2020年天津市西青区中考二模数学试卷

这是一份2020年天津市西青区中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −3−−6 的结果等于
A. 3B. −3C. −9D. 18

2. sin30∘ 的值等于
A. 32B. 22C. 12D. 1

3. 小红同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果条数为 608000．将 608000 用科学记数法表示为
A. 0.608×106B. 6.08×105C. 60.8×104D. 608×103

4. 下列图案中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 估值 6+1 的值
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 化简 a2a−1+1−2aa−1 的结果为
A. a+1a−1B. a−1C. aD. 1

8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O(0,0)，A(4,0)，∠AOC=60∘，则对角线交点 E 的坐标为 ( )
A. (2,3)B. (3,2)C. (3,3)D. (3,3)

9. 若点 A−4,y1，B−2,y2，C2,y3 都在反比例函数 y=4x 的图象上则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
10. 如图，将 △ABE 向右平移 2 cm 得到 △DCF，如果 △ABE 的周长是 16 cm，那么四边形 ABFD 的周长是
A. 16 cmB. 18 cmC. 20 cmD. 21 cm

11. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G．若 BC=4，DE=AF=1，则 GF 的长为
A. 135B. 125C. 195D. 165

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A−1,0，顶点坐标 1,n 与 y 轴的交点在 0,2，0,3 之间（包含端点），则下列结论：
① 3a+b<0；
② −1≤a≤−23；
③对于任意实数 m，a+b≥am2+bm 总成立；
④关于 x 的方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 −5b3 的结果等于 ．

14. 计算：5+25−2 的结果是 ．

15. 一个布袋里装有 4 个除颜色外其他均相同的球，其中 3 个红球，1 个白球．从布袋里随机摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再随机摸出 1 个球，则两次摸到的球都是红球的概率是 ．

16. 已知一次函数 y=k−3x+1 的图象经过第二、一、四象限，请你写出一个符合条件的 k 的值为 ．

17. 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD 沿直线 DG 折叠，点 C 落在对角线 BD 的点 E 处，折痕 DG 交 AC 于点 M，交 EC 于点 F，则 OM 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图所示，在每个边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，P 分别为小正方形的边的中点，B 为格点．
（1）线 AB 的长度等于 ；
（2）在线段 AB 上存在一个点 Q，使得点 Q 满足 ∠PQA=45∘，请你借助给定的网格，并利用无刻度的直尺作 ∠PQA，并简要说明你是怎么找到点 Q 的（不要求证明）．

19. 解不等式组 4x+5≥2x−1, ⋯⋯①5x+18≥x−1. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为： ．

20. 随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校 1500 名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题．
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中 m 的值为 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据样本数据，估计该校 1500 名学生家庭中拥有 3 台移动设备的学生人数．

21. 已知 ⊙O 是 △ABC 的外接圆，过点 A 作 ⊙O 的切线，与 CO 的延长线交于点 P，CP 与 ⊙O 交于点 D．
（1）如图①，若 △ABC 为等边三角形，求 ∠P 的大小；
（2）如图②，连接 AD，若 PD=AD，求 ∠ABC 的大小．

22. 如图，某湖心岛上有一亭子 A，在亭子 A 的正东方向上的湖边有一棵树 B，在这个湖心岛的湖边 C 处测得亭子 A 在北偏西 45∘ 方向上，测得树 B 在北偏东 36∘ 方向上，又测得 B，C 之间的距离等于 200 米，求 A，B 之间的距离（结果精确到 1 米）．
（参考数据：2≈1.414，sin36∘≈0.588，cs36∘≈0.809，tan36∘≈0.727，ct36∘≈1.376）

23. 某公司要购买一种笔记本供员工学习时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为 2 元．在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过 20 时，每本价格为 2.4 元；一次购买数量超过 20 时，超过部分每本价格为 1.8 元．设在同一家文具店一次购买这种笔记本的数量为 x（x 为非负整数）．
（1）根据题意，填写下表：
一次购买数量本10203040⋯甲文具店付款金额元2060⋯乙文具店付款金额元2466⋯
（2）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为 y1 元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为 y2 元，分别写出 y1，y2 关于 x 的函数关系式；
（3）当 x≥50 时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少?请说明理由．

24. 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A−3,0，B0,3，AD⊥BC 于 D，交 y 轴于点 E0,1．
（1）如图①，求点 C 的坐标；
（2）如图②，将线段 BC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 后得线段 CF，连接 BF，求点 F 的坐标；
（3）如图③，点 P 为 y 轴正半轴上一动点，点 Q 在第二象限内，QP⊥PC 于 P，且 QP=PC，过点 Q 作 QR 垂直 x 轴于点 R，求 OC−OROP 的值．

