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2020-2021学年四川省南充市九年级（上）期末数学试卷 (1)
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这是一份2020-2021学年四川省南充市九年级（上）期末数学试卷 (1)，共24页。试卷主要包含了选择题每小题都有代号为A等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省南充市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．
1．（4分）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（ ）
A．1 B．2 C．1和2 D．﹣1和﹣2
2．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
3．（4分）如图是学校发放的“你是否喜欢游泳”的抽样问卷调查卡（要求必答且只能选择一项）．收集卡片后随机抽取到“喜欢游泳”同学的概率是，这意味着（ ）
A．收回5张调查卡片，其中2张选择“喜欢游泳”卡片
B．选择“喜欢游泳”的卡片占收回总调查卡的40%
C．选择“喜欢游泳”与“不喜欢游泳”的卡片数比为2：5
D．每抽出100张卡片，有60张卡片选择“不喜欢游泳”
4．（4分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（4分）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（4分）某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个．则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
7．（4分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转到△A′B′C，A′B′经过点 A．若AB′＝AC，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．（4分）设a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上．
11．（4分）方程x2﹣x﹣1＝0的判别式的值等于 ．
12．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线解析式为 ．
13．（4分）口袋中有30个大小质感相同的小球，其中红球n个，黑球3n个，其余为绿球．甲从袋中任意摸出1个，若为红球则甲得1分；甲将摸出的球放回袋中，乙再从袋中摸出1个，若为绿球则乙得1分．谁先得10分谁获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则n的值是 ．
14．（4分）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 ．
15．（4分）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 ．
16．（4分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．
17．（8分）（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2．
（2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根．
18．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，点D是优弧ACB的中点．已知⊙O半径为2，∠C＝60°．
（1）求证：△ABD是等边三角形．
（2）求阴影部分的面积．
19．（10分）一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
20．（10分）为了发扬中国航天精神，在中国航天日纪念活动中，学校举行班级歌咏比赛．将分别写有《飞天》《仰望星空》《祖国不会忘记》和《不忘初心》歌名的4张卡片，由一班和二班随机抽取．一班先从中随机抽取1张，放回后再由二班从中随机抽取1张．
（1）写出一班抽中歌曲《祖国不会忘记》的概率．
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
21．（10分）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
22．（10分）已知k为实数，关于x的方程x2+k2+1＝2k（x﹣1）有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（2x1+1）（2x2+1）＝21，试求k的值．
23．（10分）用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，以点C为顶点作∠BCP＝∠A与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）过点O作半径OD∥BC与AC交于点E，若DE﹣OE＝，AC＝15，求△ABC的周长．
25．（10分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（0，﹣4），D（3，﹣4）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线AD交y轴于点G，M是线段GD上动点，MN∥x轴与抛物线CD段交于点N．MF⊥x轴于F，NH⊥x轴于H，当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标．
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝2S△DBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
2020-2021学年四川省南充市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．
1．（4分）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（ ）
A．1 B．2 C．1和2 D．﹣1和﹣2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
故选：C．
2．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【分析】根据y轴上点的横坐标为0，令x＝0，进行计算即可得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝（0﹣1）2＝1，
所以，抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选：D．
