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2018_2019学年广东省佛山市禅城区八下期末数学试卷
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这是一份2018_2019学年广东省佛山市禅城区八下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若分式 13−x 有意义，则 x 的取值范围是
A. x=3B. x<3C. x≠0D. x≠3
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 若aA. a+c
4. 用不等式可将“a 与 b 和的平方为非负数”表示为
A. a2+b2≥0B. a+b2≥0C. a2+b2>0D. a+b2>0
5. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是
A. 6x3x−1=18x2−6xB. 2x−32x+3=4x2−9
C. x2−6x+9=x−32D. 2x2+3x+1=x2x+3+1
6. 已知 x−y=1，x+y=3，则 y2−x2=
A. 1B. −1C. 3D. −3
7. 如图是一次函数 y=kx+b 的图象，该直线分别与横轴、纵轴交于点 2,0，0,3，则当 时，y<3．
A. x<0B. x>0C. x<2D. x>2
8. 若以下列各组线段为一个三角形的三边，则不能推出直角三角形的是
A. 1，2，3B. 1，2，3C. 3，4，5D. 3，22，5
9. 下列命题的逆命题不是真命题的是
A. 全等三角形的对应角相等B. 等边三角形的三个内角相等
C. 直角三角形的两个锐角互余D. 等边对等角
10. 若将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕将这个平行四边形分成两个全等图形，这样的折法方法共有 种．
A. 1B. 2C. 4D. 无数
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：4a3−a= ．
12. 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 ．
13. 如图，△ABC 中，AB=7 cm，BC=6 cm，AC=5 cm，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长等于 cm．
14. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，∠B=20∘，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 D 点，交 BC 于 E 点，连接 AE，则 ∠EAC= ．
15. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，∠ABC 的角平分线 BD 交 AC 于 D 点，AD=4，则 CD= ．
16. 若多项式 4x2+1 与一个单项式 M 的和是一个完全平方，则所有符合条件的 M 是： ．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组：6−3x≤9, ⋯⋯①x−x−12>2. ⋯⋯②（需将各不等式的解集画在同一数轴）
18. 解方程：x−1x2−9=1+x3−x．
19. 如图，已知：四边形 ABCD 中，AB=DC，AB∥DC；四边形 BEFC 中，BC=EF，BE=CF．讨论图共有几个平行四边形?并指出相应的平行四边形（不须证明）．
20. 先化简：xx−2+1x2−4÷x+1x−2，然后为 x 选一个你喜欢又恰当的数求出代数式的值．
21. 某八年级计划用 360 元购买笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，结果买得的笔记本比打折前多 10 本．
（1）请求出每本笔记本的原来标价；
（2）恰逢文具店周年志庆，每本笔记本可以按原价打 8 折，这样该校最多可购入多少本笔记本?
22. 如图，已知：在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC．
（1）按下列步骤用尺规作图（保留作图痕迹，不写出作法）：作 ∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D；
（2）在（1）中，过点 D 作 DE⊥AB 交点于 E，若 CD=4，求 AC 的长（直接写出结果）．
23. 甲、乙两辆摩托车同时从相距 20 km 的A，B两地出发，相向而行，图中 l1，l2 分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离 skm 与行驶时间 th 的函数关系．
（1）分别写出表示 l1，l2 所反映的函数关系式：l1:S= ，l2:S= ；
（2）求出图中 l1 和 l2 的交点 O 的坐标，当甲车离A地的距离大于乙车离A地的距离时，求 t 的取值范围．
24. 如图，已知：平行四边形 ABCD 中，∠ABC，∠BCD 的平分线交于点 E，且点 E 刚好落在 AD 上，分别延长 BE，CD 交于 F．
（1）AB 与 AD 之间有什么数量关系?并证明你的猜想；
（2）CE 与 BF 之间有什么位置关系?并证明你的猜想．
25. 如图，已知点 D 为等腰直角 △ABC 内一点，∠CAD=∠CBD=15∘，E 为 AD 延长线上的一点，且 CE=CA．
（1）求证：DE 平分 ∠BDC；
（2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证：ME=BD．
答案
第一部分
1. D【解析】∵ 分式 13−x 有意义，
∵3−x≠0．
∴x≠3．
2. C【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
3. B【解析】【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解析】解：A、给不等式aB、当c>0时，给不等式a当c<0时，给不等式abc，
当c=0时，给不等式aC、给不等式a3b，故选项C不符合题意；
D、给不等式a故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．
4. B【解析】由题意可得：a+b2≥0．
5. C
【解析】A、 6x3x−1=18x2−6x，是单项式乘以多项式运算法则，故此选项错误；
B、 2x−32x+3=4x2−9，是多项式乘以多项式运算法则，故此选项错误；
C、 x2−6x+9=x−32，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；
D、 2x2+3x+1=x2x+3+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：C．
6. D【解析】∵x−y=1，x+y=3，
∴原式=y−xy+x=−x+yx−y=−3.