25. 已知抛物线 C1:y=ax2−4ax−5a>0．
（1）当 a=1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论 a 为何值，抛物线 C1 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线 C1 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 C2，直接写出 C2 的表达式；
（3）若（2）中抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】−3−−6=−3+6=3．
2. C【解析】利用特殊角的三角函数值可知：sin30∘=12．
3. B【解析】608000 这个数用科学记数法表示为 6.08×105．
4. C【解析】根据轴对称图形的定义可知A，B，D均不是轴对称图形．
5. A
【解析】从上面看，小正方体有 2 行，3 列，下面一行左边有 1 个小正方形，上面一行有 3 个小正方形．
6. B【解析】∵2<6<3，
∴3<6+1<4．
7. B【解析】a2a−1+1−2aa−1=a2−2a+1a−1=a−12a−1=a−1．
8. D【解析】过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，
∵ 四边形 OABC 为菱形，∠AOC=60∘，
∴∠AOE=12∠AOC=30∘，∠FAE=60∘，
∵A(4,0)，
∴OA=4，
∴AE=12AO=12×4=2，
∴AF=12AE=1，EF=AE2−AF2=22−12=3，
∴OF=AO−AF=4−1=3，
∴E(3,3)．
故选：D．
9. D【解析】因为 A−4,y1，B−2,y2，C2,y3，都在反比例函数 y=4x 的图象上，
所以 y1=−44=−1，y2=−42=−2，y3=42=2，
所以 y210. C
【解析】已知，△ABE 向右平移 2 cm 得到 △DCF．
根据平移的性质得到 EF=AD=2 cm，AE=DF，
又因 △ABE 的周长为 16 cm，
∴AB+BC+AC=16 cm，则
四边形 ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16 cm+2 cm+2 cm=20 cm.
11. A【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，BC=4，
∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90∘，
∵AF=DE=1，
∴DF=CE=3，
∴BE=CF=32+42=5，
在 △BCE 和 △CDF 中，
BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,
∴△BCE≌△CDFSAS，
∴∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90∘=∠CGE，
cs∠CBE=cs∠ECG=BCBE=CGCE，
∴45=CG3，CG=125，
∴GF=CF−CG=5−125=135．
12. D【解析】∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
而抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1，即 b=−2a，
∴3a+b=3a−2a=a<0，
∴ ①正确；
∵2≤c≤3，
而 c=−3a，
∴2≤−3a≤3，
∴−1≤a≤−23，
∴ ②正确；
∵ 抛物线的顶点坐标 1,n，
∴x=1 时，二次函数值有最大值 n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即 a+b≥am2+bm，
∴ ③正确；
∵ 抛物线的顶点坐标 1,n，
∴ 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=n−1 有两个交点，
∴ 关于 x 的方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根，
∴ ④正确．
故选D．
第二部分
13. −125b3
【解析】−5b3=−125b3．
14. 1
【解析】原式=52−22=5−4=1.
15. 916
【解析】画树状图如解图：
共有 16 种等可能的情况，其中两次摸到的球都是红球的有 9 种情况，
∴ 两次摸到的球都是红球的概率为 916．
16. 2（答案不唯一，k<3 即可）
【解析】∵y=k−3x+1 一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴k−3<0，
∴k<3．
17. 2−1
【解析】过点 M 作 MP⊥CD 垂足为 P，过点 O 作 OQ⊥CD 垂足为 Q，
∵ 正方形的边长为 2，
∴OD=1，OC=1，OQ=DQ=22，
由折叠可知，∠EDF=∠CDF，
又 ∵AC⊥BD，
∴OM=PM，
设 OM=PM=x，
∵OQ⊥CD，MP⊥CD，
∴∠OQC=∠MPC=90∘，∠PCM=∠QCO，
∴△CMP∽△COQ，
∴MPOQ=CMCO，即 x22=1−x1，
解得 x=2−1，
∴OM=PM=2−1．
第三部分
18. （1） 852
【解析】构建直角三角形，由勾股定理可知 AB=12+922=852．
（2） 取格点 E，F，连接 EF，交格线于点 D，连接 DP，交线段 AB 于点 Q，则 ∠PQA 即为所求．
19. （1）x≥−3
（2）x≤3
（3）
（4）−3≤x≤3
20. （1） 50；32
【解析】本次接受随机抽样调查的学生人数为：48%=50（人）．
∵1650×100=32%，
∴ 图①中 m 的值为 32．
（2） ∵ 这组样本数据中，4 出现了 16 次，出现次数最多，
∴ 这组数据的众数为 4；
∵ 将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为 3，有 3+32=3，
