2019年云南省昆明市官渡区中考二模数学试卷

这是一份2019年云南省昆明市官渡区中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题；共30分）
1. 在实数 −2，−12，0，3 中最小的实数是 ．

2. 使式子 22x+1 成立的 x 的取值范围是 ．

3. 已知在反比例函数图象 y=1−kx 的任一分支上，y 都随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是 ．

4. 已知 21=2，22=4，23=8，24=16，⋯⋯，观察上面规律，试猜想 22019 的末位数是 ．

5. 如图，用一个半径为 20 cm，面积为 150π cm2 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径 r 为 cm．

6. 以正方形 ABCD 的边 AD 作等边 △ADE，则 ∠BEC 的度数是 ．

二、选择题（共8小题；共40分）
7. 如图是由 5 个完全相同的小立方体组成的立体图形，则这个立体图形的俯视图是
A. B.
C. D.

8. 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为 0.056 盎司．将 0.056 用科学记数法表示为
A. 5.6×10−1B. 5.6×10−2C. 5.6×10−3D. 0.56×10−1

9. 如图，已知 BD 是 △ABC 的角平分线，ED 是 BC 的垂直平分线，∠BAC=90∘，AD=3，则 CE 的长为
A. 6B. 5C. 4D. 33

10. 小明家 1 至 6 月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是
A. 众数是 6 吨B. 平均数是 5 吨C. 中位数是 5 吨D. 方差是 43

11. 下列计算正确的是
A. −22=−2B. −3−2=9
C. x−3.140=0D. −12019−−4=−5

12. 如图，⊙O 是正八边形 ABCDEFGH 的外接圆，连接 AE，CE．若 ⊙O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为
A. π2+1B. π+2C. π+4D. 2π+1

13. 阅读理解：a，b，c，d 是实数，我们把符号 abcd 称为 2×2 阶行列式，并且规定：abcd=a×d−b×c．例如，32−1−2=3×−2−2×−1=−6+2=−4．二元一次方程组 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 的解可以利用 2×2 阶行列式表示为 x=DxD,y=DyD, 其中 D=a1b1a2b2，Dx=a1b1c2b2，Dy=a1c1a2c2．
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 3x−y=1,x+3y=7 时，下面的说法错误的是
A. D=3−113=10B. Dx=10
C. 方程组的解为 x=1,y=2D. Dy=−20

14. 如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把 △ACD 沿 CA 方向平移得到 △A1C1D1，连接 AD1，BC1．若 ∠ACB=30∘，AB=1，CC1=x，△ACD 与 △A1C1D1 重叠部分的面积为 S，则下列结论：
① △A1AD1≌△CC1B；
②当 x=1 时，四边形 ABC1D1 是菱形；
③当 x=2 时，△BDD1 为等边三角形；
④ S=32x−220其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 先化简，再求值：2a+1−2a−3a2−1÷1a+1，其中 a=tan60∘+1．

16. 如图，AB 与 CD 相交于点 E，AE=CE，CD=AB．求证：∠A=∠C．

17. 官渡区某校八年级（1）班同学为了解某市 2019 年 A 小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区都分家庭，并将调查数据进行如下整理：
月均用水量x吨频数户频率0请解答下列问题：
（1）填空：样本容量是 ，m= ，n= ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若该小区有 1000 户家庭，请估计该小区月均用水量满足 10
18. 在一个不透明的布袋里装有 3 个标有数字 1，2，4 的小球，它们除数字不同外形状大小完全相同．小昆从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x，然后放回布袋搅匀，再从布袋中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了点 M 的坐标 x,y．
（1）用列表或画树状图的方法（只选其中一种），表示出点 M 所有可能的坐标；
（2）求点 Mx,y 在函数 y=4x 的图象上的概率．

19. 如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需经 B 地绕行，已知 B 地位于 A 地北偏东 67∘ 方向，距 A 地 390 km，C 地位于 B 地南偏东 30∘ 方向，若打通穿山随道，建成两地直达公路，求公路 AC 的长（结果保留整数）．
（参考数据：sin67∘≈1213；cs67∘≈513；tan67∘≈125；3≈1.73）

20. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 P 是弦 AC 上一动点（不与 A，C 重合），过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E，射线 EP 交 AC 于点 F，交过点 C 的切线于点 D．
（1）求证 DC=DP；
（2）若 ∠CAB=30∘，当 F 是 AC 的中点时，判断以 A，O，C，F 为顶点的四边形是什么特殊四边形?说明理由．

21. 如图，经过原点 O 的抛物线 y=ax2+bxa≠0 与 x 轴交于另一点 A32,0，在第一象限内与直线 y=x 交于点 B2,m．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点 C，满足以 B，O，C 为顶点的三角形的面积为 1，求点 C 的坐标．

22. 某公司在甲、乙仓库共存放某种原料 45 吨，如果运出甲仓库所存原料的 60%，仓库所存原料的 40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库新余的原料多 3 吨．
（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨?
（2）现公司需将 30 吨原料运往工厂，从甲、乙两仓库到工厂的运价分别为 120 元吨和 100 元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元/吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运 m 吨原料到工厂，请求出总运费 w 关于 m 的函数解析式（不要求写出 m 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着 m 的增大，w 的变化情况．

23. 如图 1，直线 l:y=−34x+b 与 x 轴交于点 A4,0，与 y 轴交于点 B，点 C 是线段 OA 上一动点 0（1）求直线 l 的函数解析式和点 B 的坐标；
（2）如图 2，连接 CE，当 CE=EF 时，求证：△OCE∽△OEA 并求点 E 的坐标；
（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE⋅EF 的最大值．
答案
第一部分
1. −2
【解析】∵−2<−12<0<3，
∴ 在实数 −2，−12，0，3 中，最小的实数 −2．
2. x≠−12
【解析】由题意得 2x+1≠0，解得 x≠−12．
3. k>1
【解析】由题意可知：1−k<0，
∴k>1．
4. 8
【解析】21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，⋯⋯，
∴ 结果的末位数为 2，4，8，6，2，4，8，6，⋯⋯，每 4 个数字一循环，
∵2019÷4=504⋯⋯3，
∴22019 的末位数是 8．
5. 7.5
【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R，l，圆锥形容器底面半径为 r，
则由题意得 R=20，由 12Rl=150π 得 l=15π，
由 2πr=15π 得 r=7.5 cm．
6. 30∘ 或 150∘
【解析】如图 1．
∵ 四边形 ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90∘，
∠AED=∠ADE=∠DAE=60∘．
∴∠BAE=∠CDE=150∘，又 AB=AE，DC=DE，
∴∠AEB=∠CED=15∘，则 ∠BEC=∠AED−∠AEB−∠CED=30∘；
如图 2．
∵△ADE 等边三角形，
∴AD=DE，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=90∘−60∘=30∘，
∴∠CED=∠ECD=12×180∘−30∘=75∘，
∴∠BEC=360∘−75∘×2−60∘=150∘．
第二部分
7. D【解析】这个立体图形的俯视图是：
8. B【解析】0.056 用科学记数法表示为 0.056=5.6×10−2．
9. D【解析】∵ED 是 BC 的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90∘，