3．（4分）如图是学校发放的“你是否喜欢游泳”的抽样问卷调查卡（要求必答且只能选择一项）．收集卡片后随机抽取到“喜欢游泳”同学的概率是，这意味着（ ）
A．收回5张调查卡片，其中2张选择“喜欢游泳”卡片
B．选择“喜欢游泳”的卡片占收回总调查卡的40%
C．选择“喜欢游泳”与“不喜欢游泳”的卡片数比为2：5
D．每抽出100张卡片，有60张卡片选择“不喜欢游泳”
【分析】根据概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，来回答即可．
【解答】解：×100%＝40%，
∴学校发放的“你是否喜欢游泳”的抽样问卷调查卡（要求必答且只能选择一项）．收集卡片后随机抽取到“喜欢游泳”同学的概率是，这意味着选择“喜欢游泳”的卡片占收回总调查卡的40%．
故选：B．
4．（4分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，利用垂线段最短得到OH＝3，然后利用勾股定理计算出OA即可．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵OM的最小值是3，
∴OH＝3，
在Rt△OAH中，OA＝＝＝5，
即⊙O的半径是5．
故选：B．
5．（4分）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别以A、C、AC的中点为旋转中心旋转即可．
【解答】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
6．（4分）某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个．则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【分析】设口罩日产量的月平均增长率是x，根据该口罩厂1月份及3月份的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
故选：D．
7．（4分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴一次函数y＝kx+1的图象经过经过第一、二、四象限，A、D选项不符合题意，C符合题意；
故选：C．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转到△A′B′C，A′B′经过点 A．若AB′＝AC，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】设∠B＝x，AB与B'C交点为M，用x的代数式表示出∠BAB'、∠BAC、∠CAA'的度数，利用平角为180°即可列出方程．
【解答】解：设∠B＝x，AB与B'C交点为M，如图，
∵AB'＝AC，
∴∠B'＝∠ACB'＝∠B，
∵∠ACB＝105°，
∴∠B+∠BCB'＝105°，
∴∠BMC＝180﹣∠B﹣∠BCB'＝75°＝∠AMB'，
∴∠BAB'＝180﹣∠AMB'﹣∠B'＝105°﹣x，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝75°﹣x＝∠A'，
又∵AC＝A'C，
∴∠CAA'＝∠A'＝75°﹣x，
∵点A在线段A'B'上，
∴（105°﹣x）+（75°﹣x）+（75°﹣x）＝180°，
解得x＝25°，即∠B＝25°，
故选：B．
9．（4分）设a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+3a＝2021、a+b＝﹣3，将其代入a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝2021，a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）＝2021﹣3＝2018．
故选：A．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝75，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝75，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM＝，
∴此时HM有最大值，最大值为＝24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上．
11．（4分）方程x2﹣x﹣1＝0的判别式的值等于 5 ．
【分析】找出a、b、c的值，将其代入Δ＝b2﹣4ac中即可求出结论．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5．
故答案为：5．
12．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线解析式为 y＝x2 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1+1）2+2﹣2，即y＝x2．
故答案是：y＝x2．
13．（4分）口袋中有30个大小质感相同的小球，其中红球n个，黑球3n个，其余为绿球．甲从袋中任意摸出1个，若为红球则甲得1分；甲将摸出的球放回袋中，乙再从袋中摸出1个，若为绿球则乙得1分．谁先得10分谁获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则n的值是 6 ．
【分析】先根据三种颜色球的总个数为30，据此得出绿球的个数为（30﹣4n）个，若要使游戏对甲、乙双方公平，则红绿球数量相等，据此列出关于n的方程，解之可得答案．
【解答】解：由题意知袋中绿球的个数为30﹣n﹣3n＝（30﹣4n）个，
若要使游戏对甲、乙双方公平，则n＝30﹣4n，
解得n＝6，
故答案为：6．
14．（4分）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 1： ．
【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，分别用R表示出圆的内接正方形和外切正方形的边长，再求出其比值即可．
【解答】解：∵圆的半径为R，
∴CD＝OD＝R，
∴内接正方形的边长为R，
AB＝OB＝R，
∴外切正方形的边长为2R，
∴圆的内接正方形和外切正方形的边长比为：1：，
故答案为：1：．
15．（4分）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 20cm ．
【分析】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD＝BD＝30cm，即可得到PD＝100cm，利用勾股定理即可求得结果．
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OB，
∴AD＝BD＝AB＝30cm，
∴OD＝＝＝40（cm），
∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），
∴OP＝＝20（cm）；
