2018_2019学年山东省青岛市市南区八下期末数学试卷

这是一份2018_2019学年山东省青岛市市南区八下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 将不等式 x+2≤0 的解集在数轴上表示出来，则正确的是
A. B.
C. D.

2. 下列图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有
A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ③

3. 下列因式分解正确的是
A. 2x2−6x=2xx−6
B. −a3+ab=−aa2−b
C. −x2−y2=−x+yx−y
D. m2−9n2=m+9nm−9n

4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB 和 CD 上，下列条件不能判定四边形 DEBF 一定是平行四边形的是
A. AE=CFB. DE=BF
C. ∠ADE=∠CBFD. ∠AED=∠CFB

5. 无论 a 取何值，下列分式一定有意义的是
A. a2+1a2B. a+1a2−1C. a2−1a+1D. a−1a2+1

6. 如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和
A. 比原多边形多 180∘B. 比原多边形多 360∘
C. 与原多边形相等D. 比原多边形少 180∘

7. 下列运算正确的是
A. 0.2a+ba+0.2b=2a+ba+2bB. a2+1a=a+1
C. ax−y+ay−x=0D. −x+1x−y=−x+1x−y

8. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，∠ABC=2∠C，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：① AC−BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③ ∠DAE=∠C；④ BC=4AD．其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 把多项式 nn−2+m2−n 分解因式的结果是 ．

10. 若分式 −67−x 的值为正数，则 x 的取值范围是 ．

11. 将点 P−2,3 向右平移 3 个单位得到点 P1，点 P2 与点 P1 关于原点成中心对称，则 P2 的坐标是 ．

12. 小刚从家到学校的路程为 2 km，其中一段是 1 km 的平路，一段是 1 km 的上坡路．已知小刚在上坡、平路和下坡的骑车速度分别为 a km/h，2a km/h，3a km/h，则小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多 h．

13. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50∘，则 ∠ADC 的度数为 ．

14. 某工厂原计划在规定时间内生产 12000 个零件，实际每天比原计划多生产 100 个零件，结果比规定时间节省了 14，若设原计划每天生产 x 个零件，则根据题意可列方程为 ．

15. 如图，在 △ABC 中，AB=6，将 △ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30∘ 后得到 △A1BC1，则阴影部分的面积为 ．

16. 如图，直线 y=−x+m 与 y=x+5 的交点的横坐标为 −2，则关于 x 的不等式 −x+m>x+5>0 的整数解为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：四边形 ABCD．
求证：点 P，使 ∠PBC=∠PCB，且点 P 到 AD 和 DC 的距离相等．

18. 计算题．
（1）因式分解：3a2b−6ab2+3b3；
（2）解不等式组：4x>2x−6,x−13≤x+19.
（3）先化简，再求值：1+3a−2÷a+1a2−4，其中 a=−3．

19. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB，D 是 AC 上一点，E 在 BC 的延长线上，且 AE=BD，BD 的延长线与 AE 交于点 F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索 BF 与 AE 有何特殊的位置关系，并证明你的结论．

20. 某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人 100 元．车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择．第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的 78% 付款；第二种方案是师生都按原价的 80% 付款．该校参加这项活动的教师有 5 名，学生有 x 名．
（1）设购票付款为 y 元，请写出 y 与 x 的关系式．
（2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案?

21. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，过 A，C 分别作 AD 和 BC 的垂线，交对角线 BD 于点 E，F，AE=CF，BE=DF．
（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）若 BC=4，∠CBD=45∘，且 E，F 是 BD 的三等分点，求四边形 ABCD 的面积．（直接写出结论即可）

22. 随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行五月份A型车的销售总利润为 4320 元，B型车的销售总利润为 3060 元，且A型车的销售数量是B型车的 2 倍，已知销售B型车比A型车每辆可多获利 50 元．
（1）求每辆A型车和B型车的销售利润；
（2）若该车行计划一次购进A，B两种型号的自行车共 100 台且全部售出，其中B型车的进货数量不超过A型车的 2 倍，则该车行购进A型车，B型车各多少辆，才能使销售总利润最大?最大销售总利润是多少?

23. 如图，四边形 ABCD 是面积为 S 的平行四边形，其中 AD∥BC，AB∥CD．
（1）如图①，点 P 为 AD 边上任意一点，则 △PAB 的面积 S1 和 △PDC 的面积 S2 之和与平行四边形 ABCD 的面积 S 之间的数量关系是 ．
（2）如图②，设 AC，BD 交于点 P，则 △PAB 的面积 S1 和 △PDC 的面积 S2 之和与平行四边形 ABCD 的面积 S 之间的数量关系是 ．
（3）如图③，点 P 为平行四边形 ABCD 内任意一点时，试猜想 △PAB 的面积 S1 和 △PDC 的面积 S2 之和与平行四边形 ABCD 的面积 S 之间的数量关系，并加以证明．
（4）如图④，已知点 P 为平行四边形 ABCD 内任意一点，△PAB 的面积为 2，△PBC 的面积为 8，连接 BD，求 △PBD 的面积．

