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中考复习专题十七 图形的相似和位似 知识点总结与练习
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这是一份中考复习专题十七 图形的相似和位似 知识点总结与练习，共8页。
图形的相似
1、概述
如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似.（相似的符号：∽）
2、判定
如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似（两个条件一个也不能缺).
3、相似比
相似多边形的对应边的比叫相似比.相似比为1时,相似的两个图形全等.
4、性质
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.相似多边形的周长比等于相似比. 相似多边形的面积比等于相似比的平方. 三角形相似
5、特点：
形状相同；大小不一定相同。
图形的位似
定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比
位似图形的标准定义应是：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。
性质：
两个位似形一定是相似形；
对应顶点所在的直线都经过同一点；
对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比。
根据位似图形的定义，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的相似比也叫位似比．
总结：
1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点, 对应边互相平行 （或在同一直线上）,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.
2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.
3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
【抛砖引玉】
【例1】找出下列图形的位似中心．
网
解析（1）连接对应点AE、BF，并延长的交点就是位似中心；
（2）连接对应点AM、BN，并延长的交点就是位似中心；
（3）连接AA′，BB′，他们的交点就是位似中心．
答案
解：（1）①连接对应点AE、BF，
②分别延长AE、BF，使AE、BF交于点O，
∴点O就是位似中心；
（2）①连接对应点AM、BN，
②延长AM、BN，使AM、BN的延长线交于点O，
∴点O就是位似中心；
（3）①连接AA′，BB′，
AA′，BB′的交点就是位似中心O．
【例2】如图，已知△ABC和点O，以点O为位似中心，求作△ABC的位似图形，使它与△ABC的相似比为．
解析：利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．
答案：解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″即为所求．
【例3】若两个位似图形的面积比为4：9，则这两个图形的相似比为（ ）
A．4：9B．2：3C．1：9D．2：4
解析：若两个位似图形的面积比为4：9，位似图形面积的比等于相似比的平方，因而这两个图形的相似比为2：3．
答案：解：∵面积比为4：9
∴这两个图形的相似比为2：3．
故选B．
【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（6，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
解析：（1）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把F点的横纵坐标都乘以即可得到C点坐标，然后利用正方形的性质写出A点坐标；
（2）先利用位似的性质得到正方形ABCD的边长为2，再利用相似比求出OB，从而可得到C点坐标．
答案：解：（1）C点坐标为（2，1），A点坐标为（1，0）；
（2）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：（OB+6）=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为（3，2）．
【沙场点兵】
1、在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、已知△ABC与△A′B′C′关于点O成位似图形，相似比是2：5，OA=10，则OA′的长是（ ）
3、如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为5：7，已知DE=14，则AB的长为（ ）．
4、如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则四边形ODEF的面积为 2 ．
5、以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1．
6、如图，已知△OAB与△OA1B1是相似比为1：2的位似图形，点O是位似中心，若A（﹣3，2），则点A1的坐（ ）．
【实战演练】
一、选择题
1、（2012•银海）如图，小正方形的边长均为1，关于△ABC和△DEF的下列说法正确的是（ ）
A．△ABC和△DEF一定不相似
B．△ABC和△DEF是位似图形
C．△ABC和△DEF相似且相似比是1：2
D．△ABC和△DEF相似且相似比是1：4
2、（2014．玉林）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3、（2014•台州）如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（ ）
二、填空题
1、（2016•天桥）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（ ）．
2、（2012•春椒）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角尺的对应边长为 cm （直接写答案）
3、（2014•荆州）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是 ．
三、解答题
（2015•南漳）画出下列图形的位似中心．
A．
4：3
B．
3：2
C．
14：9
D．
17：9
图形的相似
1、概述
如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似.（相似的符号：∽）
2、判定
如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似（两个条件一个也不能缺).
3、相似比
相似多边形的对应边的比叫相似比.相似比为1时,相似的两个图形全等.
4、性质
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.相似多边形的周长比等于相似比. 相似多边形的面积比等于相似比的平方. 三角形相似
5、特点：
形状相同；大小不一定相同。
图形的位似
定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比
位似图形的标准定义应是：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。
性质：
两个位似形一定是相似形；
对应顶点所在的直线都经过同一点；
对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比。
根据位似图形的定义，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的相似比也叫位似比．
总结：
1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点, 对应边互相平行 （或在同一直线上）,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.
2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.
3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
【抛砖引玉】
【例1】找出下列图形的位似中心．
网
解析（1）连接对应点AE、BF，并延长的交点就是位似中心；
（2）连接对应点AM、BN，并延长的交点就是位似中心；
（3）连接AA′，BB′，他们的交点就是位似中心．
答案
解：（1）①连接对应点AE、BF，
②分别延长AE、BF，使AE、BF交于点O，
∴点O就是位似中心；
（2）①连接对应点AM、BN，
②延长AM、BN，使AM、BN的延长线交于点O，
∴点O就是位似中心；
（3）①连接AA′，BB′，
AA′，BB′的交点就是位似中心O．
【例2】如图，已知△ABC和点O，以点O为位似中心，求作△ABC的位似图形，使它与△ABC的相似比为．
解析：利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．
答案：解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″即为所求．
【例3】若两个位似图形的面积比为4：9，则这两个图形的相似比为（ ）
A．4：9B．2：3C．1：9D．2：4
解析：若两个位似图形的面积比为4：9，位似图形面积的比等于相似比的平方，因而这两个图形的相似比为2：3．
答案：解：∵面积比为4：9
∴这两个图形的相似比为2：3．
故选B．
【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（6，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
解析：（1）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把F点的横纵坐标都乘以即可得到C点坐标，然后利用正方形的性质写出A点坐标；
（2）先利用位似的性质得到正方形ABCD的边长为2，再利用相似比求出OB，从而可得到C点坐标．
答案：解：（1）C点坐标为（2，1），A点坐标为（1，0）；
（2）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：（OB+6）=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为（3，2）．
【沙场点兵】
1、在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、已知△ABC与△A′B′C′关于点O成位似图形，相似比是2：5，OA=10，则OA′的长是（ ）
3、如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为5：7，已知DE=14，则AB的长为（ ）．
4、如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则四边形ODEF的面积为 2 ．
5、以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1．
6、如图，已知△OAB与△OA1B1是相似比为1：2的位似图形，点O是位似中心，若A（﹣3，2），则点A1的坐（ ）．
【实战演练】
一、选择题
1、（2012•银海）如图，小正方形的边长均为1，关于△ABC和△DEF的下列说法正确的是（ ）
A．△ABC和△DEF一定不相似
B．△ABC和△DEF是位似图形
C．△ABC和△DEF相似且相似比是1：2
D．△ABC和△DEF相似且相似比是1：4
2、（2014．玉林）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3、（2014•台州）如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（ ）
二、填空题
1、（2016•天桥）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（ ）．
2、（2012•春椒）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角尺的对应边长为 cm （直接写答案）
3、（2014•荆州）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是 ．
三、解答题
（2015•南漳）画出下列图形的位似中心．
A．
4：3
B．
3：2
C．
14：9
D．
17：9
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