故答案为20cm．
方法二：
解：延长PO交圆于E；
∵AB＝60cm，PB＝70cm，
∴PA＝130cm；
由割线定理，得：PB•PA＝PC•PD；
设点P到圆心的距离是xcm，则有：
（x﹣50）（x+50）＝70×130，
解得x＝20cm．
故OP长为20cm．
故答案为20cm．
16．（4分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ﹣4或2 ．
【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∵＝，
①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m＝（舍去）．
③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，
∴﹣+＝3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为﹣4或2．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．
17．（8分）（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2．
（2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根．
【分析】（1）整理后，利用因式分解法求解即可；
（2）设另一个根为m，根据根与系数的关系得到m+2＝﹣1，即可求得m＝﹣3．
【解答】解：（1）化简，得x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0．
∴原方程的解为x1＝0，x2＝2，
（2）设另一个根为m，
根据根与系数的关系得到m+2＝﹣1，
解得，m＝﹣3，
∴方程另一个根为﹣3．
18．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，点D是优弧ACB的中点．已知⊙O半径为2，∠C＝60°．
（1）求证：△ABD是等边三角形．
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠D＝∠C＝60°，根据弧、圆心角、弦的关系得到BD＝AD，于是得到△ABD是等边三角形；
（2）连接OA，OB，过O作OM⊥AB于M，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠D＝120°，根据等腰三角形的性质得到OM＝OA＝1，由勾股定理得到AM＝＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵点D是优弧ACB的中点，
∴＝，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形；
（2）解：连接OA，OB，
过O作OM⊥AB于M，
∠AOB＝2∠D＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠AOM＝AOB＝60°，
∵⊙O半径为2，
∴OM＝OA＝1，
∴AM＝＝，
∴AB＝2AM＝2，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣＝π﹣．
19．（10分）一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
【分析】（1）利用点A、B纵坐标相同求得顶点横坐标，利用最小值为﹣3求得顶点纵坐标，即可得到顶点坐标；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把A点和顶点坐标代入即可求出a的值，从而求得函数解析式．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵二次函数的最小值为﹣3，
∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，
解得：a＝1，
∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣2．
20．（10分）为了发扬中国航天精神，在中国航天日纪念活动中，学校举行班级歌咏比赛．将分别写有《飞天》《仰望星空》《祖国不会忘记》和《不忘初心》歌名的4张卡片，由一班和二班随机抽取．一班先从中随机抽取1张，放回后再由二班从中随机抽取1张．
（1）写出一班抽中歌曲《祖国不会忘记》的概率．
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能的结果，再从中找到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）在4张卡片中随机抽取1张，
则一班抽中歌曲《祖国不会忘记》的概率是．
（2）根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中一班和二班抽中不同歌曲的有12种，
则一班和二班抽中不同歌曲的概率是＝．
21．（10分）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
【分析】（1）根据等边三角形得性质得∠BAC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得AP＝AQ，∠PAB＝∠CAQ，于是可判断△APQ是等边三角形，所以PQ＝AP＝3；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠PQC＝90°，再加上∠AQP＝60°，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BA＝BC，
∵将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置，
∴△ABP≌△ACQ，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝AP＝3；
（2）由（1）知∠AQP＝60°，
∵△ABP≌△ACQ，
∴BP＝CQ＝4，∠APB＝∠AQC，
∵PC＝5，
∴PQ2+CQ2＝CP2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PQC＝90°，
∴∠AQC＝∠PQC+∠AQP＝150°，
∴∠APB＝150°．
22．（10分）已知k为实数，关于x的方程x2+k2+1＝2k（x﹣1）有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（2x1+1）（2x2+1）＝21，试求k的值．
【分析】（1）把方程化为一般式得到x2﹣2kx+k2+2k+1＝0．再根据判别式的意义得到Δ＝4k2﹣4（k2+2k+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2k，x1x2＝k2+2k+1，再利用（2x1+1）（2x2+1）＝21得到4（k2+2k+1）﹣+4k＝21．即k2+3k﹣4＝0．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值．
