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2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷
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这是一份2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷
一、选择题（共8小题，每题3分，计24分）
1．（3分）（﹣1）2021＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2021 D．2021
2．（3分）如图，是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了我市春季气温T（℃）随时间t（时）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣5℃
B．14时气温最高为16℃
C．从0时至14时，气温随时间推移而上升
D．从14时至24时，气温随时间推移而下降
3．（3分）计算：＝（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的余弦值为（ ）
A． B． C． D．2
5．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝﹣x+3分别与y轴、直线y＝2x交于点A，B，则△AOB的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在平面坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m（m＞1）沿y轴向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、填空题（共6小题，每题3分，计18分）
9．（3分）下列各数：0.618，﹣3，，π，，，其中是无理数的有 ．
10．（3分）不等式﹣2x+6＞0的解集是 ．
11．（3分）已知抛物线C1：y＝（x﹣2）2+1，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，则抛物线C2的表达式是 ．
12．（3分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，正六边形的边长为，则阴影部分的面积为 ．
13．（3分）若点P（m+1，5）与Q（4，2﹣n）是正比例函数y＝ax（a≠0）图象与反比例函数y＝（k≠0）图象的两个交点，则m+n＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
三、解答题（共11题，计78分，解答题应写出过程）
15．（5分）解方程：x2﹣5x+3＝0．
16．（5分）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝．
17．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法）
18．（6分）校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图
（1）这次被调查的同学共有 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
19．（6分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG，当点E在BD上时，求证：△DEF≌△EDA．
20．（7分）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
21．（7分）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2000
10
5
2500
（1）一台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
22．（7分）3月5日学雷锋日，也是中国青年志愿者服务日，今年3月5日，西安某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动，活动分为“打扫街道（记为A）”、“去敬老院服务（记为B）”、“到社区文艺演出（记为C）”和“法制宣传（记为D）”四项．
（1）九（1）班计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的一项，求九（1）班完成的恰好是“打扫街道”的概率；
（2）九（3）班计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的两项，请用列表或画树状图法求九（3）班完成的恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的概率．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）试猜想直线DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝AH，EF＝4，求DF的值．
24．（10分）如果抛物线L1的顶点在抛物线L2上，抛物线L2的顶点也在抛物线L1上时，那么我们称抛物线L1与L2是“互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线L1：y1＝ax2+bx经过A（﹣4，0），D（6，15）．
（1）求出抛物线L1的函数表达式；
（2）若抛物线L2与L1是“互为关联”的抛物线，抛物线L1与L2的顶点分别为E、F，O为坐标原点，要使S△FAO＝3S△EAO，求所有满足条件的抛物线L2的函数表达式．
25．（12分）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若CD平分∠ACB交AB于点D，那么点D到AC的距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（＜），连接BD．若BD平分∠ABC，且BD＝8，求AB的长．
问题解决：
（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会，很多公园都在进行花卉装扮．如图③所示是其中的一块圆形场地⊙O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观．按照设计要求：四边形ABCD满足∠ABC＝60°，AB＝AD，且AD+DC＝8（其中2≤DC＜4），为让游客有更好的观赏体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好．那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每题3分，计24分）
1．（3分）（﹣1）2021＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2021 D．2021
【分析】根据幂的意义解答即可．
【解答】解：∵（﹣1）2021表示2021个（﹣1）相乘，
∴（﹣1）2021＝﹣1．
故选：A．
2．（3分）如图，是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了我市春季气温T（℃）随时间t（时）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣5℃
