1eq \f(1,2).
∵1.2>eq \f(10,9)>1.1，且y＝xeq \f(1,2)在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9)))>1.1，即1.2>0.9>eq \r(1.1).
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．比较下列各组数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
1．幂函数的图象过点(2，eq \r(2))，则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝x
C．y＝x2D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝eq \r(2)，
∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝x.
选B.]
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为( )
A．－1或2B．－2或1
C．－1D．1
C [因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.]
3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
－eq \f(1,8) [因为函数y＝x－3＝eq \f(1,x3)在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，y最小值＝(－2)－3＝eq \f(1,－23)＝－eq \f(1,8).]
4．0.23－2.3与0.24－2.3的大小关系是________．
0.23－2.3>0.24－2.3 [令y＝x－2.3，由于y＝x－2.3在(0，＋∞)上单调递减且0.23<0.24，故0.23－2.3>0.24－2.3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个函数是幂函数的关键是什么？
[提示] 关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．所有幂函数y＝xα在原点处都有意义吗？图象都过点(1,1)吗？
[提示] 当α<0时幂函数在原点处无意义，图象都过点(1,1)．
3．在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？
[提示] 观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面的第一象限在直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0,1)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
1．结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养．
2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养.
价格/元
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
需求量/t
1.216
1.179
1.146
1.117
1.089
1.064
1.041
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
x∈[0，＋∞)
时，增函数
x∈(－∞，0]
时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)
时，减函数
x∈(－∞，0)
时，减函数