【解答】解：（1）原方程即为x2﹣2kx+k2+2k+1＝0，
则Δ＝4k2﹣4（k2+2k+1）≥0，
∴k2﹣（k2+2k+1）≥0
∴﹣2k﹣1≥0
∴k≤﹣；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2＝2k，x1x2＝k2+2k+1，
∵（2x1+1）（2x2+1）＝21，
∴4x1x2+2（x1+x2）+1＝21．
∴4（k2+2k+1）+4k+1＝21．即k2+3k﹣4＝0．
解得k1＝1，k2＝﹣4，
∵k≤﹣，
∴k的值为﹣4．
23．（10分）用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式；根据题意可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由（1）中的函数关系可知S和x是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．
【解答】解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，
整理，得3x+34＝5.4，
∴y＝﹣0.75x+1.35，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，
由题意，得，
解得1≤x≤1.3，即x的取值范围是1≤x≤1.3；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，
由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，
配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，
∵a＝﹣1.5＜0，轴对称x＝0.9，
∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，
∵1≤x≤1.3，
∴当x＝1时，S有最大值，
S最大＝1.2，
答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，以点C为顶点作∠BCP＝∠A与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）过点O作半径OD∥BC与AC交于点E，若DE﹣OE＝，AC＝15，求△ABC的周长．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质及圆周角定理可得出∠PCO＝90°，则可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出BC＝2OE，设OE＝x，由勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求出BC＝8，AB＝17，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵∠BCP＝∠A，
∴∠BCP＝∠OCA，
∴∠PCO＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥BC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE，
∵OA＝OB，
∴BC＝2OE，
设OE＝x，
则BC＝2x，
∵DE﹣OE＝，
∴DE＝x+，
∴OD＝2x+，
∴AB＝4x+1，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，
∴（2x）2+152＝（4x+1）2，
∴x＝4或x＝﹣（舍去），
∴BC＝8，AB＝17，
∴△ABC的周长为8+17+15＝40．
25．（10分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（0，﹣4），D（3，﹣4）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线AD交y轴于点G，M是线段GD上动点，MN∥x轴与抛物线CD段交于点N．MF⊥x轴于F，NH⊥x轴于H，当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标．
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝2S△DBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先求出直线AD的解析式y＝﹣x﹣1，然后设出点M的坐标M（n，﹣n﹣1），列出关于n的方程，求出n即可确定M的坐标；
（3）分点P在BC的上方和下方两种情况讨论，根据题意先求出直线BC的解析式，再求出直线PQ的解析式，设点P的横坐标为x，列出关于x的方程，求出x，再由面积关系确定P的纵坐标，即可确定点P 的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx﹣4（a≠0），
将A，D两点代入解析式得：
，
解得a＝1，b＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+﹣3x﹣4；
（2）四边形MNHF是矩形，当MF＝HF时，四边形MNHF是正方形，
设直线AD的解析式为y＝kx+m （k≠0）．
将A，D两点的坐标代入y＝kx+m，
得：，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
设M（n，﹣n﹣1），
∴FH＝MF＝|﹣n﹣1|＝n+1，
∴OH＝n+n+1＝2n+1，
∵MN∥x轴，
∴N（2n+1，﹣n﹣1），
∴（2n+1）2﹣3（2n+1）﹣4＝﹣n﹣1，
整理得 4n2﹣n﹣5＝0，
解得，n2＝﹣1（负值，舍去），
∴M（，﹣）；
（3）如图，在抛物线上存在点P，使S△PBC＝2S△DBC，
①当点Р在直线BC的上方时，
由（1）知，当x2﹣3x﹣4＝0时，有x＝﹣1或x＝4，
∴C（4，0），
又∵B（0，﹣4），
∴BC的解析式为y＝x﹣4，
经过点D（3，﹣4）与BC平行的直线DE解析式为y＝x﹣7，
∴BE＝3，
若存在点P，满足S△PBC＝2S△DBC，过点Р作PQ∥BC交y轴于点Q，则S△QBC＝S△PBC＝2S△DBC＝2S△EBC，
∴BQ＝2BE＝6，
∴Q（0，2），
∴PQ的解析式为y＝x+2，
由x2﹣3x﹣4＝x+2，得x2﹣4x﹣6＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∴x2﹣3x﹣4＝x+2＝4或x2﹣3x﹣4＝x+2＝4+，
这时点Р的坐标为（2，4）或（2+，4+），
②当点Р在直线BC下方时，同理可得，PQ的解析式为y＝x﹣10，
由x2﹣3x﹣4＝x﹣10，得x2﹣4x+6＝0，方程无实数解，这时点Р不存在，
综上，点P的坐标为（2，4）或（2+，4+）．
