2020-2021学年湖北省鄂州市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省鄂州市九年级（上）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省鄂州市九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2＝1 B．y2++9＝0 C．x2＝0 D．x2+y2＝1
2．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+11＝0的过程中，配方正确的是（　　）
A．x2﹣8x+（﹣4）2＝5 B．x2﹣8x+（﹣4）2＝31
C．（x+4）2＝5 D．（x﹣4）2＝﹣11
3．（3分）一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
4．（3分）如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝70°，则∠AEC的度数是（　　）

A．65° B．75° C．50° D．55°
5．（3分）把抛物线y＝2（x﹣1）2+3向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x+2）2+4 B．y＝2（x﹣4）2+4
C．y＝2（x+2）2+2 D．y＝2（x﹣4）2+2
6．（3分）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为2πcm2，则圆锥的母线长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．cm
7．（3分）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x的值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　）

A．12 B．6 C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）

A．9 B．10 C． D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝　 　．
12．（3分）顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为　 　．
13．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为　 　．

14．（3分）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为　 　．

15．（3分）△ABC中，∠BAC＝75°，AB＝6，AC＝4，P为△ABC内一个动点，则PA+PB+PC的最小值为　 　．
16．（3分）已知函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰好有四个交点，则b的取值范围是　 　．
三、解答题（17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，共计72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）2x2+3x﹣1＝0．
18．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）
（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为 　 　；
（2）点B1的坐标为 　 　；
（3）在旋转过程中，点B运动的路径为，那么的长为 　 　．

19．（8分）为加强素质教育，某学校自主开设了A书法、B阅读、C足球、D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）学生小明计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；（用树状图或列表法表示选法）
（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好同时选修书法或足球的概率是多少？
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．
21．（8分）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

22．（10分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝3，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长．

24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（2，0），点C坐标为（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图3，过点M（1，3）作直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．


2020-2021学年湖北省鄂州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2＝1 B．y2++9＝0 C．x2＝0 D．x2+y2＝1
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+11＝0的过程中，配方正确的是（　　）
A．x2﹣8x+（﹣4）2＝5 B．x2﹣8x+（﹣4）2＝31
C．（x+4）2＝5 D．（x﹣4）2＝﹣11
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：∵x2﹣8x+11＝0，
∴x2﹣8x＝﹣11，
则x2﹣8x+16＝﹣11+16，即（x﹣4）2＝5，
故选：A．
3．（3分）一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2．
故选：C．
4．（3分）如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝70°，则∠AEC的度数是（　　）

A．65° B．75° C．50° D．55°
【分析】利用等腰三角形的性质求出∠ABC＝55°，可得结论．
【解答】解：∵＝，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠AEC＝∠ABC＝55°，
故选：D．
5．（3分）把抛物线y＝2（x﹣1）2+3向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x+2）2+4 B．y＝2（x﹣4）2+4
C．y＝2（x+2）2+2 D．y＝2（x﹣4）2+2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x﹣4）2+3，
再向上平移1个单位为：y＝2（x﹣4）2+4．
故选：B．
6．（3分）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为2πcm2，则圆锥的母线长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．cm
【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl代入数据求出圆锥的母线长即可．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为2πcm2，
故2π＝π×2×l，
解得：l＝1（cm）．
故选：A．
7．（3分）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x的值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：2（1+x）2＝128，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　）

A．12 B．6 C． D．
【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接B'B，

∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C＝60°，
∴∠B'A'B＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠ACA'＝∠BCB'＝60°，BC＝B'C，∠CB'A'＝∠CBA＝90°﹣60°＝30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B＝60°，
∵∠CB'A'＝30°，
∴∠A'B'B＝30°，
∴∠B'BA'＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，
∴AB＝12，
∴A'B＝AB﹣AA'＝AB﹣AC＝6，
∴B'B＝6，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）

A．9 B．10 C． D．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∵∠OP1B＝90°，
∴OP1∥AC
∵AO＝OB，
∴P1C＝P1B，
∴OP1＝AC＝4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝5+3＝8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选：A．

10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可．
（2）错误，利用x＝﹣3时，y＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．
（4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【解答】解：（1）正确．∵﹣＝2，
∴4a+b＝0．故正确．
（2）错误．∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2＝，2﹣（﹣）＝，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）＝﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选：B．

