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专题04 因动点产生的相似、全等问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）
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这是一份专题04 因动点产生的相似、全等问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版），共49页。
【类型综述】
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
【方法揭秘】
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．
求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．
如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？
我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．
图1
【典例分析】
例1 如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物
线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．
2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．
3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．
满分解答
图2 图3
（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．
所以EP＝FQ．所以yE－yP＝yF－yQ．
因为xP＝t，xQ＝3－t，所以yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．
因为yE－yP＝yF－yQ，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．
图4 图5
（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．
考点伸展
第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
图1 图2
思路点拨
1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．
3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．
4．直角三角形ACD存在两种情况．
满分解答
图3 图4 图5
（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F．
由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．
在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．
如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．
①如图4，当∠ACD＝90°时，．所以．解得m＝1．
此时，．所以．所以△CDA∽△OBC．
考点伸展
第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．
又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．
因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH
＝(－2x2－6x)＝．
例3如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
思路点拨
1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．
2．求△ABC的面积，一般用割补法．
3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．
满分解答
（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝，AC＝．
由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．
所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：
①如图3，当时，CE＝AD＝．
此时△ACD≌△CAE，相似比为1．
图3 图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．
一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．
如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．
由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．
例4 如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1 图2
思路点拨
1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．[来源:]
2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．
3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．
满分解答
图3 图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D．
在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．
当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．
所以，即．解得．
图5 图6
考点伸展
本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．
如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，．
如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1．
如图9，当⊙H与AC相切时，直径，
半径等于FC＝4．所以．
解得，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．
图7 图 8 图9 图10
例5如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
图2 图3
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例6如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．
满分解答
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为，由，得．
解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
由，得．所以．
由，得．
整理，得0＝16．此方程无解．
图2 图3 图4[来源:Z#xx#k.Com]
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
【变式训练】
1．如图，在四边形中，，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】分类讨论
①
设，则，，，，
②，设为，则，，，，，综上，为，，，则满足题意，有三个点.
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1㎝/s，连结PC、PD．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【解析】
考点：相似三角形的判定与性质．
3．已知：如图，在长方形ABCD中,AB=4，AD=6.延长BC到点E，使CE=2,连接DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为（ ）秒时，△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
【答案】C
【解析】
4．如图，在中，，点是边上一动点（不与、重合），，交于点，且，则线段的最大值为________．
【答案】
【解析】
过点A作AG⊥BC于G，
设BD=x，则CD=16-x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
∵∠C=∠B，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE=，
∴当x=8时，EC有最大值，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
5．如图， 中， , 分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.
【答案】3或8
【解析】试题解析：分为两种情况：①当AP=3时，
∵BC=3，
∴AP=BC，
∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，
∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
6．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点 （不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且 ．下列结论： ①△ADE∽△ACD； ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或； ④CD2=CE•CA． 其中正确的结论是________ （把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
7．如图，在中，，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过动点作交于点．若与相似，则________．
【答案】或
【解析】
∵∠BAC=90°，PD∥AB，
∴∠PDA=90°，
又∵∠C=60°，
∴∠APD=30°或60°时，△ABC与△DAP相似，
∴∠APD=30°或60°.
8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线，经过点.
(1)求抛物线的解析式
(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.
①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，
②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.
【答案】(1) ；(2) ①点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②
【解析】
(2) ①由题意可知，四边形是矩形，所以.
由(1)可知，
当时，最短，即最短，
此时点是的中点，
点的坐标为，点的坐标为
②当时(如图2)，则、关于抛物线的对称轴对称，
的坐标为，点的坐标为，，
当时(如图3)，则是等腰直角三角形，，
过点作于点，设点的坐标为，
，，，解得，
.
9．如图，抛物线与坐标轴交点分别为，，，作直线BC．
求抛物线的解析式；
点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；
条件同，若与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或
【解析】
设点P的坐标为，
，，
，
；
解得：或舍去，
，，
点P的坐标为，
综上所述点P的坐标为或
10．如图，抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点．
（）求抛物线的表达式．
（）如图，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或或或.
