2018_2019学年青岛市市南区七下期末数学试卷

这是一份2018_2019学年青岛市市南区七下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列计算正确的是
A. a5+a5=a10B. a6×a4=a24
C. a23=a5D. −a2÷−a2=−1

3. 下列事件中，属于必然事件的是
A. 391 人中至少有两人的生日在同一天
B. 抛掷一次硬币反面一定朝上
C. 任意买一张“周杰伦”的演唱会门票，座位号都会是 2 的倍数
D. 某种彩票的中奖率为 0.1%，购买 1000 张该种彩票一定能中奖

4. 两根木棒的长分别是 5 cm 和 7 cm，现要选择第三根木棒与前两根首尾相接组成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长度的取值情况有
A. 3 种B. 4 种C. 5 种D. 6 种

5. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D，DE⊥BA 于点 E，且 AB=10 cm，则 △DEB 的周长为
A. 20 cmB. 16 cmC. 10 cmD. 8 cm

6. 如图，下列条件中能说明 AD∥BC 的是
A. ∠ABD=∠BDCB. ∠ABC+∠BCD=180∘
C. ∠ADB=∠ABCD. ∠ADB=∠DBC

7. 将一张正方形纸片按如图 1，图 2 所示的方向对折，然后沿图 3 中的虚线剪裁得到图 4，将图 4 的纸片展开铺平，再得到的图案是
A. B.
C. D.

8. 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶 A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5 爬行，那么蚂蚁爬行的高度 h 随时间 t 变化的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 纳米是一种长度单位，1纳米=10−9米．已知某种植物花粉的直径约为 20800 纳米，则用科学记数法表示该种花粉的直径约为 米．

10. 计算 −12−2+2019−20180= ．

11. 将一个完全平方式展开后得到 4x2−mx+121，则 m 的值为 ．

12. 如图，已知 △ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若 ∠BAC=80∘，则 ∠BCA 的度数为 ．

13. 如图所示，∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：① ∠1=∠2；② BE=CF；③ △ACN≌△ABM；④ CD=DN．其中正确的结论是 （将你认为正确的结论的序号都填上）．

14. 如图，点 P 是 ∠AOB 内任意一点，OP=5，M，N 分别是射线 OA 和 OB 上的动点，若 △PMN 周长的最小值为 5，则 ∠AOB 的度数为 ．

15. 如图①，一种圆环的外圆直径是 8 cm，环宽 1 cm．如图②，若把 2 个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为 cm；如图③，若把 x 个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为 y cm，则 y 与 x 之间的关系式是 ．

16. 观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112；
3×4×5×6+1=361=192；⋯
根据以上结果，猜想 nn+1n+2n+3+1= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知：如图，工人师傅想在一个四边形花园（四边形 ABCD）里建一个喷泉，喷泉要建在过 M 点与 AB 平行的直线上，并且到 AD 和 CD 两边的距离相等．请你帮助工人师傅确定喷泉的位置．

18. 计算：
（1）2ab⋅−14b3；
（2）利用整式乘法公式计算：m+n−3m+n+3；
（3）先化简，再求值：2xy2−4xyxy−1+8x2y+4x÷4x，其中 x=−2，y=−12．

19. 请把下面证明过程补充完整：
已知：如图，∠ADC=∠ABC，BE，DF 分别平分 ∠ABC，∠ADC，且 ∠1=∠2．求证：∠A=∠C．
证明：因为 BE，DF 分别平分 ∠ABC，∠ADC（ ），
所以 ∠1=12∠ABC，∠3=12∠ADC（ ）．
因为 ∠ABC=∠ADC（已知），
所以 ∠1=∠3（ ），
因为 ∠1=∠2（已知），
所以 ∠2=∠3（ ）．
所以 ∥ （ ）．
所以 ∠A+∠ =180∘，∠C+∠ =180∘（ ）．
所以 ∠A=∠C（ ）．

20. 如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字 1，2，3，4，5，6．
（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少?
（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为 23．

21. 如图，要测量河两岸相对的两点 A，B 的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上，这时测得的 DE 的长就是 AB 的长，为什么?

22. 一水果贩子在批发市场按每千克 1.8 元的价格批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数 x 与他手中持有的钱数 y 元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）水果贩子自带的零钱是多少?
（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少?
（3）随后他按每千克下降 0.5 元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是 450 元，问他一共批发了多少千克的西瓜?
（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱?