∴∠C+∠ABD+∠DBC=90∘，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30∘，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE=33．
10. C
【解析】根据众数、平均数、中位数、方差：
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
一般地设 n 个数据，x1，x2，⋯，xn 的平均数为 x=x1+x2+⋯+xnn，则方差 s2=x1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2．
数据 3，4，5，6，6，6，中位数是 5.5．
11. D【解析】A．−22=2，故此选项错误；
B．−3−2=19，故此选项错误；
C．x−3.140=1，故此选项错误；
D．−12019−−4=−5，正确．
12. B【解析】连接 OC，如图所示，则 OC⊥AE．
∴∠AOC=∠EOC=90∘．
∴ 图中阴影部分的面积 =90π×22360+12×2×2=π+2．
13. D【解析】A．D=3−113=3×3−−1×1=10，计算正确，不符合题意；
B．Dx=1×3−−1×7=10，计算正确，不符合题意；
C．方程组的解：x=1010=1，y=2010=2，计算正确，不符合题意；
D．Dy=3×7−1×1=20，计算错误，符合题意．
14. C【解析】∵AC=A1C1，
∴AA1=CC1．
∵BC=D1A1，∠AA1D1=∠BCC1，
∴△A1AD1≌△CC1B，故①正确；
在 Rt△ABC 中，
∵∠ACB=30∘，AB=1，
∴AC=A1C1=2．
当 x=1 时，AC1=CC1=1，
∴AC1=AB．
∵∠BAC=60∘，
∴△ABC1 是等边三角形．
同法可证：△AD1C1 是等边三角形，
∴AB=BC1=AC1=AD1=C1D1．
∴ 四边形 ABC1D1 是菱形，故②正确；
当 x=2 时，BD=AC=2，DD1=2，∠BDD1=60∘，
∴△BDD1 是等边三角形，故③正确；
当 0第三部分
15. 原式=2a−1a+1a−1−2a−3a+1a−1⋅a+1=2a−2−2a+3a+1a−1⋅a+1=1a+1a−1⋅a+1=1a−1.
a=tan60∘+1=3+1．
∴原式=13+1−1=13=33.
16. 连接 AC．
∵AE=CE，
∴∠BAC=∠DCA．
在 △DAC 和 △BCA 中，
AC=AC,∠DCA=∠BAC,CD=AB,
∴△DAC≌△BCASAS，
∴∠D=∠B，
∵∠D+∠DAE+∠DEA=180∘，∠B+∠BCE+∠BEC=180∘，∠DEA=∠BEC，
∴∠DAE=∠BCE．
17. （1） 50；12；0.08
【解析】样本容量是：6÷0.12=50，m=50×0.24=12，n=4÷50=0.08．
（2） 由（1）可知，5补全的频数分布直方图如图所示．
（3） 1000×0.32+0.20+0.08=600（户）．
答：该小区月均用水量满足 1018. （1） 由题意可得，树状图如图所示．
共有 9 种结果，且每种结果发生的可能性相同．
1,1，1,2，1,4，2,1，2,2，2,4，4,1，4,2，4,4．
（2） ∵ 点 Mx,y 在函数 y=4x 的图象上有 3 种情况，
分别为 1,4，4,1，2,2，
∴P点 M 在 y=4x 的图象上=13，
即点 Mx,y 在函数 y=4x 的图象上的概率是 13．
19. 过点 B 作 BD⊥AC 于点 D．
∵B 地位于 A 地北偏东 67∘ 方向，距 A 地 390 km，
在 Rt△ABD 中，
∴∠ABD=67∘．
∴AD=AB⋅sin67∘≈390×1213=360 km，
BD=AB⋅cs67∘≈390×513=150 km．
∵C 地位于 B 地南偏东 30∘ 方向，
在 Rt△BDC 中，
∴∠CBD=30∘，
∴CD=BD⋅tan30∘=150×33=503．
∴AC=AD+CD=360+503≈446.5km．
∴AC≈447km．
答：公路 AC 的长约为 447 km．
20. （1） 如图1
连接 OC .
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥CD .
∴∠OCD=90∘ .
∴∠DCA=90∘−∠OCA．
又 PE⊥AB，点 D 在 EP 的延长线上，
∴∠DEA=90∘ .
∴∠DPC=∠APE=90∘−∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠DCA=∠DPC .
∴DC=DP．
（2） 如图2，四边形 AOCF 是菱形．
连接 CF，AF .
∵F 是 AC 的中点，
∴AF=CF .
∴AF=FC．
∵∠BAC=30∘，
∴BC=60∘ .
又 AB 是 ⊙O 的直径，
∴ACB=120∘，
∴AF=CF=60∘ .
∴∠ACF=∠FAC=30∘．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC=30∘，
∴△OAC≌△FAC ASA .
∴AF=OA .
∴AF=FC=OC=OA .
∴ 四边形 AOCF 是菱形．
21. （1） ∵B2,m 在直线 y=x 上，
∴m=2，
∴B2,2，
把 A，B 两点坐标代入抛物线解析式可得 4a+2b=2,94a+32b=0.
解得 a=2,b=−3.
∴ 抛物线解析式为 y=2x2−3x．
（2） 如图 1，过 C 作 CD∥y 轴，交 x 轴于点 E，交 OB 于点 D，过 B 作 BF⊥CD 于点 F，
∵ 点 C 是抛物线上第四象限的点，
∴ 可设 Ct,2t2−3t，则 Et,0，Dt,t，
∴OE=t，BF=2−t，CD=t−2t2−3t=−2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=12CD⋅OE+12CD⋅BF=12−2t2+4tt+2−t=−2t2+4t,
∵△OBC 的面积为 1，
∴−2t2+4t=1，
解得 t1=2+22，t2=2−22，
当 t=2+22 时，2t2−3t=22（舍去）；
当 t=2−22 时，2t2−3t=−22，
∴C2−22,−22．
22. （1） 设甲仓库存放原料 x 吨，乙仓库存放原料 y 吨，
x+y=45,1−60%x+3=1−40%y.
解得
x=24,y=21.
答：甲仓库存放原料 24 吨，乙仓库存放原料 21 吨；
（2） 从甲仓库运 m 吨原料到工厂，则从乙仓库云原料 30−m 吨到工厂，
w=120−am+10030−m=20−am+3000，
即总运费 w 关于 m 的函数解析式是 w=20−am+3000．
（3） ①当 10≤a<20 时，20−a>0，由一次函数的性质，得 w 随 m 的增大而增大，
②当 a=20 时，20−a=0，w 随 m 的增大没变化；
③当 2023. （1） ∵ 直线 l:y=−34x+b 与 x 轴交于点 A4,0，
∴−34×4+b=0．
∴b=3．
∴ 直线 l 的函数解析式 y=−34x+3．
∴B0,3．
（2） ①如图 2，连接 DF．
∵CE=EF，
∴∠CDE=∠FDE．
∴∠CDF=2∠CDE．
∵∠OAE=2∠CDE，
∴∠OAE=∠ODF．
∵ 四边形 CEFD 是 ⊙O 的圆内接四边形，
∴∠OEC=∠ODF．
∴∠OEC=∠OAE．
∵∠COE=∠EOA，
∴△COE∽△EOA；
②过点 E 作 EM⊥OA 于 M，
由①知，tan∠OAB=34，
设 EM=3m，则 AM=4m，
∴OM=4−4m，AE=5m，
∴E4−4m,3m，AC=5m，
∴OC=4−5m，
由①知，△COE∽△EOA，
∴OCOE=OEOA，
∴OE2=OA⋅OC=44−5m=16−20m，
∵E4−4m,3m，
∴4−4m2+9m2=25m2−32m+16，
∴25m2−32m+16=16−20m，
∴m=0（舍）或 m=1225，
∴4−4m=5225，3m=3625，
∴E5225,3625．
（3） 如图，设 ⊙O 的半径为 r，过点 O 作 OG⊥AB 于 G．
∵A4,0，B0,3，
∴OA=4，OB=3．
∴AB=5．
∴12AB×OG=12OA×OB．
∴OG=125．
∴AG=OGtan∠OAB=125×43=165．
∴EG=AG−AE=165−r．
连接 FH．
∵EH 是 ⊙O 直径，
∴EH=2r，∠EFH=90∘=∠EGO，
∵∠OEG=∠HEF，
∴△OEG∽△HEF，
∴OEHE=EGEF．
∴OE⋅EF=HE⋅EG=2r165−r=−2r−852+12825．
∴r=85 时，OE⋅EF 最大值为 12825．