【解析】试题分析：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）2-1（a≠0），将点C的坐标代入即可得出答案；（2）由直线BC的解析式知，∠OBC=∠OCB=45°．又由题意知∠EFD=∠COB=90°，所以只有△EFD∽△COB，根据这种情况求点E的坐标即可．
试题解析：
（）该抛物线的顶点坐标为，所以该抛物线的解析式为，又该抛物线过点，代入得：
，解得，故该抛物线的解析式为+3．
如图，连接DF．
当x=2-时，y=-x+3=1+；
∴E1（2-，1+）、E2（2+，1-）．
∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x2-4x+3=x-1，解得 x1=1、x2=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E3（1，2）、E4（4，-1）．
∴综上，点E的坐标为（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于、两点，抛物线过、两点，点为线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
求抛物线的解析式．
求面积的最大值．
连接，是否存在点，使得和相似？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）．（2）存在点，使得和相似，点的坐标为或．
【解析】
如图，连接、过点作轴于点，
设点坐标为，则点坐标为，
则，，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，和相似
∴必为等腰直角三角形．
若，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，解得（不合题意，舍去）或，
∴；
若，则，
在等腰直角三角形中，，
12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.
【答案】（1），（-1,4） （2）(-2，3)，，
（3）(-4，-5)，(，)
【解析】
（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，
∴，解得，a=-1，b=-2，c=3，
∴抛物线解析式为，顶点C（-1,4）；
（3）①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，
∴，
分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N，
由△CQM∽△QPN，
得=2，
∵∠MCQ=45°，
设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，
∴P点坐标为(-m-1，4-3m)，
将点P坐标代入抛物线解析式，得，
解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去)
∴P点坐标为(-4，-5)；
②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，
∴，
13．抛物线过点和，点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP，在AP右侧作，且，点B经过矩形AOED的边DE所在的直线，设点P横坐标为t．
求抛物线解析式；
当点D落在抛物线上时，求点P的坐标；
若以A、B、D为顶点的三角形与相似，请直接写出此时t的值．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）；（3）当、时，以A、B、D为顶点的三角形与相似．
【解析】
解：由题意得，
解得．
故抛物线的解析式为：；
假设在抛物线上，有，
解得 或，
，
，
即当时，点D落在抛物线上．
当时，如图1，
若∽，
∽，
∽，
，即，化简得：，
解得：．
，
．
当时，如图2，
解得负根舍去．
∽，
∽，同理，此时t无解．
综合上述：当、时，以A、B、D为顶点的三角形与相似．
14．如图，已知抛物线的对称轴为直线，（ ），且经过、两点，与轴交于另一点，设是抛物线的对称轴上的一动点，且．
（）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（）求点的坐标．
（）探究坐标轴上是否存在点，使得、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出符合条件的点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）， ，
（）设经过点且与直线垂直的直线为直线，作轴，垂足为；
∵，
∴， ，
∴．
（）连接，则容易得出，又，可知，得符合条件的点为．
15．如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，－3），顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．
（2）点P是直线BC在y轴右侧部分图象上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△AOC相似，求符合条件的P点坐标．
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点Q是线段CD上的一动点，作直线QN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BQE＝∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．
【答案】 （1）y＝x2－2x－3,M（1，－4）;（2）P1（，－），P2（3，0）;（3）E（－10，0）．[来源:+网Z+X+X+K]
【解析】
（2）连接MC，作MF⊥y轴于点F，则点F坐标为（0，－4）．
∵MF＝1，CF＝－3－(－4)＝1，
∴MF＝CF，MC＝．
∴∠FCM＝∠FMC＝45°．
∵B（3，0），C（0，－3），∴OB＝OC＝3．
而∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴∠MCB＝180°－∠OCB－∠FCM＝90°．
由此可知，∠MCP＝90°，则点O与点C必为相似三角形对应点．
过点P作PH⊥y轴于H．
①若有△PCM∽△AOC，则有＝．
∴CP＝＝＝．
∵∠PCH＝45°，CP＝，
∴PH＝CH＝÷＝．
∴OH＝OC－CH＝3－＝．
∴P1（，－）；
（3）过点Q作QG⊥x轴于点G．
设点E的坐标为（n，0），Q的坐标为（m，－3）．
∵CD∥x轴，
∴D的纵坐标为－3．
把y＝－3代入y＝x2－2x－3，
∴x＝0或x＝2．
∴D（2，－3）．
∵B（3，0），
∴由勾股定理可求得：BD＝．
∵Q（m，－3），
∴QD＝2－m，CQ＝m（0≤m≤2）．
∵∠BQE＝∠BDC，∠EQC＋∠BQE＝∠BDC＋∠QBD，
∴∠EQC＝∠QBD．
又由抛物线的轴对称性可知：∠NCQ＝∠BDC，
∴△NCQ∽△QDB．
∴＝．
∴＝．
∴CN＝－(m2－2m)＝－(m－1)2＋．
∴当m＝1时，CN可取得最大值．此时Q的坐标为（1，－3）．
∴BQ2＝QD•EB，即13＝1×(3－n)，
∴n＝－10．
∴E的坐标为（－10，0）．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的抛物线经过点A（–3，0）、B（1，0）．
(1)求平移后的抛物线的表达式．
(2)设平移后的抛物线交y轴于点C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P，当BP与CP之和最小时，P点坐标是多少？
(3)若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）点P坐标为（﹣1，﹣2）；（3）点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．
【解析】
（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点C（0，﹣3），
则点C关于直线x=﹣1的对称点C′（﹣2，﹣3），
如图1，
连接B，C′，与直线x=﹣1的交点即为所求点P，
由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直线BC′解析式为y=x﹣1，
则，
解得，