二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝　5　．
【分析】利用根与系数的关系得到﹣1+x2＝4，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，
即﹣1+x2＝4，
解得x2＝5．
故答案为5．
12．（3分）顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为　y＝x2+2x﹣2　．
【分析】由形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反可知a＝，把顶点（3，1）代入顶点式即可求得抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
13．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为　65°　．

【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA、OB，

∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．
故答案为：65°．
14．（3分）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为　（3π﹣）cm2　．

【分析】如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A′DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA′C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．
【解答】解：作OH⊥DK于H，连接OK，
∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，

∴AD＝2CD，
∴A'D＝2CD，
∵∠C＝90°，
∴∠DA'C＝30°，
∴∠ODH＝30°，
∴∠DOH＝60°，
∴∠DOK＝120°，
∴扇形ODK的面积为＝3πcm2，
∵∠ODH＝∠OKH＝30°，OD＝3cm，
∴OH＝cm，DH＝cm；
∴DK＝3cm，
∴△ODK的面积为cm2，
∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．
故答案为：（3π﹣）cm2．
15．（3分）△ABC中，∠BAC＝75°，AB＝6，AC＝4，P为△ABC内一个动点，则PA+PB+PC的最小值为　2　．
【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BTK，连接AK，PT，KC，过点K作KH⊥CA交CA的延长线于H．解直角三角形求出CK，再证明PA＝KT，PB＝PT，推出PA+PB+PC＝CP+PT+TK≥CK，可得结论．
【解答】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BTK，连接AK，PT，KC，过点K作KH⊥CA交CA的延长线于H．

∵BP＝BT，BK＝BA，∠PBT＝∠ABK＝60°，
∴△ABK，△BPT都是等边三角形，
∴AK＝AB＝6，PB＝BT，∠BAK＝60°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠KAH＝180°﹣∠BAK﹣∠BAC＝45°，
∴KH＝AH＝3，
∵AC＝4，
∴CH＝AH+AC＝7，
∴CK＝＝＝2，
∵PA＝KT，PB＝PT，
∴PA+PB+PC＝CP+PT+TK≥CK，
∴PA+PB+PC≥2，
∴PA+PB+PC的最小值为2．
故答案为：2．
16．（3分）已知函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰好有四个交点，则b的取值范围是　﹣＜b＜﹣6　．
【分析】当x≥1时，及x＜1时，对函数进行化简，并画出函数图象，结合函数图象可得出b的取值范围．
【解答】解：当x≥1时，y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣3（x﹣1）﹣4x﹣3＝x2﹣7x；
此时函数的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣）；
当x＜1时，y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣3（﹣x+1）﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6；
顶点坐标为（，﹣）．
画出函数图象如图所示：

故答案为：﹣＜b＜﹣6．
三、解答题（17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，共计72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）2x2+3x﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
则x﹣6＝0或x+1＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣1；

（2）∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
18．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）
（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为 　（﹣1，﹣3）　；
（2）点B1的坐标为 　（﹣2，3）　；
（3）在旋转过程中，点B运动的路径为，那么的长为 　π　．

【分析】（1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据平面直角坐标系写出即可；
（3）先利用勾股定理求出OB的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵A（1，3）
∴点A关于点O中心对称的点的坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）；

（2）由平面直角坐标系坐标定义，
直接写出（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）；

（3）根据勾股定理，OB＝＝，
所以，弧BB1的长＝＝π，
故答案为：π．

19．（8分）为加强素质教育，某学校自主开设了A书法、B阅读、C足球、D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）学生小明计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；（用树状图或列表法表示选法）
（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好同时选修书法或足球的概率是多少？
【分析】（1）画树状图，得到所有可能的选法；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小明和小刚两人恰好选修书法或足球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，所有可能的选法为AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）；
（2）画树状图如图：

共有16个等可能的结果，小明和小刚两人恰好同时选修书法或足球的结果有2个，
∴小明和小刚两人恰好同时选修书法或足球的概率为＝．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，利用x12﹣x22＝0得到x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，所以﹣（2m+1）＝0或Δ＝（2m+1）2﹣4m2＝0，然后解m的方程可得到满足条件的m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，
∵x12﹣x22＝0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
即﹣（2m+1）＝0或Δ＝（2m+1）2﹣4m2＝0，
解得m＝﹣或m＝﹣，
而m≥﹣，
∴m的值为﹣．
21．（8分）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