7. B【解析】当 x>0 时，y<3．
8. A【解析】A、 12+22≠32，不能构成直角三角形；
B、 12+22=32，能构成直角三角形；
C、 32+42=52，能构成直角三角形；
D、 32+52=222，能构成直角三角形．
故选：A．
9. A【解析】A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误，A的逆命题不是真命题；
B、等边三角形的三个内角相等的逆命题是三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，B的逆命题是真命题；
C、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，C的逆命题是真命题；
D、等边对等角的逆命题是等角对等边，正确，D的逆命题是真命题；
故选：A．
10. D
【解析】由于平行四边形为中心对称图形，其中心为对角线交点，所以过对角线交点的每条折线都能将这个平行四边形分成两个全等图形，这样的折线由无数种．
第二部分
11. a2a+12a−1
【解析】4a3−a=a4a2−1=a2a+12a−1.
12. 6
【解析】∵ 多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍，则内角和是 720 度，
720÷180+2=6，
∴ 这个多边形的边数为 6．
13. 12
【解析】∵D，E 分别是 AB，BC 的中点，
∴DE∥AC，DE=12AC=2.5 cm，
同理，EF∥AB，EF=12AB=3.5 cm，
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形，
∴ 四边形 ADEF 的周长 =2×2.5+3.5=12cm．
14. 50∘
【解析】∵ DE 垂直平分 AB，
∴ AE=BE，
∴ ∠B=∠BAE=20∘，
∵ ∠AEC=∠B+∠BAE，
∴ ∠AEC=40∘，
∵ ∠C=90∘，∠AEC=40∘，
∴ ∠EAC=50∘．
故答案为 50∘．
15. 2
【解析】∵∠C=90∘，∠A=30∘，
∴∠CBA=60∘，
∵BD 平分 ∠CBA，
∴∠DBA=30∘=∠CBD，
∴∠DBA=∠A，
∴BD=AD=4，
∵∠C=90∘，∠CBD=30∘，
∴BD=2CD，
∴CD=2．
16. −4x2，−1，±4x，4x4
【解析】若多项式 4x2+1 与一个单项式 M 的和是一个完全平方，
即 4x2+4x+1=2x+12；
4x2−4x+1=2x−12；
4x4+4x2+1=2x2+12．
则所有符合条件的 M 是 −4x2，−1，±4x，4x4．
第三部分
17. 解不等式 ① 得：
x≥−1,
解不等式 ② 得：
x>3,
两个不等式的解集在数轴上表示如下：
即原不等式组的解集为：x>3．
18. 去分母得：
x−1=x2−9−xx+3.
则
4x=−8.
解得：
x=−2.
经检验，x=−2 是分式方程的解．
19. ∵AB=DC，AB∥DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BC=EF，BE=CF，
∴ 四边形 BEFC 是平行四边形，
∴BC∥EF，EF=BC，
∴AD∥EF，AD=EF，
∴ 四边形 AEFD 是平行四边形，
当 A，B，E 三点共线时，平行四边形有 3 个，分别是平行四边形 ABCD，平行四边形 BEFC，平行四边形 AEFD；
当 A，B，E 三点不共线时，平行四边形有 2 个，分别是平行四边形 ABCD，平行四边形 BEFC．
20. 原式=x2+2xx+2x−2+1x+2x−2⋅x−2x+1=x+12x+2x−2⋅x−2x+1=x+1x+2.
当 x=0 时，原式=12．
21. （1） 设笔记本打折前售价为 x 元，则打折后售价为 0.9x 元．
由题意得：
360x+10=3600.9x.
解得：
x=4.