所以点P坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）如图2，
∵∠BOD=135°，
∴点M只能在点D上方，
∵∠BOD=∠ODM=135°，
∴当或时，以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似，
①若，则，解得DM=2，
此时点M坐标为（﹣1，3）；
17．已知抛物线的图象经过点、，顶点为，与轴交于点．
求抛物线的解析式和顶点的坐标；
如图，为线段上一点，过点作轴平行线，交抛物线于点，当的面积最大时，求点的坐标；
如图，若点是直线上的动点，点、、所构成的三角形与相似，请直接写出所有点的坐标；
如图，过作轴于点，是轴上一动点，是线段上一点，若，则的最大值为________，最小值为________．
【答案】(1)抛物线解析式为y=−x2+2x+3，顶点坐标E(1,4).（2）P(,).（3）Q点坐标为(3,0),(−3,6), (,)，(−,).（4）m的最大值为5,最小值为−54.
【解析】
(1)∵抛物线y=−x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)、B(3,0)，
∴,
解得，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
顶点坐标E(1,4).
(2)如图1中，
∵−<0，
∴当a=时,△BDC的面积最大,此时P(,).
(3)如图2中，[来源:]
∵C(0,3),E(1,4),B(3,0)，
∴直线EC的解析式为y=x+3，直线BC的解析式为y=−x+3，
∵1×(−1)=−1，
∴EC⊥BC，
∴∠ECB=90〬，
(4)如图3中，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90〬，
则△MNF∽△NCH，
∴，
作EM⊥CE交x轴于点M,则∠FEM=45〬，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，此时m的值最大，
∴m⩽5，
∴m的最大值为5,最小值为−54，
18．如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标．
【答案】（1）， N（0，1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析，P（，4）或（﹣，4）．
【解析】
（3）解：同（2）设P（t，），则C（0，），PA=，PC=|t|，∵M（0，2），∴CM=﹣2=，在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = = ==PA，且四边形PMDA为平行四边形，∴四边形PMDA为菱形，∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴，∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，∴∠PDE=∠APM，且，∴△DPE∽△PAM；∵OA=|t|，OM=2，∴AM=，且PE=2PC=2|t|，当相似比为时，则=，即 =，解得t=或t=﹣，∴P点坐标为（，4）或（﹣，4）．[来源:ZXXK]
考点：二次函数综合题；压轴题．
19．如图1，抛物线 经过 ， 两点，与 轴相交于点 ，连接 ．点 为抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线 ，交直线 于点 ，交 轴于点 ．
Ⅰ 求抛物线的表达式；
Ⅱ 当 位于 轴右边的抛物线上运动时，过点 作 直线 ， 为垂足．当点 运动到何处时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似?并求出此时点 的坐标；
Ⅲ 如图2，当点 在位于直线 上方的抛物线上运动时，连接 ， ．请问 的面积 能否取得最大值?若能，请求出最大面积 ，并求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为 ;（2）点 的坐标为 或 ;（3）当 时， 的面积 能取最大值 ，此时 点坐标为 ．
（2） 点坐标为 ，
为等腰直角三角形，且 为直角．
， ， 为顶点的三角形与 相似，
为等腰直角三角形，
又 直线 ，
．
设 ，则 ，
．
，
，解得 或 ．
点 的坐标为 或 ．
20．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得
，
解得．
故抛物线的解析式为y=x2+2x；
（3）存在，
如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20，
∴BO2+CO2=BC2．
∴△BOC是直角三角形．
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
【解析】略
【类型综述】
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
【方法揭秘】
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．
求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．
如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？
我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．
图1
【典例分析】
例1 如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物
线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．
2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．
3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．
满分解答
图2 图3
（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．
所以EP＝FQ．所以yE－yP＝yF－yQ．
因为xP＝t，xQ＝3－t，所以yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．
因为yE－yP＝yF－yQ，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．
图4 图5
（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．
考点伸展
第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
图1 图2
思路点拨
1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．
3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．
4．直角三角形ACD存在两种情况．
满分解答
图3 图4 图5
（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F．
由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．
在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．
如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．
①如图4，当∠ACD＝90°时，．所以．解得m＝1．
此时，．所以．所以△CDA∽△OBC．
考点伸展
第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．
又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．
因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH
＝(－2x2－6x)＝．
例3如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
思路点拨
1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．
2．求△ABC的面积，一般用割补法．
