2018_2019学年天津市南开区八下期末数学试卷

这是一份2018_2019学年天津市南开区八下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 方程 x2=2x 的解是
A. x=2B. x=2C. x=0D. x=2 或 x=0

2. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数 x 与方差 s2：
甲乙丙丁平均数xcm561560561560方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

3. 用配方法解关于 x 的方程 x2−4x+2=0，此方程可变形为
A. x−22=6B. x+22=6C. x−22=2D. x+22=2

4. 点 1,m 为直线 y=2x−1 上一点，则 OA 的长度为
A. 1B. 3C. 2D. 5

5. 已知一次函数 y=kx+3，且 y 随 x 的增大而减小，那么它的图象经过
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限

6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是
A. 当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形
B. 当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形
C. 当 ∠ABC=90∘ 时，四边形 ABCD 是正方形
D. 当 AC=BD 时，四边形 ABCD 是矩形

7. 如图，数轴上点 A 表示的数是 −1，原点 O 是线段 AB 的中点，∠BAC=30，∠ABC=90∘，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点 D，则点 D 表示的数是
A. 233−1B. 233C. 433D. 433−1

8. 已知：如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE∥DC 交 BC 于点 E，AD=6 cm，则 OE 的长为
A. 6 cmB. 4 cmC. 3 cmD. 2 cm

9. 如图：在 △ABC 中，CE 平分 ∠ACB，CF 平分 ∠ACD，且 EF∥BC 交 AC 于 M，若 CM=5，则 CE2+CF2 等于
A. 75B. 100C. 120D. 125

10. 某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产 182 万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么符合题意的方程是
A. 501+x2=182
B. 50+501+x+501+x2=182
C. 50+501+x+501+2x=182
D. 50+1+2x=182

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 为斜边 AB 的中点，动点 P 从点 B 出发，沿 B→C→A 运动，如图（1）所示，设 S△DPB=y，点 P 运动的路程为 x，若 y 与 x 之间的函数图象如图（2）所示，则 a 的值为
A. 3B. 4C. 5D. 6

12. 在平面直角坐标系中，已知点 A0,1，B1,2，点 P 在 x 轴上运动，当点 P 到 A，B 两点的距离之差的绝对值最大时，该点记为点 P1，当点 P 到 A，B 两点的距离之和最小时，该点记为点 P2，以 P1P2 为边长的正方形的面积为
A. 1B. 43C. 169D. 5

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 已知，正比例函数经过点 −1,2，该函数解析式为 ．

14. 直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的 2 倍，斜边长是 105，则较短的直角边的长为 ．

15. 一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为 1，则这组数据的平均数为 ．

16. 关于 x 的方程 k−3x2+2x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．

17. 已知：Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，P 为 AB 上任意一点，PF⊥AC 于 F，PE⊥BC 于 E，则 EF 的最小值是 ．

18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，E8,0，F0,6．
（1）当 G4,8 时，则 ∠FGE= ∘；
（2）在图中的网格区域内找一点 P，使 ∠FPE=90∘ 且四边形 OEPF 被过 P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点 P 点坐标，画出过 P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．

三、解答题（共6小题；共78分）
19. （1）x2−2x−1=0．
（2）92x−12−4=0．

20. 某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款，抽查了九年级（1）班全班学生捐款情况，并绘制了如下的统计表和统计图：求：
捐款元2050100150200人数人412932
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ．扇形统计图中的 m= ，n= ；
（2）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；
（3）若该校有学生 2500 人，估计该校学生共捐款多少元?

21. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−m+2x+2m−1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根；
（3）求以（II）中所得两根为边长的等腰三角形的周长．

22. 如图，在矩形 ABCD 中， P 是 AD 上一动点， O 为 BD 的中点，连接 PO 并延长，交 BC 与点 Q ．
（1）求证：四边形 PBQD 是平行四边形；
（2）若 AD=6 cm ， AB=4 cm ，点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度向点 D 运动（不与点 D 重合），设点 P 运动时间为 t s ，请用含 t 的代数式表示 PD 的长，并求出当 t 为何值时，四边形 PBQD 是菱形，并求出此菱形的周长．

23. 某商场销售国外、国内两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
国外品牌国内品牌进价元/部44002000售价元/部50002500
该商场计划购进两种手机若干部，共需 14.8 万元，预计全部销售后可获毛利润共 2.7 万元．[毛利润 =（售价 − 进价）× 销售量]
（1）该商场计划购进国外品牌、国内品牌两种手机各多少部?
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少国外品牌手机的购进数量，增加国内品牌手机的购进数量．已知国内品牌手机增加的数量是国外品牌手机减少的数量的 3 倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过 15.6 万元，该商场应该怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润．

