中考复习专题十 反比例函数 知识点总结与练习

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专题十  反比例函数【考点扫描】（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，  在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解  析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数及其图象的性质
　1．函数解析式：（）
　2．自变量的取值范围：
　3．（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当k>0时，图象的两支分别位于一、三象限；
          在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；
          在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
     则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（b, a）和（-b, -a）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义
　　如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
　　 　　　　　　
　　 　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　　图2
 　5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
　　 　当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．       【抛砖引玉】1．（2015•通辽）已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（　　）　 A． （3，﹣2） B． （﹣2，﹣3） C． （1，﹣6） D． （﹣6，1）考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．分析： 把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．解答： 解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6，∴反比例解析式为y=，则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，故选D．
2．（2015•海南）点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（　　）　 A． ﹣1    B． ﹣2    C． 0    D． 1考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．分析： 把点A（﹣1，1）代入函数解析式，即可求得m的值．解答： 解：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：1=，解得：m+1=﹣1，解得m=﹣2．故选B．3．（2016·大庆）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　）A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数y=和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．【解答】解：∵反比例函数y=中，2＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1•x2＜0，故选A．4.（2016·黑龙江）已知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（　　）A．3              B．4             C．5                D．6【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中单调递减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．【解答】解：在反比例函数y=中k=6＞0，∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，当x=3时，y==2；当x=1时，y==6．∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．∴y的最小整数值是3．故选A．5．如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（　　）A．﹣4              B．4                C．﹣2              D．2【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．【解答】解：△ABO的面积为：×|﹣4|=2，故选D．6. 下列四个函数图象中，当时，随的增大而减小的是（    ）A. B.C. D.【答案】B．【分析】由图象知，所给四个函数图象中，当时，随的增大而减小的是选项B. 故选B．7．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．（1）求k1、k2、b的值；（2）求△AOB的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由． 分析：（1）先把A点坐标代入y=可求得k1=8，则可得到反比例函数解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=9；（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．解答：解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1=8，B（﹣4，﹣2），解，解得；（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；（3）∵比例函数y=的图象位于一、三象限，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2，y1＜y2，∴M，N在不同的象限，∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．【沙场点兵】1．（2016河南）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　　）A．2               B．3               C．4             D．52. （2015广西）若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（　　）　A﹣12B12C﹣3D33. (2016·新疆)已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y=kx﹣k的图象不经过（　　）A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限4. （2016宜昌）函数y=的图象可能是（　　）A． B． C． D． 5. (2016兰州)反比例函数的图像在（）。A. 第一、二象限     B. 第一、三象限C. 第二、三象限     D. 第二、四象限【实战演练】一、填空题1.（2016·贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）A． B． C． D．2．（2016·苏州）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）A．y1＞y2    B．y1＜y2     C．y1=y2    D．无法确定 二、填空题1. （2016淮安）若点A（﹣2，3）、B（m，﹣6）都在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则m的值是　  　．2．（2016·鄂州）如图，已知直线 与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图像相交于A（－2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB. 给出下列结论： ①k­1k2<0；②m+n=0；  ③S△­­­­­­­­­­­­­­­­­AOP= S△BOQ；④不等式k­1x+b＞的解集是x<－2或0<x<1，其中正确的结论的序号是        .　     3. （2016·达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为　    　．　   三、解答题1. (2016·资阳)如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．     　2. （2016·咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=在第一象限内的图像交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=在第一象限内的图像交于点P，且△POA的面积为2.（1）求k的值；（2）求平移后的直线的函数解析式.        3. （2016·广安）如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）和反比例函数y2=（m≠0）的图象交于点A（﹣1，6），B（a，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．