24. 问题：如图（1），点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF=45∘，试判断 BE，EF，FD 之间的数量关系．
（1）【发现证明】小聪把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至 △ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
（2）【类比弓|申】
如图（2），四边形 ABCD 中，∠BAD≠90∘，AB=AD，∠B+∠D=180∘，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，则当 ∠EAF 与 ∠BAD 满足 关系时，仍有 EF=BE+FD．
（3）【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD．已知 AB=AD=80 米，∠B=60∘，∠ADC=120∘，∠BAD=150∘，道路 BC，CD 上分别有景点 E，F，且 AE⊥AD，DF=403−40 米，现要在 E，F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长为 米．
答案
第一部分
1. D【解析】不等式 x+2≤0 的解为 x≤−2 且为实心．
2. C【解析】① 正三角形内角和为 180∘，不是 360∘ 的整数倍，不满足平面镶嵌的条件；
④“圆”字中的“员”不是中心对称图形；
故只有 ②③ 满足既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面．
3. B【解析】A．2x2−6x=2xx−3，故A错误；
B．−a3+ab=−aa2−b，故B正确；
C．−x2−y2=−x2+y2，故C错误；
D．m2−9n2=m+3nm−3n，故D错误．
4. B【解析】若 DE=BF，无法证明 △ADE≌△CBF，故不能判断 DEBF 一定是平行四边形．
5. D
【解析】∵a2≥0，
∴a2+1>0 必成立．
6. A【解析】剪去一个角，则多增加一条边，
由内角公式 n−2⋅180∘ 可知，新多边形比原多边形内角和多 180∘．
7. C【解析】A、 0.2a+ba+0.2b=2a+10b10a+2b=a+5b5a+b，故A错误；
B、 a2+1a=a2a+1a=a+1a，故B错误；
C、 ax−y+ay−x=a−ax−y=0，故C正确；
D、 −x+1x−y=−x−1x−y，故D错误．
8. D
第二部分
9. n−2n−m
【解析】nn−2+m2−n=n⋅n−2−mn−2=n−2n−m．
10. x>7
【解析】若 −67−x>0，则 7−x<0，解得 x>7．
11. −1,−3
【解析】∵ 将点 P−2,3 向右平移 3 个单位后为点 P1，
∴ 点 P1 的坐标是 1,3．
∵ 点 P2 与点 P1 关于原点成中心对称，
∴P2−1,−3．
12. 23a
【解析】根据 时间=路程速度，可得小刚去学校的时间为：12a+1a=32ah，
骑车回家的时间为：13a+12a=56ah，两者之差 32a−56a=23ah 为多花的时间．
13. 140∘
【解析】如图，连接 BD，
∵ 点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点，
∴EF 是 △ABD 的中位线，
∴EF∥BD，BD=2EF=12，
∴∠ADB=∠AFE=50∘，
∵BC=15，CD=9，BD=12，
∴BC2=225，CD2=81，BD2=144，
∴CD2+BD2=BC2，
∴∠BDC=90∘，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50∘+90∘=140∘．
14. 12000x⋅14=12000x−12000x+100
【解析】设原计划每天生产的零件个数为 x 个，则实际每天生产 x+100 个．
根据题意可得方程：12000x⋅14=12000x−12000x+100．
15. 9
【解析】根据旋转的性质得到 △ABC≌△A1BC1，A1B=AB=4，
∴△A1BA 是等腰三角形，
∠A1BA=30∘，然后得到等腰三角形的面积，S△A1BA=9，
由图形可以知道 S阴影=S△A1BA+S△A1BC1−S△ABC=S△A1BA=9，最终得到阴影部分的面积等于 9．
16. −3，−4
【解析】由题意得点 −2,y 在直线 y=−x+m 和直线 y=x+5 上，
∴y=−2+5=3，即点的坐标为 −2,3．
把 −2,3 代入 y=−x+m 中，得 m=3−2=1．
不等式 −x+1>x+5>0，可转化为 −x+1>x+5,x+5>0, 解得 x<−2,x>−5,
综合来看，解集为 −5第三部分
17. 如图所示，点 P 即为所求．
18. （1） 原式=3ba2−2ab+b2=3ba−b2.
（2） 原不等式组
4x>2x−6, ⋯⋯①x−13≤x+19, ⋯⋯②
对不等式 ① 移项得：
2x>−6.
解得
x>−3.
对不等式 ② 两边同时乘以 9，得
3x−3≤x+1.
移项得
2x≤4.
解得
x≤2.
故不等式组的解集为
−3将解集在数轴上表示出来如图所示．
（3） 原式=a+1a−2⋅a+2a−2a+1=a+2,
当 a=3 时，原式=2+3=5．
19. BF⊥AE．
证明：
因为 BD=AE，CB=CA，∠BCD=∠ACE，
所以 Rt△BCD≌Rt△ACEHL，
所以 ∠BDC=∠AEC，
因为 ∠AEC+∠EAC=90∘，
所以 ∠FDA+∠EAC=90∘，