B．14时气温最高为16℃
C．从0时至14时，气温随时间推移而上升
D．从14时至24时，气温随时间推移而下降
【分析】直接利用函数图象分别结合选项分析得出答案．
【解答】解：A、凌晨4时气温最低为﹣5℃，正确，不合题意；
B、14时气温最高为16℃，正确，不合题意；
C、应为从4时至14时，气温随时间推移而上升，故此选项错误，符合题意；
D、从14时至24时，气温随时间推移而下降，正确，不合题意；
故选：C．
3．（3分）计算：＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方运算法则求解即可．
【解答】解：原式＝x3（y2）3
＝﹣x3y6．
故选：C．
4．（3分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的余弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接BD，AD，由于∠CBF＝∠EBD＝45°，∠EBF＝90°，可得∠CBD＝180°，说明C，B，D三点在一条直线上；通过计算得到∠ADC＝90°，在直角三角形ADC中，∠ACB的余弦值可求．
【解答】解：连接BD，AD，如图，
∵∠CBF＝∠EBD＝45°，∠EBF＝90°，
∴∠CBD＝180°．
∴C，B，D三点在一条直线上．
∵∠BDE＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠ADC＝90°．
∵AD＝，CD＝，AC＝，
∴cos∠C＝．
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝﹣x+3分别与y轴、直线y＝2x交于点A，B，则△AOB的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】求得A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y＝﹣x+3中，令x＝0，得y＝3，
解得，，
∴A（0，3），B（1，2），
∴△AOB的面积＝×1＝，
故选：C．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】方法一：根据题意，作辅助线AF⊥ED，然后根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到BE＝FE，AB＝AF，AD＝DE，再根据矩形的性质，可以得到AD的长，然后根据勾股定理可以得到DF的长，从而可以得到FE的长，即BE的长．
方法二：根据矩形的性质和角平分线的性质，可以得到DE＝AD，再根据勾股定理即可得到CE的长，然后即可得到BE的长．
【解答】解：方法一：如图，作AF⊥ED于点F，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝4，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，BE⊥AB，EF⊥AF，
∴∠AEB＝∠AEF，BE＝FE，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE＝4，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴AB＝AF，
∵AB＝3，
∴AF＝3，
∵AF⊥FD，
∴DF＝＝＝，
∴FE＝DE﹣DF＝4﹣，
∴BE＝4﹣，
故选：B．
方法二：∵四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝3，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，AB＝DC＝3，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE＝4，
∵∠C＝90°，
∴CE＝＝＝，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣，
故选：B．
7．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OA，OB，OE，由圆内接四边形的性质可得到OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，进而证得△OBE是等边三角形，得到OB＝BE＝3，根据勾股定理求出AB，即可得到BC．
【解答】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
8．（3分）在平面坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m（m＞1）沿y轴向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m＝﹣[x2﹣（m﹣1）x]﹣m＝﹣（x﹣）2﹣m+，
∴该抛物线顶点坐标是（，），
∴将其沿y轴向上平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，+3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵+3＝+1＞0，
∴点（，+3）在第一象限；
故选：A．
三、填空题（共6小题，每题3分，计18分）
9．（3分）下列各数：0.618，﹣3，，π，，，其中是无理数的有 π， ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可求解．
【解答】解：各数：0.618，﹣3，，π，＝﹣2，，其中是无理数的有π，．
故答案为：π，．
10．（3分）不等式﹣2x+6＞0的解集是 x＜3 ．
【分析】不等式移项，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜3，
故答案为x＜3．
11．（3分）已知抛物线C1：y＝（x﹣2）2+1，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，则抛物线C2的表达式是 y＝（x+2）2+1 ．
【分析】根据抛物线C1的解析式y＝（x﹣2）2+1，求得抛物线C1的顶点坐标为（2，1），由于抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，于是得到结论；
【解答】解：∵抛物线C1：y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
又∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，
∴抛物线C2的顶点坐标为（﹣2，1），
∴抛物线C2的函数表达式为：y＝（x+2）2+1，
故答案为：y＝（x+2）2+1．
12．（3分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，正六边形的边长为，则阴影部分的面积为 2π﹣3 ．
【分析】由⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆可求得∠AOB，进而求得圆的半径为OA，由扇形的面积公式求得S扇形OAB，由三角形的面积公式求出S△OAB，根据S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB即可求得结果．