23. 我们来定义下面两种数
（1）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数 =（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数：例如：对于整数 251．它中间的数字是 5，最左边数是 2，最右边数是 1．∵22+12=5，∴251 是一个平方和数，又例如：对于整数 3254，它的中间数是 25，最左边数是 3，最右边数是 4，∵32+42=25，∴3254 是一个平方和数．当然 152 和 4253 这两个数也是平方和数；
（2）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数 =2× 最左边数 × 最右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数 163，它的中间数是 6，最左边数是 1，最右边数是 3，∵2×1×3=6，∴163 是一个双倍积数，又例如：对于整数 3305，它的中间数是 30，最左边数是 3，最右边数是 5，∵2×3×5=30，∴3305 是一个双倍积数，当然 361 和 5303 这两个数也是双倍积数；
注意：在下面的问题中，我们统一用字母 a 表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母 b 表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：
（1）若一个三位整数为平方和数，且十位数为 9，则该三位数为 ；若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为 4，则该三位数为 ；
（2）若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则 a，b 应满足什么数量关系?请说明理由．
（3）若 a625b（即这是个最左边数为 a，中间数为 625，最右边数为 b 的整数，以下类同）是一个平方和数，a600b 是一个双倍积数，a+b 的值为 ，a−b 的值为 ，a2−b2 的值为 ．