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日期：2021/8/17 11:18:49；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年四川省南充市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．
1．（4分）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（ ）
A．1 B．2 C．1和2 D．﹣1和﹣2
2．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
3．（4分）如图是学校发放的“你是否喜欢游泳”的抽样问卷调查卡（要求必答且只能选择一项）．收集卡片后随机抽取到“喜欢游泳”同学的概率是，这意味着（ ）
A．收回5张调查卡片，其中2张选择“喜欢游泳”卡片
B．选择“喜欢游泳”的卡片占收回总调查卡的40%
C．选择“喜欢游泳”与“不喜欢游泳”的卡片数比为2：5
D．每抽出100张卡片，有60张卡片选择“不喜欢游泳”
4．（4分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（4分）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（4分）某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个．则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
7．（4分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转到△A′B′C，A′B′经过点 A．若AB′＝AC，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．（4分）设a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上．
11．（4分）方程x2﹣x﹣1＝0的判别式的值等于 ．
12．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线解析式为 ．
13．（4分）口袋中有30个大小质感相同的小球，其中红球n个，黑球3n个，其余为绿球．甲从袋中任意摸出1个，若为红球则甲得1分；甲将摸出的球放回袋中，乙再从袋中摸出1个，若为绿球则乙得1分．谁先得10分谁获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则n的值是 ．
14．（4分）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 ．
15．（4分）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 ．
16．（4分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．
17．（8分）（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2．
（2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根．
18．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，点D是优弧ACB的中点．已知⊙O半径为2，∠C＝60°．
（1）求证：△ABD是等边三角形．
（2）求阴影部分的面积．
19．（10分）一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
20．（10分）为了发扬中国航天精神，在中国航天日纪念活动中，学校举行班级歌咏比赛．将分别写有《飞天》《仰望星空》《祖国不会忘记》和《不忘初心》歌名的4张卡片，由一班和二班随机抽取．一班先从中随机抽取1张，放回后再由二班从中随机抽取1张．
（1）写出一班抽中歌曲《祖国不会忘记》的概率．
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
21．（10分）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
22．（10分）已知k为实数，关于x的方程x2+k2+1＝2k（x﹣1）有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（2x1+1）（2x2+1）＝21，试求k的值．
23．（10分）用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，以点C为顶点作∠BCP＝∠A与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）过点O作半径OD∥BC与AC交于点E，若DE﹣OE＝，AC＝15，求△ABC的周长．
25．（10分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（0，﹣4），D（3，﹣4）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线AD交y轴于点G，M是线段GD上动点，MN∥x轴与抛物线CD段交于点N．MF⊥x轴于F，NH⊥x轴于H，当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标．
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝2S△DBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
2020-2021学年四川省南充市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．
1．（4分）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（ ）
A．1 B．2 C．1和2 D．﹣1和﹣2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
故选：C．
2．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【分析】根据y轴上点的横坐标为0，令x＝0，进行计算即可得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝（0﹣1）2＝1，
所以，抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选：D．
3．（4分）如图是学校发放的“你是否喜欢游泳”的抽样问卷调查卡（要求必答且只能选择一项）．收集卡片后随机抽取到“喜欢游泳”同学的概率是，这意味着（ ）
A．收回5张调查卡片，其中2张选择“喜欢游泳”卡片
B．选择“喜欢游泳”的卡片占收回总调查卡的40%