【解答】解：∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴S扇形OAB＝＝2π，
过O作OH⊥AB于H，
∴∠AOH＝∠AOB＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴OH＝＝3，
∴S△OAB＝AB•OH＝3，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝2π﹣3，
故答案为2π﹣3．
13．（3分）若点P（m+1，5）与Q（4，2﹣n）是正比例函数y＝ax（a≠0）图象与反比例函数y＝（k≠0）图象的两个交点，则m+n＝ 2 ．
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求得m、n的值．即可求得m+n的值．
【解答】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∴m+1＝﹣4，n﹣2＝5，
∴m+n＝2
故答案为2．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
【分析】过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，证明BF＝CK，则AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AH＝CH＝，
∴AC＝＝＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（共11题，计78分，解答题应写出过程）
15．（5分）解方程：x2﹣5x+3＝0．
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝3，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0
∵△＝25﹣12＝13，
∴x＝，
则x1＝，x2＝．
16．（5分）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝．
17．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法）
【分析】根据三角形的内心定义先找到三角形ABC的内心，即可在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．
【解答】解：如图，
作∠ABC的平分线与AD交于点P，
则点P即为所求．
18．（6分）校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图
（1）这次被调查的同学共有 1000 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 72 度；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【分析】（1）根据不剩的人数和所占的百分比可以计算出本次调查的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可计算出剩少量的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中圆心角α的度数；
（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．可以计算出该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有：600÷60%＝1000（人），
剩少量的有：1000﹣600﹣150﹣50＝200（人），
补全的条形统计图如右图所示；
故答案为：1000；
（2）扇形统计图中圆心角α＝360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）18000÷1000×50
＝18×50
＝900（人），
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐．
19．（6分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG，当点E在BD上时，求证：△DEF≌△EDA．
【分析】由旋转可得AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，根据SAS可得出结论．
【解答】证明：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG，
由旋转可得，
∴AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△DEF≌△EDA（SAS）．
20．（7分）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【分析】首先得出△AOE≌△OBF（AAS），进而得出CD的长，进而求出OM，MN的长即可．
【解答】解：作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF，AE＝OF
即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），
∴2EO+EF＝17，
则2×EO＝10，
所以OE＝5m，OF＝12m，
所以OM＝OF+FM＝15m
又因为由勾股定理得ON＝OA＝13，
所以MN＝15﹣13＝2（m）．
答：旗杆的高度OM为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
21．（7分）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2000
10
5
2500
（1）一台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100﹣m）台，根据B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，根据总利润＝单件利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，
根据题意得：
，
解得：．
答：一台A型空气净化器的销售利润为200元，一台B型空气净化器的销售利润为100元；
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100﹣m）台，
∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，
∴100﹣m≥2m，
解得：m≤，
设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，
根据题意得：w＝200m+100（100﹣m）＝100m+10000，
∴w的值随着m的增大而增大，
∴当m＝33时，w取最大值，最大值＝100×33+10000＝13300，此时100﹣m＝67．
答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
22．（7分）3月5日学雷锋日，也是中国青年志愿者服务日，今年3月5日，西安某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动，活动分为“打扫街道（记为A）”、“去敬老院服务（记为B）”、“到社区文艺演出（记为C）”和“法制宣传（记为D）”四项．