经检验，x=4 是原方程的根．
答：打折前每本笔记本的售价是 4 元．
（2） 购入笔记本的数量为：360÷4×0.8=112.5（元）．
故该校最多可购入 112 本笔记本．
22. （1） 如图，AD 为所作．
（2） 4+42．
【解析】∵AD 平分 ∠BAC，AC⊥CD，DE⊥AB，
∴DC=DE=4，
设 AC=BC=x，则 BD=x−4，
∵△ACB 为等腰直角三角形，
∴∠B=45∘，
∴△BDE 为等腰直角三角形，
∴BD=2DE，即 x−4=42，
∴x=4+42，
即 AC 的长为 4+42．
23. （1） 1003t；−40t+20
【解析】由图可得：l1:S=200.6t=1003t，
把 0,20，0.5,0 代入 S=kt+b 中，可得：b=20,0.5k+b=0,
解得：k=−40,b=20,
所以 l2:S=−40t+20．
（2） 联立方程组可得：y=1003x,y=−40x+20,
可得：x=311,y=10011,
所以点 O 的坐标为 311,10011，
根据题意可得：1003t>−40t+20，
解得：t>311，
所以 t 的取值范围为：t>311．
24. （1） 结论：AD=2AB，
理由：
∵BF 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠FBC=∠AEB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
同理可证：CD=DE，
∴AD=AE+ED=AB+CD=2AB．
（2） 结论：CE⊥BF．
理由：
∵BF 平分 ∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵CE 平分 ∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCE，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
∴2∠EBC+2∠BCE=180∘，
∴∠EBC+∠BCE=90∘，
∴∠BEC=90∘，即 CE⊥BF．
25. （1） ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45∘．
∵∠CAD=∠CBD=15∘，
∴∠BAD=∠ABD=45∘−15∘=30∘，
∴BD=AD．
∴D 在 AB 的垂直平分线上．
∵AC=BC，
∴C 也在 AB 的垂直平分线上，即直线 CD 是 AB 的垂直平分线．
∴∠ACD=∠BCD=45∘．
∴∠CDE=15∘+45∘=60∘．
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60∘．
∴∠CDE=∠BDE，即 DE 平分 ∠BDC．
（2） 如图，连接 MC．
∵DC=DM，且 ∠MDC=60∘，
∴△MDC 是等边三角形，即 CM=CD．∠DMC=∠MDC=60∘．
∵∠ADC+∠MDC=180∘，∠DMC+∠EMC=180∘，
∴∠EMC=∠ADC．
又 CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在 △ADC 与 △EMC 中，
∠ADC＝∠EMC,∠DAC＝∠MEC,AC＝EC,
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若分式 13−x 有意义，则 x 的取值范围是
A. x=3B. x<3C. x≠0D. x≠3
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 若a
4. 用不等式可将“a 与 b 和的平方为非负数”表示为
A. a2+b2≥0B. a+b2≥0C. a2+b2>0D. a+b2>0
5. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是
A. 6x3x−1=18x2−6xB. 2x−32x+3=4x2−9
C. x2−6x+9=x−32D. 2x2+3x+1=x2x+3+1
6. 已知 x−y=1，x+y=3，则 y2−x2=
A. 1B. −1C. 3D. −3
7. 如图是一次函数 y=kx+b 的图象，该直线分别与横轴、纵轴交于点 2,0，0,3，则当 时，y<3．
A. x<0B. x>0C. x<2D. x>2
8. 若以下列各组线段为一个三角形的三边，则不能推出直角三角形的是
A. 1，2，3B. 1，2，3C. 3，4，5D. 3，22，5
9. 下列命题的逆命题不是真命题的是
A. 全等三角形的对应角相等B. 等边三角形的三个内角相等
C. 直角三角形的两个锐角互余D. 等边对等角
10. 若将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕将这个平行四边形分成两个全等图形，这样的折法方法共有 种．
A. 1B. 2C. 4D. 无数
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：4a3−a= ．
12. 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 ．
13. 如图，△ABC 中，AB=7 cm，BC=6 cm，AC=5 cm，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长等于 cm．
14. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，∠B=20∘，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 D 点，交 BC 于 E 点，连接 AE，则 ∠EAC= ．
15. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，∠ABC 的角平分线 BD 交 AC 于 D 点，AD=4，则 CD= ．
16. 若多项式 4x2+1 与一个单项式 M 的和是一个完全平方，则所有符合条件的 M 是： ．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组：6−3x≤9, ⋯⋯①x−x−12>2. ⋯⋯②（需将各不等式的解集画在同一数轴）
18. 解方程：x−1x2−9=1+x3−x．
19. 如图，已知：四边形 ABCD 中，AB=DC，AB∥DC；四边形 BEFC 中，BC=EF，BE=CF．讨论图共有几个平行四边形?并指出相应的平行四边形（不须证明）．
20. 先化简：xx−2+1x2−4÷x+1x−2，然后为 x 选一个你喜欢又恰当的数求出代数式的值．
21. 某八年级计划用 360 元购买笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，结果买得的笔记本比打折前多 10 本．
（1）请求出每本笔记本的原来标价；
（2）恰逢文具店周年志庆，每本笔记本可以按原价打 8 折，这样该校最多可购入多少本笔记本?