C．选择“喜欢游泳”与“不喜欢游泳”的卡片数比为2：5
D．每抽出100张卡片，有60张卡片选择“不喜欢游泳”
【分析】根据概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，来回答即可．
【解答】解：×100%＝40%，
∴学校发放的“你是否喜欢游泳”的抽样问卷调查卡（要求必答且只能选择一项）．收集卡片后随机抽取到“喜欢游泳”同学的概率是，这意味着选择“喜欢游泳”的卡片占收回总调查卡的40%．
故选：B．
4．（4分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是弦AB上的动点，若OM的最小值是3，则⊙O的半径是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，利用垂线段最短得到OH＝3，然后利用勾股定理计算出OA即可．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵OM的最小值是3，
∴OH＝3，
在Rt△OAH中，OA＝＝＝5，
即⊙O的半径是5．
故选：B．
5．（4分）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别以A、C、AC的中点为旋转中心旋转即可．
【解答】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
6．（4分）某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个．则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【分析】设口罩日产量的月平均增长率是x，根据该口罩厂1月份及3月份的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
故选：D．
7．（4分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴一次函数y＝kx+1的图象经过经过第一、二、四象限，A、D选项不符合题意，C符合题意；
故选：C．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转到△A′B′C，A′B′经过点 A．若AB′＝AC，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】设∠B＝x，AB与B'C交点为M，用x的代数式表示出∠BAB'、∠BAC、∠CAA'的度数，利用平角为180°即可列出方程．
【解答】解：设∠B＝x，AB与B'C交点为M，如图，
∵AB'＝AC，
∴∠B'＝∠ACB'＝∠B，
∵∠ACB＝105°，
∴∠B+∠BCB'＝105°，
∴∠BMC＝180﹣∠B﹣∠BCB'＝75°＝∠AMB'，
∴∠BAB'＝180﹣∠AMB'﹣∠B'＝105°﹣x，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝75°﹣x＝∠A'，
又∵AC＝A'C，
∴∠CAA'＝∠A'＝75°﹣x，
∵点A在线段A'B'上，
∴（105°﹣x）+（75°﹣x）+（75°﹣x）＝180°，
解得x＝25°，即∠B＝25°，
故选：B．
9．（4分）设a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+3a＝2021、a+b＝﹣3，将其代入a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝2021，a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）＝2021﹣3＝2018．
故选：A．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝75，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝75，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM＝，
∴此时HM有最大值，最大值为＝24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上．
11．（4分）方程x2﹣x﹣1＝0的判别式的值等于 5 ．
【分析】找出a、b、c的值，将其代入Δ＝b2﹣4ac中即可求出结论．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5．
故答案为：5．
12．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线解析式为 y＝x2 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1+1）2+2﹣2，即y＝x2．
故答案是：y＝x2．
13．（4分）口袋中有30个大小质感相同的小球，其中红球n个，黑球3n个，其余为绿球．甲从袋中任意摸出1个，若为红球则甲得1分；甲将摸出的球放回袋中，乙再从袋中摸出1个，若为绿球则乙得1分．谁先得10分谁获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则n的值是 6 ．
【分析】先根据三种颜色球的总个数为30，据此得出绿球的个数为（30﹣4n）个，若要使游戏对甲、乙双方公平，则红绿球数量相等，据此列出关于n的方程，解之可得答案．
【解答】解：由题意知袋中绿球的个数为30﹣n﹣3n＝（30﹣4n）个，
若要使游戏对甲、乙双方公平，则n＝30﹣4n，
解得n＝6，
故答案为：6．
14．（4分）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 1： ．
【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，分别用R表示出圆的内接正方形和外切正方形的边长，再求出其比值即可．
【解答】解：∵圆的半径为R，
∴CD＝OD＝R，
∴内接正方形的边长为R，
AB＝OB＝R，
∴外切正方形的边长为2R，
∴圆的内接正方形和外切正方形的边长比为：1：，
故答案为：1：．
15．（4分）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 20cm ．
【分析】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD＝BD＝30cm，即可得到PD＝100cm，利用勾股定理即可求得结果．
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OB，
∴AD＝BD＝AB＝30cm，
∴OD＝＝＝40（cm），
∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），
∴OP＝＝20（cm）；
故答案为20cm．
方法二：
解：延长PO交圆于E；
∵AB＝60cm，PB＝70cm，