（1）九（1）班计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的一项，求九（1）班完成的恰好是“打扫街道”的概率；
（2）九（3）班计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的两项，请用列表或画树状图法求九（3）班完成的恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的概率．
【分析】（1）利用概率公式求解可得；
（2）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，从中找到恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）九（1）班完成的恰好是“打扫街道”的概率为；
（2）画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数，其中恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的有2种结果，
所以恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的概率为＝．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）试猜想直线DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝AH，EF＝4，求DF的值．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，则结论得证；
（2）连接AD，设AE＝AH＝x，则EH＝2x，AC＝3x，证得OD∥AC，OD＝＝，证明△AEF∽△ODF，可求出DF．
【解答】（1）解：直线DH与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，
∵＝，
∴∠E＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠E＝∠C，
∴DC＝DE
又∵DH⊥AC，
∴HE＝CH，
设AE＝AH＝x，则EH＝2x，AC＝3x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD＝＝，
∴△AEF∽△ODF，
∴＝，
∵EF＝4，
∴DF＝6．
24．（10分）如果抛物线L1的顶点在抛物线L2上，抛物线L2的顶点也在抛物线L1上时，那么我们称抛物线L1与L2是“互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线L1：y1＝ax2+bx经过A（﹣4，0），D（6，15）．
（1）求出抛物线L1的函数表达式；
（2）若抛物线L2与L1是“互为关联”的抛物线，抛物线L1与L2的顶点分别为E、F，O为坐标原点，要使S△FAO＝3S△EAO，求所有满足条件的抛物线L2的函数表达式．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用S△FAO＝3S△EAO，求出点F（2，3），再用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入y1＝ax2+bx得：
，
解得：，
故抛物线L1的函数表达式为y＝x2+x；
（2）对于y＝x2+x，函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，故点E（﹣2，﹣1）；
∵S△FAO＝3S△EAO，故yF＝3|yE|＝3，
∵点F在抛物线L1上，故yF＝x2+x，
解得：x＝﹣6或2，故点F（2，3）或（﹣6，3），
①当点F的坐标为（2，3）时，
设抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2+mx+n，
将点E、F的坐标代入上式得：，
解得：，
故抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
②当点F的坐标为（﹣6，3）时，
同理可得：抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2﹣3x﹣6；
综上，L2的函数表达式为y＝﹣x2+x+2或y＝﹣x2﹣3x﹣6．
25．（12分）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若CD平分∠ACB交AB于点D，那么点D到AC的距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（＜），连接BD．若BD平分∠ABC，且BD＝8，求AB的长．
问题解决：
（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会，很多公园都在进行花卉装扮．如图③所示是其中的一块圆形场地⊙O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观．按照设计要求：四边形ABCD满足∠ABC＝60°，AB＝AD，且AD+DC＝8（其中2≤DC＜4），为让游客有更好的观赏体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好．那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)根据角平分线的性质和等积法可求点D到AC的距离；
(2)连接OB,根据题意可得∠AOB＝60°,作AE⊥BD,利用解直角三角形可求AB的长；
(3)过点A作AN⊥BC于N，AM⊥DC,交CD延长线于M,可得四边形ABCD的面积等于四边形ANCM面积,设DM为x,列出关于面积的函数关系式,根据二次函数的性质求最值即可，
【解答】解:(1)如图,设点D到AC、BC的距离分别是DF、DE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DE,
∴S△ABC＝S△ADC+S△BDC＝AC•DF+BC•DE＝AC•BC＝×4×3＝6,
∴(3+4)•DF＝6，
∴DF＝,
故答案为：；
(2)连接OB，作AE⊥BD,
∵点B是半圆AC的三等分点(＜)，
∴∠AOB＝60°,
∴ADB＝30°，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD＝45，
设BE＝AE＝x，DE＝＝x,
∵BD＝8，
∴x+x＝8,
解得：x＝4﹣4，
∴AB＝＝4﹣4；
(3)连接AC，过点A作AN⊥BC于N,AM⊥DC,交CD延长线于M，
∵AB＝AD,
∴＝,
∴∠BCA＝∠DCA，
∴AN＝AM,
.Rt△ABN≥Rt△ADM（HL），
∴四边形ABCD的面积等于四边形ANCM面积，
∵AN＝AM，AC＝AC,
∴Rt△ACN≌Rt△ACM（HL），
∴四边形ANCM面积＝2S△AMC，
∵∠ABC＝60°，
∴ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，∠MAD＝30°，
设DM为x,则AD＝2x，AM＝DM•tan60°＝x，CD＝8﹣2x，CM＝8﹣x，
∴四边形ANCM面积＝2S△AMC＝2××x(8﹣x)＝﹣(x﹣4)2+16，
∵2≤DC＜4,
∴2≤8﹣2x＜4，
解得：2＜x≤3，
∵﹣＜0，抛物线对称轴为直线x＝4，
∴在对称轴左侧，函数值随x增大而增大，