3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．
满分解答
（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝，AC＝．
由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．
所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：
①如图3，当时，CE＝AD＝．
此时△ACD≌△CAE，相似比为1．
图3 图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．
一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．
如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．
由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．
例4 如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1 图2
思路点拨
1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．[来源:]
2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．
3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．
满分解答
图3 图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D．
在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．
当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．
所以，即．解得．
图5 图6
考点伸展
本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．
如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，．
如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1．
如图9，当⊙H与AC相切时，直径，
半径等于FC＝4．所以．
解得，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．
图7 图 8 图9 图10
例5如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
图2 图3
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例6如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．
满分解答
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为，由，得．
解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
由，得．所以．
由，得．
整理，得0＝16．此方程无解．
图2 图3 图4[来源:Z#xx#k.Com]
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
【变式训练】
1．如图，在四边形中，，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】分类讨论
①
设，则，，，，
②，设为，则，，，，，综上，为，，，则满足题意，有三个点.
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1㎝/s，连结PC、PD．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【解析】
考点：相似三角形的判定与性质．
3．已知：如图，在长方形ABCD中,AB=4，AD=6.延长BC到点E，使CE=2,连接DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为（ ）秒时，△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
【答案】C
【解析】
4．如图，在中，，点是边上一动点（不与、重合），，交于点，且，则线段的最大值为________．
【答案】
【解析】
过点A作AG⊥BC于G，
设BD=x，则CD=16-x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
∵∠C=∠B，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE=，
∴当x=8时，EC有最大值，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
5．如图， 中， , 分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.
【答案】3或8
【解析】试题解析：分为两种情况：①当AP=3时，
∵BC=3，
∴AP=BC，
∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，
∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
6．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点 （不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且 ．下列结论： ①△ADE∽△ACD； ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或； ④CD2=CE•CA． 其中正确的结论是________ （把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
7．如图，在中，，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过动点作交于点．若与相似，则________．
【答案】或
【解析】
∵∠BAC=90°，PD∥AB，
∴∠PDA=90°，
又∵∠C=60°，
∴∠APD=30°或60°时，△ABC与△DAP相似，
∴∠APD=30°或60°.
8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线，经过点.
(1)求抛物线的解析式
(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.
①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，
②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.
【答案】(1) ；(2) ①点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②
【解析】
(2) ①由题意可知，四边形是矩形，所以.
由(1)可知，
当时，最短，即最短，
此时点是的中点，
点的坐标为，点的坐标为
②当时(如图2)，则、关于抛物线的对称轴对称，
的坐标为，点的坐标为，，
当时(如图3)，则是等腰直角三角形，，
过点作于点，设点的坐标为，
，，，解得，
.
9．如图，抛物线与坐标轴交点分别为，，，作直线BC．
求抛物线的解析式；
点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；
条件同，若与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或
【解析】
设点P的坐标为，
，，
，
；
解得：或舍去，
，，
点P的坐标为，
综上所述点P的坐标为或
10．如图，抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点．
（）求抛物线的表达式．
（）如图，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或或或.