22. 如图，已知：在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC．
（1）按下列步骤用尺规作图（保留作图痕迹，不写出作法）：作 ∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D；
（2）在（1）中，过点 D 作 DE⊥AB 交点于 E，若 CD=4，求 AC 的长（直接写出结果）．
23. 甲、乙两辆摩托车同时从相距 20 km 的A，B两地出发，相向而行，图中 l1，l2 分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离 skm 与行驶时间 th 的函数关系．
（1）分别写出表示 l1，l2 所反映的函数关系式：l1:S= ，l2:S= ；
（2）求出图中 l1 和 l2 的交点 O 的坐标，当甲车离A地的距离大于乙车离A地的距离时，求 t 的取值范围．
24. 如图，已知：平行四边形 ABCD 中，∠ABC，∠BCD 的平分线交于点 E，且点 E 刚好落在 AD 上，分别延长 BE，CD 交于 F．
（1）AB 与 AD 之间有什么数量关系?并证明你的猜想；
（2）CE 与 BF 之间有什么位置关系?并证明你的猜想．
25. 如图，已知点 D 为等腰直角 △ABC 内一点，∠CAD=∠CBD=15∘，E 为 AD 延长线上的一点，且 CE=CA．
（1）求证：DE 平分 ∠BDC；
（2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证：ME=BD．
答案
第一部分
1. D【解析】∵ 分式 13−x 有意义，
∵3−x≠0．
∴x≠3．
2. C【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
3. B【解析】【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解析】解：A、给不等式a
当c=0时，给不等式a
D、给不等式a
【点评】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．
4. B【解析】由题意可得：a+b2≥0．
5. C
【解析】A、 6x3x−1=18x2−6x，是单项式乘以多项式运算法则，故此选项错误；
B、 2x−32x+3=4x2−9，是多项式乘以多项式运算法则，故此选项错误；
C、 x2−6x+9=x−32，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；
D、 2x2+3x+1=x2x+3+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：C．
6. D【解析】∵x−y=1，x+y=3，
∴原式=y−xy+x=−x+yx−y=−3.
7. B【解析】当 x>0 时，y<3．
8. A【解析】A、 12+22≠32，不能构成直角三角形；
B、 12+22=32，能构成直角三角形；
C、 32+42=52，能构成直角三角形；
D、 32+52=222，能构成直角三角形．
故选：A．
9. A【解析】A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误，A的逆命题不是真命题；
B、等边三角形的三个内角相等的逆命题是三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，B的逆命题是真命题；
C、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，C的逆命题是真命题；
D、等边对等角的逆命题是等角对等边，正确，D的逆命题是真命题；
故选：A．
10. D
【解析】由于平行四边形为中心对称图形，其中心为对角线交点，所以过对角线交点的每条折线都能将这个平行四边形分成两个全等图形，这样的折线由无数种．
第二部分
11. a2a+12a−1
【解析】4a3−a=a4a2−1=a2a+12a−1.
12. 6
【解析】∵ 多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍，则内角和是 720 度，
720÷180+2=6，
∴ 这个多边形的边数为 6．
13. 12
【解析】∵D，E 分别是 AB，BC 的中点，
∴DE∥AC，DE=12AC=2.5 cm，
同理，EF∥AB，EF=12AB=3.5 cm，
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形，
∴ 四边形 ADEF 的周长 =2×2.5+3.5=12cm．
14. 50∘
【解析】∵ DE 垂直平分 AB，
∴ AE=BE，
∴ ∠B=∠BAE=20∘，
∵ ∠AEC=∠B+∠BAE，
∴ ∠AEC=40∘，
∵ ∠C=90∘，∠AEC=40∘，
∴ ∠EAC=50∘．
故答案为 50∘．
15. 2
【解析】∵∠C=90∘，∠A=30∘，
∴∠CBA=60∘，
∵BD 平分 ∠CBA，
∴∠DBA=30∘=∠CBD，
∴∠DBA=∠A，
∴BD=AD=4，
∵∠C=90∘，∠CBD=30∘，
∴BD=2CD，
∴CD=2．
16. −4x2，−1，±4x，4x4
【解析】若多项式 4x2+1 与一个单项式 M 的和是一个完全平方，
即 4x2+4x+1=2x+12；
4x2−4x+1=2x−12；
4x4+4x2+1=2x2+12．
则所有符合条件的 M 是 −4x2，−1，±4x，4x4．
第三部分
17. 解不等式 ① 得：
x≥−1,
解不等式 ② 得：
x>3,
两个不等式的解集在数轴上表示如下：
即原不等式组的解集为：x>3．
18. 去分母得：
x−1=x2−9−xx+3.