故当x＝3时，函数有最大值，最大值为﹣×(3﹣4)2+16＝15．
答：存在，四边形ABCD的最大面积为15．
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日期：2021/8/16 23:22:34；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷
一、选择题（共8小题，每题3分，计24分）
1．（3分）（﹣1）2021＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2021 D．2021
2．（3分）如图，是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了我市春季气温T（℃）随时间t（时）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣5℃
B．14时气温最高为16℃
C．从0时至14时，气温随时间推移而上升
D．从14时至24时，气温随时间推移而下降
3．（3分）计算：＝（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的余弦值为（ ）
A． B． C． D．2
5．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝﹣x+3分别与y轴、直线y＝2x交于点A，B，则△AOB的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在平面坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m（m＞1）沿y轴向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、填空题（共6小题，每题3分，计18分）
9．（3分）下列各数：0.618，﹣3，，π，，，其中是无理数的有 ．
10．（3分）不等式﹣2x+6＞0的解集是 ．
11．（3分）已知抛物线C1：y＝（x﹣2）2+1，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，则抛物线C2的表达式是 ．
12．（3分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，正六边形的边长为，则阴影部分的面积为 ．
13．（3分）若点P（m+1，5）与Q（4，2﹣n）是正比例函数y＝ax（a≠0）图象与反比例函数y＝（k≠0）图象的两个交点，则m+n＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
三、解答题（共11题，计78分，解答题应写出过程）
15．（5分）解方程：x2﹣5x+3＝0．
16．（5分）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝．
17．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法）
18．（6分）校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图
（1）这次被调查的同学共有 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
19．（6分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG，当点E在BD上时，求证：△DEF≌△EDA．
20．（7分）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
21．（7分）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2000
10
5
2500
（1）一台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
22．（7分）3月5日学雷锋日，也是中国青年志愿者服务日，今年3月5日，西安某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动，活动分为“打扫街道（记为A）”、“去敬老院服务（记为B）”、“到社区文艺演出（记为C）”和“法制宣传（记为D）”四项．
（1）九（1）班计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的一项，求九（1）班完成的恰好是“打扫街道”的概率；
（2）九（3）班计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的两项，请用列表或画树状图法求九（3）班完成的恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的概率．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）试猜想直线DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝AH，EF＝4，求DF的值．
24．（10分）如果抛物线L1的顶点在抛物线L2上，抛物线L2的顶点也在抛物线L1上时，那么我们称抛物线L1与L2是“互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线L1：y1＝ax2+bx经过A（﹣4，0），D（6，15）．
（1）求出抛物线L1的函数表达式；
（2）若抛物线L2与L1是“互为关联”的抛物线，抛物线L1与L2的顶点分别为E、F，O为坐标原点，要使S△FAO＝3S△EAO，求所有满足条件的抛物线L2的函数表达式．
25．（12分）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若CD平分∠ACB交AB于点D，那么点D到AC的距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（＜），连接BD．若BD平分∠ABC，且BD＝8，求AB的长．
问题解决：
（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会，很多公园都在进行花卉装扮．如图③所示是其中的一块圆形场地⊙O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观．按照设计要求：四边形ABCD满足∠ABC＝60°，AB＝AD，且AD+DC＝8（其中2≤DC＜4），为让游客有更好的观赏体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好．那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每题3分，计24分）
1．（3分）（﹣1）2021＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2021 D．2021
【分析】根据幂的意义解答即可．
【解答】解：∵（﹣1）2021表示2021个（﹣1）相乘，
∴（﹣1）2021＝﹣1．
故选：A．
2．（3分）如图，是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了我市春季气温T（℃）随时间t（时）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣5℃