【分析】（1）连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则CA＝CB＝3，同理可得AE垂直平分BC，所以AB＝AC＝3；
（2）先证明△ABC为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．
【解答】解：（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，
∴OA＝2OF＝，
即⊙O的半径为．

22．（10分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

【分析】（1）把（5，3）代入正比例函数即可求得k的值也就求得了y1的关系式；把原点及（1，2），（5，6）代入即可求得y2的关系式；
（2）①销售利润之和W＝甲种蔬菜的利润+乙种蔬菜的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可；
②由题意可得W关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：5k＝3，
解得k＝0.6，
∴y1＝0.6x；
由，
解得：，
∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；

（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
当t＝4时，W有最大值9.2，
答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元；
②当W＝8400元时，有：8400＝﹣0.2（t﹣4）2+9200，
∴t1＝2，t2＝6，
∵a＝﹣2＜0，
∴当2≤t≤6时，W≥8400，
答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝3，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长．

【分析】（1）连接OD，如图，根据线段垂直平分线的性质得ED＝EB，则∠EDB＝∠B，再利用等量代换计算出∠ODE＝90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）作OH⊥AD于H，如图，则AH＝DH，利用∠A的正弦可计算出OH＝，则AH＝，AD＝2AH＝，所以BF＝，然后利用∠B的余弦计算出EB，从而得到ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
作OH⊥AD于H，如图，则AH＝DH，
在Rt△OAB中，sinA＝＝，
在Rt△OAH中，sinA＝＝，
∴OH＝，
∴AH＝＝，
∴AD＝2AH＝，
∴BD＝5﹣＝，
∴BF＝BD＝，
在Rt△ABC中，cosB＝，
在Rt△BEF中，cosB＝＝，
∴BE＝×＝，
∴线段DE的长为．

24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（2，0），点C坐标为（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图3，过点M（1，3）作直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法即可求解；
（2）设点P（m，﹣m2+m+2），求得直线BC的解析式，过点P作直线PQ∥y轴，交BC于点Q，则点Q（m，﹣m+2），可得线段PQ的长度，利用，得出S△PBC关于m的关系式，利用配方法可得当△PBC的面积最大时的m的值，则点P的坐标可求；
（3）依据题意画出图形，求出直线MC的解析式，进而得出∠DMC＝45°；设点N的坐标为（1，n），则MN＝|3﹣n|，利用点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离列出关于n的方程，解方程即可求得点N的坐标．
【解答】解：（1）将B（2，0），C（0，2）两点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+e，则：
，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
过点P作直线PQ∥y轴，交BC于点Q，如下图，

∵点B坐标为（2，0），点C坐标为（0，2），
∴OB＝OC＝2．
设点P（m，﹣m2+m+2），则点Q（m，﹣m+2），
∴PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m．
∵S△PBC＝S△PCQ+S△PQB＝PQ×OB，
∴＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当m＝1时，S△PBC最大值＝1．
当m＝1时，y＝﹣1+1+2＝2，
∴P（1，2）．
∴当△PBC的面积最大时，点P的坐标（1，2）；
（3）直线MD上存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离．
设点N的坐标为（1，n），则ND＝|b|，MN＝|3﹣b|．
过点N作NF⊥MC于点F，连接NO，如下图，

设直线MC的解析式为：y＝ax+d，
∴，
解得：．
∴直线MC的解析式为：y＝x+2．
设直线MC交x轴于点E，则E（﹣2，0），
∴OE＝2，
∴OE＝OC＝2，
∴∠MEB＝45°．
∵MD⊥x轴于点D，
∴∠EMD＝45°，
∵NF⊥MC，
∴NF＝MN＝|3﹣n|．
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NF＝NO．
∴NF2＝NO2．
∴．
∴．
解得：n＝1或n＝﹣7．
∴N（1，1）或（1，﹣7）．
∴在直线MD上存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，N的坐标为（1，1）或（1，﹣7）．
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日期：2021/8/17 11:16:51；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298