24. 已知 y1=kx+1 经过点 2,−1 与 x 轴交于点 A，F 点为 1,2．
（1）求 k 值及 A 点坐标；
（2）将函数 y1 的图象沿 y 轴的方向向上平移得到函数 y2，其图象与 y 轴交于点 Q，且 OQ=QF，求平移后的函数 y2 的解析式；
（3）若点 A 关于 y2 的对称点为 K，请直接写出直线 FK 与 x 轴的交点坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】方程 x2=2x，
移项得：x2−2x=0，
分解因式得：xx−2=0，
可得 x=0 或 x−2=0，
解得：x1=0，x2=2．
2. A【解析】因为甲的方差是 3.5，乙的方差是 3.5，丙的方差是 15.5，丁的方差是 16.5，
所以 S甲2=S乙2所以发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，
因为甲的平均数是 561 cm，乙的平均数是 560 cm，
所以成绩好的应是甲，
所以从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲．
3. C【解析】移项，得 x2−4x=−2，
在等号两边加上 4，得 x2−4x+4=−2+4，
∴x−22=2．
故C答案正确．
4. C【解析】∵ 点 A1,m 为直线 y=2x−1 上一点，
∴m=2×1−1．
解得，m=1，
∴ 点 A 的坐标为 1,1，
故 OA=12+12=2．
5. B
【解析】∵ 一次函数 y=kx+3，y 随 x 的增大而减小，
∴k<0，
∵b=3>0，
∴ 此函数的图象经过一、二、四象限．
6. C【解析】A．正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
B．正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C．不正确，有一个角为 90∘ 的平行四边形是矩形，而不一定是正方形；
D．正确，对角线相等的平行四边形是矩形．
7. D【解析】∵ 点 A 表示 −1，O 是 AB 的中点，
∴OA=OB=1，
∴AB=2，
在 Rt△ABC 中，AC=ABcs∠BAC=232=433，
∴AD=AC=433，
∴OD=433−1．
8. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AO=CO，AB=AD=6 cm．
∵E 为 CB 的中点，
∴OE 是 △ABC 的中位线．
∴BA=2OE．
∴OE=3 cm．
9. B【解析】∵CE 平分 ∠ACB，CF 平分 ∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即 ∠ECF=12∠ACB+∠ACD=90∘，
∴△EFC 为直角三角形，
又 ∵EF∥BC，CE 平分 ∠ACB，CF 平分 ∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知 CE2+CF2=EF2=100．
10. B
【解析】依题意得五、六月份的产量为 501+x，501+x2，
∴50+501+x+501+x2=182．
11. A【解析】根据题意可得，BC=4，AC=7−4=3，
当 x=4 时，点 P 与点 C 重合，
∵∠ACB=90∘，点 D 为 AB 的中点，
∴S△BDP=12S△ABC，
∴y=12×12×3×4=3，即 a 的值为 3．
12. C【解析】由题意可知，当点 P 到 A，B 两点距离之差的绝对值最大时，点 P 在直线 AB 上．
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
∵A0,1，B1,2，
∴b=1,k+b=2,
解得 k=1,b=1.
∴y=x+1．
令 y=0，则 0=x+1，
解得 x=−1．
∴ 点 P1 的坐标是 −1,0．
∵ 点 A 关于 x 轴的对称点 A′ 的坐标为 0,−1，
设直线 A′B 的解析式为 y=k′x+b′，
∵A′0,−1，B1,2，
b′=−1,2=k′+b′,
解得 k′=3,b′=−1,
∴y=3x−1．
令 y=0，则 0=3x−1，
解得 x=13，
∴ 点 P2 的坐标是 13,0．
∴ 以 P1P2 为边长的正方形的面积为 13+12=169．
第二部分
13. y=−2x
【解析】设正比例函数的解析式为 y=kxk≠0，
∵ 图象经过点 −1,2，
∴2=−k，
此函数的解析式是：y=−2x．
14. 10
【解析】由题意可设两条直角边长分别为 x，2x，
由勾股定理得 x2+2x2=1052，
解得 x1=10，x2=−10（舍去），
∴ 较短的直角边长为 10．
15. 76
【解析】根据众数为 1 可得 a=1，
则平均数 =1+2+1+0+2+1÷6=76．
16. k≤4
【解析】当 k−3=0，即 k=3 时，方程为 2x+1=0，
解得 x=−12，符合题意；
② 当 k−3≠0，即 k≠3 时，Δ=22−4k−3=16−4k≥0，
解得：k≤4 且 k≠3．
综上即可得出 k 的取值范围为 k≤4．
17. 2.4