【解析】试题分析：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）2-1（a≠0），将点C的坐标代入即可得出答案；（2）由直线BC的解析式知，∠OBC=∠OCB=45°．又由题意知∠EFD=∠COB=90°，所以只有△EFD∽△COB，根据这种情况求点E的坐标即可．
试题解析：
（）该抛物线的顶点坐标为，所以该抛物线的解析式为，又该抛物线过点，代入得：
，解得，故该抛物线的解析式为+3．
如图，连接DF．
当x=2-时，y=-x+3=1+；
∴E1（2-，1+）、E2（2+，1-）．
∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x2-4x+3=x-1，解得 x1=1、x2=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E3（1，2）、E4（4，-1）．
∴综上，点E的坐标为（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于、两点，抛物线过、两点，点为线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
求抛物线的解析式．
求面积的最大值．
连接，是否存在点，使得和相似？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）．（2）存在点，使得和相似，点的坐标为或．
【解析】
如图，连接、过点作轴于点，
设点坐标为，则点坐标为，
则，，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，和相似
∴必为等腰直角三角形．
若，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，解得（不合题意，舍去）或，
∴；
若，则，
在等腰直角三角形中，，
12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.
【答案】（1），（-1,4） （2）(-2，3)，，
（3）(-4，-5)，(，)
【解析】
（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，
∴，解得，a=-1，b=-2，c=3，
∴抛物线解析式为，顶点C（-1,4）；
（3）①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，
∴，
分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N，
由△CQM∽△QPN，
得=2，
∵∠MCQ=45°，
设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，
∴P点坐标为(-m-1，4-3m)，
将点P坐标代入抛物线解析式，得，
解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去)
∴P点坐标为(-4，-5)；
②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，
∴，
13．抛物线过点和，点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP，在AP右侧作，且，点B经过矩形AOED的边DE所在的直线，设点P横坐标为t．
求抛物线解析式；
当点D落在抛物线上时，求点P的坐标；
若以A、B、D为顶点的三角形与相似，请直接写出此时t的值．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）；（3）当、时，以A、B、D为顶点的三角形与相似．
【解析】
解：由题意得，
解得．
故抛物线的解析式为：；
假设在抛物线上，有，
解得 或，
，
，
即当时，点D落在抛物线上．
当时，如图1，
若∽，
∽，
∽，
，即，化简得：，
解得：．
，
．
当时，如图2，
解得负根舍去．
∽，
∽，同理，此时t无解．
综合上述：当、时，以A、B、D为顶点的三角形与相似．
14．如图，已知抛物线的对称轴为直线，（ ），且经过、两点，与轴交于另一点，设是抛物线的对称轴上的一动点，且．
（）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（）求点的坐标．
（）探究坐标轴上是否存在点，使得、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出符合条件的点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）， ，
（）设经过点且与直线垂直的直线为直线，作轴，垂足为；
∵，
∴， ，
∴．
（）连接，则容易得出，又，可知，得符合条件的点为．
15．如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，－3），顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．
（2）点P是直线BC在y轴右侧部分图象上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△AOC相似，求符合条件的P点坐标．
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点Q是线段CD上的一动点，作直线QN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BQE＝∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．
【答案】 （1）y＝x2－2x－3,M（1，－4）;（2）P1（，－），P2（3，0）;（3）E（－10，0）．[来源:+网Z+X+X+K]
【解析】
（2）连接MC，作MF⊥y轴于点F，则点F坐标为（0，－4）．
∵MF＝1，CF＝－3－(－4)＝1，
∴MF＝CF，MC＝．
∴∠FCM＝∠FMC＝45°．