B．14时气温最高为16℃
C．从0时至14时，气温随时间推移而上升
D．从14时至24时，气温随时间推移而下降
【分析】直接利用函数图象分别结合选项分析得出答案．
【解答】解：A、凌晨4时气温最低为﹣5℃，正确，不合题意；
B、14时气温最高为16℃，正确，不合题意；
C、应为从4时至14时，气温随时间推移而上升，故此选项错误，符合题意；
D、从14时至24时，气温随时间推移而下降，正确，不合题意；
故选：C．
3．（3分）计算：＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方运算法则求解即可．
【解答】解：原式＝x3（y2）3
＝﹣x3y6．
故选：C．
4．（3分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的余弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接BD，AD，由于∠CBF＝∠EBD＝45°，∠EBF＝90°，可得∠CBD＝180°，说明C，B，D三点在一条直线上；通过计算得到∠ADC＝90°，在直角三角形ADC中，∠ACB的余弦值可求．
【解答】解：连接BD，AD，如图，
∵∠CBF＝∠EBD＝45°，∠EBF＝90°，
∴∠CBD＝180°．
∴C，B，D三点在一条直线上．
∵∠BDE＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠ADC＝90°．
∵AD＝，CD＝，AC＝，
∴cos∠C＝．
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝﹣x+3分别与y轴、直线y＝2x交于点A，B，则△AOB的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】求得A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y＝﹣x+3中，令x＝0，得y＝3，
解得，，
∴A（0，3），B（1，2），
∴△AOB的面积＝×1＝，
故选：C．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】方法一：根据题意，作辅助线AF⊥ED，然后根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到BE＝FE，AB＝AF，AD＝DE，再根据矩形的性质，可以得到AD的长，然后根据勾股定理可以得到DF的长，从而可以得到FE的长，即BE的长．
方法二：根据矩形的性质和角平分线的性质，可以得到DE＝AD，再根据勾股定理即可得到CE的长，然后即可得到BE的长．
【解答】解：方法一：如图，作AF⊥ED于点F，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝4，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，BE⊥AB，EF⊥AF，
∴∠AEB＝∠AEF，BE＝FE，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE＝4，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴AB＝AF，
∵AB＝3，
∴AF＝3，
∵AF⊥FD，
∴DF＝＝＝，
∴FE＝DE﹣DF＝4﹣，
∴BE＝4﹣，
故选：B．
方法二：∵四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝3，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，AB＝DC＝3，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE＝4，
∵∠C＝90°，
∴CE＝＝＝，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣，
故选：B．
7．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OA，OB，OE，由圆内接四边形的性质可得到OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，进而证得△OBE是等边三角形，得到OB＝BE＝3，根据勾股定理求出AB，即可得到BC．
【解答】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
8．（3分）在平面坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m（m＞1）沿y轴向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m＝﹣[x2﹣（m﹣1）x]﹣m＝﹣（x﹣）2﹣m+，
∴该抛物线顶点坐标是（，），
∴将其沿y轴向上平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，+3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵+3＝+1＞0，
∴点（，+3）在第一象限；
故选：A．
三、填空题（共6小题，每题3分，计18分）
9．（3分）下列各数：0.618，﹣3，，π，，，其中是无理数的有 π， ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可求解．
【解答】解：各数：0.618，﹣3，，π，＝﹣2，，其中是无理数的有π，．
故答案为：π，．
10．（3分）不等式﹣2x+6＞0的解集是 x＜3 ．
【分析】不等式移项，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜3，
故答案为x＜3．
11．（3分）已知抛物线C1：y＝（x﹣2）2+1，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，则抛物线C2的表达式是 y＝（x+2）2+1 ．
【分析】根据抛物线C1的解析式y＝（x﹣2）2+1，求得抛物线C1的顶点坐标为（2，1），由于抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，于是得到结论；
【解答】解：∵抛物线C1：y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
又∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，
∴抛物线C2的顶点坐标为（﹣2，1），
∴抛物线C2的函数表达式为：y＝（x+2）2+1，
故答案为：y＝（x+2）2+1．
12．（3分）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，正六边形的边长为，则阴影部分的面积为 2π﹣3 ．
【分析】由⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆可求得∠AOB，进而求得圆的半径为OA，由扇形的面积公式求得S扇形OAB，由三角形的面积公式求出S△OAB，根据S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB即可求得结果．
【解答】解：∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴S扇形OAB＝＝2π，