【解析】连接 CP，如图所示：
∵∠C=90∘，PF⊥AC 于 F，PE⊥BC 于 E，
∴∠C=∠PFC=∠PEC=90∘，
∴ 四边形 CEPF 是矩形，
∴EF=CP，
要使 EF 最小，只要 CP 最小即可，当 CP⊥AB 时，CP 最小，
在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB=5，
由三角形面积公式得：12×4×3=12×5×CP，
∴CP=2.4，即 EF=2.4．
18. 90，
P7,7，PH 是分割线．
【解析】（1）连接 FE，
∵E8,0，F0,6，G4,8，
∴△FEG 是直角三角形，且 ∠FGE=90∘．
（2）作图如下：
P7,7，PH 是分割线．
第三部分
19. （1）
x2−2x−1=0.x−12=2.∴x1=1+2或1−2.
（2）
92x−12−4=0.2x−12−4=0.2x−1=±23.∴x1=56,x2=16.
20. （1） 30 人；40；30
【解析】本次接受随机抽样调查的学生人数为 4+12+9+3+2=30（人）．
12÷30=40%，9÷30=30%，
∴ 扇形统计图中的 m=40，n=30．
（2） ∵ 在这组数据中，50 出现了 12 次，次数最多，
∴ 学生捐款数目的众数是 50；
∵ 将捐款数据按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是 50，
∴ 中位数为 50；
这组数据的平均数为
20×4+50×12+100×9+150×3+200×2÷30=2430÷30=81元.
（3） 2500×81=202500（元）．
答：估计该校学生共捐款 202500 元．
21. （1） ∵Δ=m+22−42m−1=m−22+4，
∴ 在实数范围内，m 无论取何值，m−22+4≥4，
即 Δ≥4，
∴ 关于 x 的方程 x2−m+2x+2m−1=0 恒有两个不相等的实数根．
（2） 根据题意，得 12−1×m+2+2m−1=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2−1=2+1=3．
（3） ① 当该等腰三角形的腰为 1，底边为 3 时，
∵1+1<3，
∴ 构不成三角形；
② 当该等腰三角形的腰为 3，底边为 1 时，
等腰三角形的周长=3+3+1=7．
22. （1） 证明：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD∥BC ，所以 ∠PDO=∠QBO ，因为 O 为 BD 中点，所以 OB=OD ，在 △PDO 和 △QBO 中，
∠PDO=∠QBO,OB=OD,∠POD=∠QOB,
所以 △PDO≌△QBO ，所以 OP=OQ ，
又因为 OB=OD ，所以四边形 PBQD 是平行四边形．
（2） 依题意得， AP=t cm ，则 PD=6−t cm ，
当四边形 PBQD 是菱形时，有 PB=PD=6−t cm ，
因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ∠A=90∘ ，
在 Rt△ABP 中， AP2+AB2=BP2 ， AB=4 ，所以 t2+42=6−t2 ，解得 t=53 ，
所以运动的时间为 53 s 时，四边形 PBQD 是菱形，
所以此时菱形的周长为 6−53×4=523 cm ．
23. （1） 设商场计划购进国外品牌手机 x 部，国内品牌手机 y 部，由题意，得：
0.44x+0.2y=14.8,0.06x+0.05y=2.7,
解得
x=20,y=30.
答：商场计划购进国外品牌手机 20 部，国内品牌手机 30 部．
（2） 设国外品牌手机减少 a 部，则国内手机品牌增加 3a 部，由题意，得：
0.4420−a+0.230+3a≤15.6.
解得：
a≤5.
设全部销售后获得的毛利润为 w 万元，由题意，得：
w=0.0620−a+0.0530+3a=0.09a+2.7.
因为 k=0.09>0，
所以 w 随 a 的增大而增大，
所以当 a=5 时，w最大=3.15，
答：当该商场购进国外品牌手机 15 部，国内品牌手机 45 部时，全部销售后获利最大，最大毛利润为 3.15 万元．
24. （1） ∵y1=kx+1 经过点 2,−1，
∴2k+1=−1，
∴k=−1，y1=−x+1，
令 y=0，
∴x=1，
∴A1,0．
（2） 设平移后的直线解析式为 y=−x+m，
∴Q0,m，
如图，过点 F 作 EF⊥y 轴于 E，
∵F 点为 1,2，
∴EF=1，EQ=2−m，FQ=OQ=m，
根据勾股定理得，EF2+EQ2=FQ2，
∴1+2−m2=m2，
∴m=54，
∴ 平移后的函数 y2 的解析式 y2=−x+54．
（3） 如图，设直线 y2=−x+54 与 x 轴的交点为 D .
∴D54,0，Q0,54，
∴OD=OQ，
∴∠ODQ=45∘，
∵A1,0，
∴AD=OD−OA=14，
连接 DK，
∵ 点 A 关于 y1 的对称点为 K，
∴DK=DA=14，∠KDQ=∠ODQ=45∘，
∴∠ADK=90∘，
∴K54,14，
∵F1,2，
∴ 直线 FK 的解析式为 y=−7x+9，
∴FK 与 x 轴的交点为 97,0．