因为 ∠FDA=∠BDC，
所以 ∠DFA=90∘，
所以 BF⊥AE．
20. （1） 第一种方案：y1=100x×0.78+100×5，
化简得，y1=78x+500，
第二种方案：y2=x+5×100×0.8，
化简得，y2=80x+400．
（2） 当有 40 名学生时，两种方案付款分别为，
y1=78x+500=78×40+500=3620，
y2=80x+400=80×40+400=3600，
可见选择第二种方案付款更便宜；
当有 60 名学生时，两种方案付款分别为，
y1=78x+500=78×60+500=5180，
y2=80x+400=80×60+400=5200，
可见选择第一种方案付款更便宜；
当有 50 名学生时，两种方案付款分别为，
y1=78x+500=78×50+500=4400，
y2=80x+400=80×50+400=4400，
选择第一种和第二种方案付款一样；
综上所述，当 x>50 时，选方案一，当 x<50 时，选方案二，当 x=50 时，两个方案一样．
21. （1） ∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF 即 BF=DE，
∵∠BCF=∠DAE，CF=AE，
∴△BCF≌△DCEHL，
∴∠CBD=∠ADB，BC=AD，
∴BC∥AD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
（2） 24．
22. （1） 设每辆A型车的利润为 x 元，B型车的利润为 x+50 元，
由题意可得方程：
4320x=2×3060x+50.
解得
x=120.
即A型车销售利润为 120 元，B型车为 170 元．
（2） 设该车行购进A型车 a 辆，则B型车为 100−a 辆，销售总利润为 w，
由题意得
100≥100−a≤2a.
即
100≥a≥1003.
w=−50a+17000.
当 a=34 时，销售总利润最大，为 15280 元．
23. （1） S1+S2=12S
【解析】S1+S2=12×AP⋅h1+12×DP⋅h2，
由平行四边形性质可知 h1=h2，
由图可知 AP+DP=AD，
所以 S1+S2=12h1⋅AP+DP=12⋅AD⋅h1，
S平行四边形ABCD=AD⋅h1=S，
∴S1+S2=12S．
（2） S1+S2=S2
【解析】由题意知 P 为 AC，BD 的中点，
∴S1+S2=S△PAB+S△PDC=12S△ABD+12S△BCD=12S△ABD+S△BCD=12S.
（3） S1+S2=S2．
证明：在图③中，设 ABCD 中 CD 边上的高为 h2，
△ABP 中，AB 边上高为 h3，△PCD 中 CD 边上高为 h4，
∵AB∥CD，
∴h3+h4=h2，
∴S△PAB+S△PCD=12AB⋅h3+12CD⋅h4=12ABh3+h4=12AB⋅h2=12S.，
即 S1+S2=12S．
（4） ∵S△PAB+S△PCD=12S=S△BCD，
S△PAB=2，S△PBC=8，
∴S△PBD=S四边形PBCD−S△BCD=S△PBC+S△PCD−S△BCD,
即 S△PBD=8+12S−2−12S=8−2=6．
24. （1） 如图（1），
∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又 ∠EAF=45∘，即 ∠DAF+∠BAE=∠EAF=45∘，
∴∠GAF=∠FAE，
在 △GAF 和 △EAF 中，
AG=AE,∠GAF=∠EAF,AF=AF,
∴△GAF≌△EAFSAS．
∴GF=EF．
又 DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
（2） ∠BAD=2∠EAF
【解析】如图（2）延长 CB 至 M，使 BM=DF，连接 AM，
∵∠ABC+∠D=180∘，∠ABC+∠ABM=180∘，
∴∠D=∠ABM，
在 △ABM 和 △ADF 中，
AB=AD,∠ABM=∠D,BM=DF,
∴△ABM≌△ADFSAS，
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在 △FAE 和 △MAE 中，
AE=AE,∠FAE=∠MAE,AF=AM,
∴△FAE≌△MAESAS，
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即 EF=BE+DF．
（3） 109
【解析】如图3，把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 150∘ 至 △ADG，连接 AF，过 A 作 AH⊥GD，垂足为点 H，
∵∠BAD=150∘，∠DAE=90∘，
∴∠BAE=60∘．
又 ∠B=60∘，
∴△ABE 是等边三角形，
∴BE=AB=80 米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60∘，
又 ∠ADF=120∘，
∴∠GDF=180∘，即点 G 在 CD 的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又 ∵AH=80×32=403，HF=HD+DF=40+403−1=403，
故 ∠HAF=45∘，
∴∠DAF=∠HAF−∠HAD=45∘−30∘=15∘，
从而 ∠EAF=∠EAD−∠DAF=90∘−15∘=75∘，
又 ∵∠BAD=150∘=2×75∘=2∠EAF，
∴ 根据上述推论有：EF=BE+DF=80+403−1≈109（米），
即这条道路 EF 的长约为 109 米．