过O作OH⊥AB于H，
∴∠AOH＝∠AOB＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴OH＝＝3，
∴S△OAB＝AB•OH＝3，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝2π﹣3，
故答案为2π﹣3．
13．（3分）若点P（m+1，5）与Q（4，2﹣n）是正比例函数y＝ax（a≠0）图象与反比例函数y＝（k≠0）图象的两个交点，则m+n＝ 2 ．
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求得m、n的值．即可求得m+n的值．
【解答】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∴m+1＝﹣4，n﹣2＝5，
∴m+n＝2
故答案为2．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
【分析】过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，证明BF＝CK，则AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AH＝CH＝，
∴AC＝＝＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（共11题，计78分，解答题应写出过程）
15．（5分）解方程：x2﹣5x+3＝0．
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝3，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0
∵△＝25﹣12＝13，
∴x＝，
则x1＝，x2＝．
16．（5分）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝．
17．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法）
【分析】根据三角形的内心定义先找到三角形ABC的内心，即可在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．
【解答】解：如图，
作∠ABC的平分线与AD交于点P，
则点P即为所求．
18．（6分）校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图
（1）这次被调查的同学共有 1000 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 72 度；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【分析】（1）根据不剩的人数和所占的百分比可以计算出本次调查的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可计算出剩少量的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中圆心角α的度数；
（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．可以计算出该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有：600÷60%＝1000（人），
剩少量的有：1000﹣600﹣150﹣50＝200（人），
补全的条形统计图如右图所示；
故答案为：1000；
（2）扇形统计图中圆心角α＝360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）18000÷1000×50
＝18×50
＝900（人），
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐．
19．（6分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG，当点E在BD上时，求证：△DEF≌△EDA．
【分析】由旋转可得AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，根据SAS可得出结论．
【解答】证明：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG，
由旋转可得，
∴AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△DEF≌△EDA（SAS）．
20．（7分）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【分析】首先得出△AOE≌△OBF（AAS），进而得出CD的长，进而求出OM，MN的长即可．
【解答】解：作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF，AE＝OF
即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），
∴2EO+EF＝17，
则2×EO＝10，
所以OE＝5m，OF＝12m，
所以OM＝OF+FM＝15m
又因为由勾股定理得ON＝OA＝13，
所以MN＝15﹣13＝2（m）．
答：旗杆的高度OM为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
21．（7分）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2000
10
5
2500
（1）一台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100﹣m）台，根据B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，根据总利润＝单件利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，
根据题意得：
，
解得：．
答：一台A型空气净化器的销售利润为200元，一台B型空气净化器的销售利润为100元；
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100﹣m）台，
∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，
∴100﹣m≥2m，
解得：m≤，
设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，
根据题意得：w＝200m+100（100﹣m）＝100m+10000，
∴w的值随着m的增大而增大，
∴当m＝33时，w取最大值，最大值＝100×33+10000＝13300，此时100﹣m＝67．
答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
22．（7分）3月5日学雷锋日，也是中国青年志愿者服务日，今年3月5日，西安某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动，活动分为“打扫街道（记为A）”、“去敬老院服务（记为B）”、“到社区文艺演出（记为C）”和“法制宣传（记为D）”四项．