24. 如图①，在 △ABC 中，∠ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为直角边且在 AD 的上方作等腰直角三角形 ADF，连接 CF．
（1）若 AB=AC，∠BAC=90∘．
①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），试探究 CF 与 BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．
（2）如图③，若 AB≠AC，∠BAC≠90∘，∠BCA=45∘，点 D 在线段 BC 上运动，试探究 CF 与 BC 的位置关系，并说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】A．不是轴对称图形，本选项错误；
B．不是轴对称图形，本选项错误；
C．不是轴对称图形，本选项错误；
D．是轴对称图形，本选项正确．
2. D【解析】∵a5+a5=2a5，
∴ 选项A错误；
∵a6×a4=a10，
∴ 选项B错误；
∵a23=a6，
∴ 选项C错误；
∵−a2÷−a2=a2÷−a2=−1，
∴ 选项D正确．
3. A【解析】A、是必然事件，故本选项正确，
B、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误．
4. B【解析】根据三角形的三边关系，得第三根木棒的长大于 2 cm 而小于 12 cm．
因为第三根木棒的长是偶数，则第三根木棒的长度应为 4 cm，6 cm，8 cm，10 cm．
5. C
【解析】∵ 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠B=45∘，
又 ∵DE⊥AB，
∴△BDE 为等腰直角三角形，
∴BE=DE．
∵AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D，
∴DE=DC，AE=AC，
∴C△DEB=BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm.
6. D【解析】A、 ∵∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，故A选项错误；
B、 ∵∠ABC+∠BCD=180∘，
∴AB∥CD，故B选项错误；
C、由 ∠ADB=∠ABC，无法说明 AD∥BC，故C选项错误；
D、 ∵∠ADB=∠DBC，
∴AD∥BC，故D选项正确．
7. B【解析】严格按照图中的顺序将纸片向右上翻折，再向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论．
8. B【解析】因为蚂蚁以均匀的速度沿台阶 A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5 爬行，
从 A1⇒A2 的过程中，高度随时间匀速上升，
从 A2⇒A3 的过程，高度不变，
从 A3⇒A4 的过程，高度随时间匀速上升，
从 A4⇒A5 的过程中，高度不变，
所以蚂蚁爬行的高度 h 随时间 t 变化的图象是 B．
第二部分
9. 2.08×10−5
【解析】20800纳米=20800×10−9米=2.08×10−5米．
10. 5
【解析】原式=4+1=5．
11. ±44
【解析】∵2x±112=4x2±44x+121=4x2−mx+121，
∴−m=±44，
∴m=±44．
12. 60∘
【解析】由题意知 ∠ACO=∠BCO，
在 △COD 和 △COB 中，
CD=CB,∠OCD=∠OCB,CO=CO,
∴△COD≌△COB .
∴∠D=∠CBD．
∵∠BAC=80∘，
∴∠BAD=100∘，∠BAO=40∘ .
∴∠DAO=140∘ .
∵AD=AO，
∴∠D=20∘ .
∴∠CBO=20∘ .
∴∠ABC=40∘ .
∴∠BCA=60∘．
13. ①②③
【解析】在 △ABE 和 △ACF 中，
∠E=∠F=90∘,∠B=∠C,AE=AF,
∴△ABE≌△ACF，
∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确；
在 △ACN 和 △ABM 中，
∠C=∠B,AC=AB,∠CAN=∠BAM,
∴△ACN≌△ABM，即结论③正确；
∵∠BAE=∠CAF，∠1=∠BAE−∠BAC，∠2=∠CAF−∠BAC，
∴∠1=∠2，即结论①正确；
在 △AEM 和 △AFN 中，
∠1=∠2,AE=AF,∠E=∠F,
∴△AEM≌△AFN，
∴AM=AN，
∴CM=BN，
在 △CDM 和 △BDN 中，
∠C=∠B,∠CDM=∠BDN,CM=BN,
∴△CDM≌△BDN，
∴CD=BD，
∴ 题中正确的结论应该是①②③．
14. 30∘
【解析】如图，分别作点 P 关于 OB，OA 的对称点 Pʹ，Pʺ，分别连接 OPʹ，OPʺ，PʹPʺ 交 OB，OA 于点 M，N，
∵△PMN 周长等于 PN+NM+MP=PʹN+NM+MPʺ=PʹPʺ，
∴ 由两点之间线段最短可知，此时 △PMN 的周长的最小，
∴PʹPʺ=5，
又 ∵OP=OPʹ=OPʺ=5，
∴△PʹOPʺ 为等边三角形，
∴∠PʹOPʺ=60∘，
∵∠PʹOB=∠POB，∠PʺOM=∠POM，
∴∠AOB=12∠PʹOPʺ=30∘．
15. 14，y=6x+2
【解析】由题意可得，
把 2 个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+8−1−1=14cm，
把 x 个这样的圆环扣在一起并拉紧，得到 y 与 x 之间的关系式是：y=8+8−1−1x−1=6x+2．
16. n2+3n+12
【解析】等号右边的底数分别为
5=1+3+1
11=22+2×3+1
19=32+3×3+1
则下一个式子等号左边为：4×5×6×7+1
等号右边为：42+3×4+12=292，
⋯
则第 n 个式子为：nn+1n+2n+3+1=n2+3n+12．
第三部分
17. 如图所示：
点 P 即为所求．
18. （1） 原式=−12ab4．
（2） 原式=m+n2−9=m2+2mn+n2−9.
（3） 原式=4x2y2−4x2y2+4xy+2xy+1=6xy+1,
当 x=−2，y=−12 时，
原式=6+1=7.
19. 已知；角平分线定义；等式的性质；等量代换；AB；CD；内错角相等，两直线平行；ADC；ABC；两直线平行，同旁内角互补；等式的性质
20. （1） P指针指向奇数区域=36=12．
答：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是 12．
（2） 方法一：如图所示，
自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向阴影部分区域的概率为 23．
【解析】方法二：
自由转动转盘，当它停止时，指针指向的数字不大于 4 时，指针指向的区域的概率是 23．（答案不唯一）
21. ∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90∘，
又 ∵ 直线 BF 与 AE 交于点 C，
∴∠ACB=∠ECD，
在 △ABC 和 △EDC 中，
∠ABC=∠EDC,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=ED，
即测得 DE 的长就是 A，B 两点间的距离．
22. （1） 由图可得水果贩子自带的零钱为 50 元，
答：水果贩子自带的零钱为 50 元；
（2） 330−50÷80=280÷80=3.5元,
答：降价前他每千克西瓜出售的价格是 3.5 元；
（3） 450−330÷3.5−0.5=120÷3=40（千克），
80+40=120（千克），
答：他一共批发了 120 千克的西瓜；
（4） 450−120×1.8−50=184（元），
答：这个水果贩子一共赚了 184 元钱．
23. （1） 390；241 或 142
【解析】若一个三位整数为平方和数，且十位数为 9，
则由已知得 9=a2+b2，
由 a，b 为 0∼9 整数，
则可知 a=0，b=3 或 a=3，b=0，
由于百位数字不能为 0，
故此数为 390，
若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为 4，
则 4=2ab，即 ab=2，
由 a，b 为 0∼9 整数，
则 a=2，b=1 或 a=1，b=2，
则此数为 241 或 142．
（2） a=b．
理由：若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，
则有 a2+b2=2ab，
∴a−b2=0，
即 a=b．
（3） 35；±5；±175
【解析】若 a625b 是一个平方和数，
则 a2+b2=625，
若 a600b 是一个双倍积数，
则 2ab=600，
∴a2+b2+2ab=625+600=1225=352，
a2+b2−2ab=625−600=25=±52，
∴a+b=35，
a−b=±5，
∴a2−b2=a+ba−b=±175．
24. （1） ① CF=BD，CF⊥BD，理由如下：
∵∠BAC=90∘，△ADF 是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90∘，∠BAD+∠CAD=90∘，
∴∠CAF=∠BAD，
在 △ACF 和 △ABD 中，
AC=AB,∠CAF=∠BAD,AF=AD,
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45∘，
∵∠ACB=45∘，
∴∠FCB=90∘，
∴CF⊥BD；
②成立，如图 1：
【解析】②理由如下：
∵∠CAB=∠DAF=90∘，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即 ∠CAF=∠BAD，
在 △ACF 和 △ABD 中，
AC=AB,∠CAF=∠BAD,AF=AD,
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45∘+45∘=90∘，
∴CF⊥BD．
（2） CF⊥BD，如图 2，过点 A 作 AE⊥AC 交 BC 于点 E，
∵∠BCA=45∘，
∴△ACE 是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45∘，
∵∠CAF+∠CAD=90∘，∠EAD+∠CAD=90∘，
∴∠CAF=∠EAD，
在 △ACF 和 △AED 中，
AC=AE,∠CAF=∠EAD,AF=AD,
∴△ACF≌△AEDSAS，
∴∠ACF=∠AED=45∘，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45∘+45∘=90∘，
∴CF⊥BD．