则
4x=−8.
解得：
x=−2.
经检验，x=−2 是分式方程的解．
19. ∵AB=DC，AB∥DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BC=EF，BE=CF，
∴ 四边形 BEFC 是平行四边形，
∴BC∥EF，EF=BC，
∴AD∥EF，AD=EF，
∴ 四边形 AEFD 是平行四边形，
当 A，B，E 三点共线时，平行四边形有 3 个，分别是平行四边形 ABCD，平行四边形 BEFC，平行四边形 AEFD；
当 A，B，E 三点不共线时，平行四边形有 2 个，分别是平行四边形 ABCD，平行四边形 BEFC．
20. 原式=x2+2xx+2x−2+1x+2x−2⋅x−2x+1=x+12x+2x−2⋅x−2x+1=x+1x+2.
当 x=0 时，原式=12．
21. （1） 设笔记本打折前售价为 x 元，则打折后售价为 0.9x 元．
由题意得：
360x+10=3600.9x.
解得：
x=4.
经检验，x=4 是原方程的根．
答：打折前每本笔记本的售价是 4 元．
（2） 购入笔记本的数量为：360÷4×0.8=112.5（元）．
故该校最多可购入 112 本笔记本．
22. （1） 如图，AD 为所作．
（2） 4+42．
【解析】∵AD 平分 ∠BAC，AC⊥CD，DE⊥AB，
∴DC=DE=4，
设 AC=BC=x，则 BD=x−4，
∵△ACB 为等腰直角三角形，
∴∠B=45∘，
∴△BDE 为等腰直角三角形，
∴BD=2DE，即 x−4=42，
∴x=4+42，
即 AC 的长为 4+42．
23. （1） 1003t；−40t+20
【解析】由图可得：l1:S=200.6t=1003t，
把 0,20，0.5,0 代入 S=kt+b 中，可得：b=20,0.5k+b=0,
解得：k=−40,b=20,
所以 l2:S=−40t+20．
（2） 联立方程组可得：y=1003x,y=−40x+20,
可得：x=311,y=10011,
所以点 O 的坐标为 311,10011，
根据题意可得：1003t>−40t+20，
解得：t>311，
所以 t 的取值范围为：t>311．
24. （1） 结论：AD=2AB，
理由：
∵BF 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠FBC=∠AEB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
同理可证：CD=DE，
∴AD=AE+ED=AB+CD=2AB．
（2） 结论：CE⊥BF．
理由：
∵BF 平分 ∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵CE 平分 ∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCE，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
∴2∠EBC+2∠BCE=180∘，
∴∠EBC+∠BCE=90∘，
∴∠BEC=90∘，即 CE⊥BF．
25. （1） ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45∘．
∵∠CAD=∠CBD=15∘，
∴∠BAD=∠ABD=45∘−15∘=30∘，
∴BD=AD．
∴D 在 AB 的垂直平分线上．
∵AC=BC，
∴C 也在 AB 的垂直平分线上，即直线 CD 是 AB 的垂直平分线．
∴∠ACD=∠BCD=45∘．
∴∠CDE=15∘+45∘=60∘．
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60∘．
∴∠CDE=∠BDE，即 DE 平分 ∠BDC．
（2） 如图，连接 MC．
∵DC=DM，且 ∠MDC=60∘，
∴△MDC 是等边三角形，即 CM=CD．∠DMC=∠MDC=60∘．
∵∠ADC+∠MDC=180∘，∠DMC+∠EMC=180∘，
∴∠EMC=∠ADC．
又 CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在 △ADC 与 △EMC 中，
∠ADC＝∠EMC,∠DAC＝∠MEC,AC＝EC,
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．
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