（1）九（1）班计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的一项，求九（1）班完成的恰好是“打扫街道”的概率；
（2）九（3）班计划在3月5日这天随机完成“青年志愿者”活动中的两项，请用列表或画树状图法求九（3）班完成的恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的概率．
【分析】（1）利用概率公式求解可得；
（2）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，从中找到恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）九（1）班完成的恰好是“打扫街道”的概率为；
（2）画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数，其中恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的有2种结果，
所以恰好是“打扫街道”和“去敬老院服务”的概率为＝．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）试猜想直线DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝AH，EF＝4，求DF的值．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，则结论得证；
（2）连接AD，设AE＝AH＝x，则EH＝2x，AC＝3x，证得OD∥AC，OD＝＝，证明△AEF∽△ODF，可求出DF．
【解答】（1）解：直线DH与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，
∵＝，
∴∠E＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠E＝∠C，
∴DC＝DE
又∵DH⊥AC，
∴HE＝CH，
设AE＝AH＝x，则EH＝2x，AC＝3x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD＝＝，
∴△AEF∽△ODF，
∴＝，
∵EF＝4，
∴DF＝6．
24．（10分）如果抛物线L1的顶点在抛物线L2上，抛物线L2的顶点也在抛物线L1上时，那么我们称抛物线L1与L2是“互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线L1：y1＝ax2+bx经过A（﹣4，0），D（6，15）．
（1）求出抛物线L1的函数表达式；
（2）若抛物线L2与L1是“互为关联”的抛物线，抛物线L1与L2的顶点分别为E、F，O为坐标原点，要使S△FAO＝3S△EAO，求所有满足条件的抛物线L2的函数表达式．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用S△FAO＝3S△EAO，求出点F（2，3），再用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入y1＝ax2+bx得：
，
解得：，
故抛物线L1的函数表达式为y＝x2+x；
（2）对于y＝x2+x，函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，故点E（﹣2，﹣1）；
∵S△FAO＝3S△EAO，故yF＝3|yE|＝3，
∵点F在抛物线L1上，故yF＝x2+x，
解得：x＝﹣6或2，故点F（2，3）或（﹣6，3），
①当点F的坐标为（2，3）时，
设抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2+mx+n，
将点E、F的坐标代入上式得：，
解得：，
故抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
②当点F的坐标为（﹣6，3）时，
同理可得：抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2﹣3x﹣6；
综上，L2的函数表达式为y＝﹣x2+x+2或y＝﹣x2﹣3x﹣6．
25．（12分）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若CD平分∠ACB交AB于点D，那么点D到AC的距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（＜），连接BD．若BD平分∠ABC，且BD＝8，求AB的长．
问题解决：
（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会，很多公园都在进行花卉装扮．如图③所示是其中的一块圆形场地⊙O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观．按照设计要求：四边形ABCD满足∠ABC＝60°，AB＝AD，且AD+DC＝8（其中2≤DC＜4），为让游客有更好的观赏体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好．那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)根据角平分线的性质和等积法可求点D到AC的距离；
(2)连接OB,根据题意可得∠AOB＝60°,作AE⊥BD,利用解直角三角形可求AB的长；
(3)过点A作AN⊥BC于N，AM⊥DC,交CD延长线于M,可得四边形ABCD的面积等于四边形ANCM面积,设DM为x,列出关于面积的函数关系式,根据二次函数的性质求最值即可，
【解答】解:(1)如图,设点D到AC、BC的距离分别是DF、DE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DE,
∴S△ABC＝S△ADC+S△BDC＝AC•DF+BC•DE＝AC•BC＝×4×3＝6,
∴(3+4)•DF＝6，
∴DF＝,
故答案为：；
(2)连接OB，作AE⊥BD,
∵点B是半圆AC的三等分点(＜)，
∴∠AOB＝60°,
∴ADB＝30°，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD＝45，
设BE＝AE＝x，DE＝＝x,
∵BD＝8，
∴x+x＝8,
解得：x＝4﹣4，
∴AB＝＝4﹣4；
(3)连接AC，过点A作AN⊥BC于N,AM⊥DC,交CD延长线于M，
∵AB＝AD,
∴＝,
∴∠BCA＝∠DCA，
∴AN＝AM,
.Rt△ABN≥Rt△ADM（HL），
∴四边形ABCD的面积等于四边形ANCM面积，
∵AN＝AM，AC＝AC,
∴Rt△ACN≌Rt△ACM（HL），
∴四边形ANCM面积＝2S△AMC，
∵∠ABC＝60°，
∴ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，∠MAD＝30°，
设DM为x,则AD＝2x，AM＝DM•tan60°＝x，CD＝8﹣2x，CM＝8﹣x，
∴四边形ANCM面积＝2S△AMC＝2××x(8﹣x)＝﹣(x﹣4)2+16，
∵2≤DC＜4,
∴2≤8﹣2x＜4，
解得：2＜x≤3，
∵﹣＜0，抛物线对称轴为直线x＝4，
∴在对称轴左侧，函数值随x增大而增大，
故当x＝3时，函数有最大值，最大值为﹣×(3﹣4)2+16＝15．
答：存在，四边形ABCD的最大面积为15．
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