∴ 这组数据的中位数是 3．
由条形统计图可得 x=1×4+2×10+3×14+4×16+5×650=3.2．
∴ 这组数据的平均数是 3.2．
（3） 1500×28%=420（人）．
答：估计该校学生家庭中，拥有 3 台移动设备的学生人数约为 420 人．
21. （1） 连接 AO．
∴△ABC 为等边三角形．
∴∠ABC=60∘．
∴∠AOC=2∠ABC=120∘．
∴∠AOC+∠AOP=180∘．
∴∠AOP=60∘．
∵PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点，
∴PA⊥AO，即 ∠PAO=90∘．
∴∠P+∠AOP=90∘．
∴∠P=90∘−∠AOP=90∘−60∘=30∘．
（2） 连接 AO．
∵PD=AD，
∴∠P=∠PAD．
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD．
∵∠ADO=∠P+∠PAD=2∠PAD．
∴∠OAD=2∠PAD．
∵PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点，
∴PA⊥AO，即 ∠PAO=90∘．
∴∠PAD+∠OAD=90∘．
∴∠PAD+2∠PAD=90∘．
∴∠PAD=30∘．
∴∠ADO=2∠PAD=60∘，即 ∠ADC=60∘．
∴∠ABC=∠ADC=60∘．
22. 过点 C 作 CH⊥AB，垂足为点 H，
由题意，得 ∠ACH=45∘，∠BCH=36∘，BC=200，
在 Rt△BHC 中，sin∠BCH=BHBC，
∴sin36∘=BH200，
∵sin36∘≈0.588，
∴BH≈117.6，
又 cs∠BCH=HCBC，
∴cs36∘=HC200．
∵cs36∘≈0.809，
∴HC≈161.8，
在 Rt△AHC 中，tan∠ACH=AHHC，
∵∠ACH=45∘，
∴AH=HC，
∴AH≈161.8，
又 AB=AH+BH，
∴AB≈279.4，
∴AB≈279（米）．
答：A，B 之间的距离为 279 米．
23. （1） 40；80；48；84
【解析】20×2=40（元），
40×2=80（元），
2.4×20=48（元），
2.4×20+1.8×40−20=84（元）．
（2） 根据题意，得 y1=2x，
当 0≤x≤20 时，y2=2.4x；
当 x>20 时，y2=2.4×20+1.8×x−20=1.8x+12．
（3） 当 x≥50 时，记 y=y1−y2=2x−1.8x+12=0.2x−12，
当 y=0 时，即 0.2x−12=0，得 x=60．
∴ 当 x=60 时，在这两家文具店购买这种笔记本的花费相同．
∵0.2>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 50≤x<60 时，有 y<0，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；
当 x>60 时，有 y>0，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．
24. （1） ∵ 点 A，B 的坐标分别为 A−3,0，B0,3，
∴OA=OB=3．
∵AD⊥BC 于 D，
∴∠BDE=90∘．
∵∠AEO=∠BED，∠AOE=∠BDE=90∘，
∴∠OAE=∠DBE．
∵∠AOE=∠BOC，
∴△AOE≌△BOC．
∴OE=OC．
∵ 点 E 的坐标为 0,1，
∴OE=1．
∴OC=1．
∴ 点 C 的坐标为 1,0．
（2） 由（1）可知 OC=1．
∵ 点 B 的坐标为 0,3，
∴BO=3．
过点 F 作 FG⊥x 轴于 G．
∴∠FGC=90∘．
∴∠FGC=∠COB=90∘．
∵ 线段 BC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 后得线段 CF，
∴CF=BC，∠BCF=90∘．
∴∠BCO+∠GCF=90∘．
∵∠BOC=90∘，
∴∠BCO+∠OBC=90∘．
∴∠GCF=∠OBC．
∴△CGF≌△BOC．
∴CG=BO=3，GF=OC=1．
∴OG=OC+CG=4．
∴ 点 F 的坐标为 4,1．
（3） 过点 P 作 PM⊥QR 延长线于点 M．
∴∠PMR=90∘．
∵QR 垂直 x 轴于点 R，
∴∠QRO=90∘．
∴∠MRO=90∘．
∵∠POR=90∘，
∴ 四边形 MPOR 为矩形，
∴MR=PO，∠OPM=90∘．
∵QP⊥PC，
∴∠CPQ=90∘．
∴∠QPO+∠CPO=90∘．
∵∠OPM=90∘，
∴∠QPO+∠QPM=90∘．
∴∠QPM=∠CPO．
∵PQ=PC，∠PMR=∠POC=90∘，
∴△QPM≌△CPO．
∴QM=CO．
OC−QROP=QM−QROP=MROP=OPOP=1．
25. （1） 当 a=1 时，抛物线解析式为 y=x2−4x−5=x−22−9，
∴ 对称轴为 x=2；
∴ 当 y=0 时，x−2=3或−3，即 x=−1或5；
∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 −1,0 或 5,0．
（2） ①抛物线 C1 解析式为：y=ax2−4ax−5，
整理得：y=axx−4−5；
∵ 当 axx−4=0 时，y 恒定为 −5；
∴ 抛物线 C1 一定经过两个定点 0,−5，4,−5；
② y=−ax2+4ax−5．
【解析】②这两个点连线 y=−5；
将抛物线 C1 沿 y=−5 翻折，得到抛物线 C2，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴ 抛物线 C2 解析式为：y=−ax2+4ax−5．
（3） 抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，
则 x=2 时，y=2或者−2；
当 y=2 时，2=−4a+8a−5，解得，a=74；
当 y=−2 时，−2=−4a+8a−5，解得，a=34；
∴a=74或34．