∴PA＝130cm；
由割线定理，得：PB•PA＝PC•PD；
设点P到圆心的距离是xcm，则有：
（x﹣50）（x+50）＝70×130，
解得x＝20cm．
故OP长为20cm．
故答案为20cm．
16．（4分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ﹣4或2 ．
【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∵＝，
①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m＝（舍去）．
③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，
∴﹣+＝3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为﹣4或2．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．
17．（8分）（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2．
（2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根．
【分析】（1）整理后，利用因式分解法求解即可；
（2）设另一个根为m，根据根与系数的关系得到m+2＝﹣1，即可求得m＝﹣3．
【解答】解：（1）化简，得x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0．
∴原方程的解为x1＝0，x2＝2，
（2）设另一个根为m，
根据根与系数的关系得到m+2＝﹣1，
解得，m＝﹣3，
∴方程另一个根为﹣3．
18．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，点D是优弧ACB的中点．已知⊙O半径为2，∠C＝60°．
（1）求证：△ABD是等边三角形．
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠D＝∠C＝60°，根据弧、圆心角、弦的关系得到BD＝AD，于是得到△ABD是等边三角形；
（2）连接OA，OB，过O作OM⊥AB于M，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠D＝120°，根据等腰三角形的性质得到OM＝OA＝1，由勾股定理得到AM＝＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵点D是优弧ACB的中点，
∴＝，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形；
（2）解：连接OA，OB，
过O作OM⊥AB于M，
∠AOB＝2∠D＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠AOM＝AOB＝60°，
∵⊙O半径为2，
∴OM＝OA＝1，
∴AM＝＝，
∴AB＝2AM＝2，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣＝π﹣．
19．（10分）一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
【分析】（1）利用点A、B纵坐标相同求得顶点横坐标，利用最小值为﹣3求得顶点纵坐标，即可得到顶点坐标；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把A点和顶点坐标代入即可求出a的值，从而求得函数解析式．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵二次函数的最小值为﹣3，
∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，
解得：a＝1，
∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣2．
20．（10分）为了发扬中国航天精神，在中国航天日纪念活动中，学校举行班级歌咏比赛．将分别写有《飞天》《仰望星空》《祖国不会忘记》和《不忘初心》歌名的4张卡片，由一班和二班随机抽取．一班先从中随机抽取1张，放回后再由二班从中随机抽取1张．
（1）写出一班抽中歌曲《祖国不会忘记》的概率．
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能的结果，再从中找到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）在4张卡片中随机抽取1张，
则一班抽中歌曲《祖国不会忘记》的概率是．
（2）根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中一班和二班抽中不同歌曲的有12种，
则一班和二班抽中不同歌曲的概率是＝．
21．（10分）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
【分析】（1）根据等边三角形得性质得∠BAC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得AP＝AQ，∠PAB＝∠CAQ，于是可判断△APQ是等边三角形，所以PQ＝AP＝3；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠PQC＝90°，再加上∠AQP＝60°，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BA＝BC，
∵将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置，
∴△ABP≌△ACQ，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝AP＝3；
（2）由（1）知∠AQP＝60°，
∵△ABP≌△ACQ，
∴BP＝CQ＝4，∠APB＝∠AQC，
∵PC＝5，
∴PQ2+CQ2＝CP2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PQC＝90°，
∴∠AQC＝∠PQC+∠AQP＝150°，
∴∠APB＝150°．
22．（10分）已知k为实数，关于x的方程x2+k2+1＝2k（x﹣1）有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（2x1+1）（2x2+1）＝21，试求k的值．
【分析】（1）把方程化为一般式得到x2﹣2kx+k2+2k+1＝0．再根据判别式的意义得到Δ＝4k2﹣4（k2+2k+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2k，x1x2＝k2+2k+1，再利用（2x1+1）（2x2+1）＝21得到4（k2+2k+1）﹣+4k＝21．即k2+3k﹣4＝0．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值．
【解答】解：（1）原方程即为x2﹣2kx+k2+2k+1＝0，
则Δ＝4k2﹣4（k2+2k+1）≥0，
∴k2﹣（k2+2k+1）≥0
∴﹣2k﹣1≥0
∴k≤﹣；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2＝2k，x1x2＝k2+2k+1，
∵（2x1+1）（2x2+1）＝21，
∴4x1x2+2（x1+x2）+1＝21．
∴4（k2+2k+1）+4k+1＝21．即k2+3k﹣4＝0．
解得k1＝1，k2＝﹣4，
∵k≤﹣，
∴k的值为﹣4．
23．（10分）用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式；根据题意可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由（1）中的函数关系可知S和x是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．
【解答】解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，
整理，得3x+34＝5.4，
∴y＝﹣0.75x+1.35，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，
由题意，得，
解得1≤x≤1.3，即x的取值范围是1≤x≤1.3；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，
由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，
配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，
∵a＝﹣1.5＜0，轴对称x＝0.9，
∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，
∵1≤x≤1.3，
∴当x＝1时，S有最大值，
S最大＝1.2，
答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，以点C为顶点作∠BCP＝∠A与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）过点O作半径OD∥BC与AC交于点E，若DE﹣OE＝，AC＝15，求△ABC的周长．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质及圆周角定理可得出∠PCO＝90°，则可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出BC＝2OE，设OE＝x，由勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求出BC＝8，AB＝17，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵∠BCP＝∠A，
∴∠BCP＝∠OCA，
∴∠PCO＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥BC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE，
∵OA＝OB，
∴BC＝2OE，
设OE＝x，
则BC＝2x，
∵DE﹣OE＝，
∴DE＝x+，
∴OD＝2x+，
∴AB＝4x+1，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，
∴（2x）2+152＝（4x+1）2，
∴x＝4或x＝﹣（舍去），
∴BC＝8，AB＝17，
∴△ABC的周长为8+17+15＝40．
25．（10分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（0，﹣4），D（3，﹣4）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线AD交y轴于点G，M是线段GD上动点，MN∥x轴与抛物线CD段交于点N．MF⊥x轴于F，NH⊥x轴于H，当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标．
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝2S△DBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先求出直线AD的解析式y＝﹣x﹣1，然后设出点M的坐标M（n，﹣n﹣1），列出关于n的方程，求出n即可确定M的坐标；
（3）分点P在BC的上方和下方两种情况讨论，根据题意先求出直线BC的解析式，再求出直线PQ的解析式，设点P的横坐标为x，列出关于x的方程，求出x，再由面积关系确定P的纵坐标，即可确定点P 的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx﹣4（a≠0），
将A，D两点代入解析式得：
，
解得a＝1，b＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+﹣3x﹣4；
（2）四边形MNHF是矩形，当MF＝HF时，四边形MNHF是正方形，
设直线AD的解析式为y＝kx+m （k≠0）．
将A，D两点的坐标代入y＝kx+m，
得：，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
设M（n，﹣n﹣1），
∴FH＝MF＝|﹣n﹣1|＝n+1，
∴OH＝n+n+1＝2n+1，
∵MN∥x轴，
∴N（2n+1，﹣n﹣1），
∴（2n+1）2﹣3（2n+1）﹣4＝﹣n﹣1，
整理得 4n2﹣n﹣5＝0，
解得，n2＝﹣1（负值，舍去），
∴M（，﹣）；
（3）如图，在抛物线上存在点P，使S△PBC＝2S△DBC，
①当点Р在直线BC的上方时，
由（1）知，当x2﹣3x﹣4＝0时，有x＝﹣1或x＝4，
∴C（4，0），
又∵B（0，﹣4），
∴BC的解析式为y＝x﹣4，
经过点D（3，﹣4）与BC平行的直线DE解析式为y＝x﹣7，
∴BE＝3，
若存在点P，满足S△PBC＝2S△DBC，过点Р作PQ∥BC交y轴于点Q，则S△QBC＝S△PBC＝2S△DBC＝2S△EBC，
∴BQ＝2BE＝6，
∴Q（0，2），
∴PQ的解析式为y＝x+2，
由x2﹣3x﹣4＝x+2，得x2﹣4x﹣6＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∴x2﹣3x﹣4＝x+2＝4或x2﹣3x﹣4＝x+2＝4+，
这时点Р的坐标为（2，4）或（2+，4+），
②当点Р在直线BC下方时，同理可得，PQ的解析式为y＝x﹣10，
由x2﹣3x﹣4＝x﹣10，得x2﹣4x+6＝0，方程无实数解，这时点Р不存在，
综上，点P的坐标为（2，4）或（2+，4+）．
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