∵B（3，0），C（0，－3），∴OB＝OC＝3．
而∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴∠MCB＝180°－∠OCB－∠FCM＝90°．
由此可知，∠MCP＝90°，则点O与点C必为相似三角形对应点．
过点P作PH⊥y轴于H．
①若有△PCM∽△AOC，则有＝．
∴CP＝＝＝．
∵∠PCH＝45°，CP＝，
∴PH＝CH＝÷＝．
∴OH＝OC－CH＝3－＝．
∴P1（，－）；
（3）过点Q作QG⊥x轴于点G．
设点E的坐标为（n，0），Q的坐标为（m，－3）．
∵CD∥x轴，
∴D的纵坐标为－3．
把y＝－3代入y＝x2－2x－3，
∴x＝0或x＝2．
∴D（2，－3）．
∵B（3，0），
∴由勾股定理可求得：BD＝．
∵Q（m，－3），
∴QD＝2－m，CQ＝m（0≤m≤2）．
∵∠BQE＝∠BDC，∠EQC＋∠BQE＝∠BDC＋∠QBD，
∴∠EQC＝∠QBD．
又由抛物线的轴对称性可知：∠NCQ＝∠BDC，
∴△NCQ∽△QDB．
∴＝．
∴＝．
∴CN＝－(m2－2m)＝－(m－1)2＋．
∴当m＝1时，CN可取得最大值．此时Q的坐标为（1，－3）．
∴BQ2＝QD•EB，即13＝1×(3－n)，
∴n＝－10．
∴E的坐标为（－10，0）．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的抛物线经过点A（–3，0）、B（1，0）．
(1)求平移后的抛物线的表达式．
(2)设平移后的抛物线交y轴于点C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P，当BP与CP之和最小时，P点坐标是多少？
(3)若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）点P坐标为（﹣1，﹣2）；（3）点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．
【解析】
（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点C（0，﹣3），
则点C关于直线x=﹣1的对称点C′（﹣2，﹣3），
如图1，
连接B，C′，与直线x=﹣1的交点即为所求点P，
由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直线BC′解析式为y=x﹣1，
则，
解得，
所以点P坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）如图2，
∵∠BOD=135°，
∴点M只能在点D上方，
∵∠BOD=∠ODM=135°，
∴当或时，以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似，
①若，则，解得DM=2，
此时点M坐标为（﹣1，3）；
17．已知抛物线的图象经过点、，顶点为，与轴交于点．
求抛物线的解析式和顶点的坐标；
如图，为线段上一点，过点作轴平行线，交抛物线于点，当的面积最大时，求点的坐标；
如图，若点是直线上的动点，点、、所构成的三角形与相似，请直接写出所有点的坐标；
如图，过作轴于点，是轴上一动点，是线段上一点，若，则的最大值为________，最小值为________．
【答案】(1)抛物线解析式为y=−x2+2x+3，顶点坐标E(1,4).（2）P(,).（3）Q点坐标为(3,0),(−3,6), (,)，(−,).（4）m的最大值为5,最小值为−54.
【解析】
(1)∵抛物线y=−x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)、B(3,0)，
∴,
解得，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
顶点坐标E(1,4).
(2)如图1中，
∵−<0，
∴当a=时,△BDC的面积最大,此时P(,).
(3)如图2中，[来源:]
∵C(0,3),E(1,4),B(3,0)，
∴直线EC的解析式为y=x+3，直线BC的解析式为y=−x+3，
∵1×(−1)=−1，
∴EC⊥BC，
∴∠ECB=90〬，
(4)如图3中，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90〬，
则△MNF∽△NCH，
∴，
作EM⊥CE交x轴于点M,则∠FEM=45〬，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，此时m的值最大，
∴m⩽5，
∴m的最大值为5,最小值为−54，
18．如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标．
【答案】（1）， N（0，1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析，P（，4）或（﹣，4）．
【解析】
（3）解：同（2）设P（t，），则C（0，），PA=，PC=|t|，∵M（0，2），∴CM=﹣2=，在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = = ==PA，且四边形PMDA为平行四边形，∴四边形PMDA为菱形，∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴，∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，∴∠PDE=∠APM，且，∴△DPE∽△PAM；∵OA=|t|，OM=2，∴AM=，且PE=2PC=2|t|，当相似比为时，则=，即 =，解得t=或t=﹣，∴P点坐标为（，4）或（﹣，4）．[来源:ZXXK]
考点：二次函数综合题；压轴题．
19．如图1，抛物线 经过 ， 两点，与 轴相交于点 ，连接 ．点 为抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线 ，交直线 于点 ，交 轴于点 ．
Ⅰ 求抛物线的表达式；
Ⅱ 当 位于 轴右边的抛物线上运动时，过点 作 直线 ， 为垂足．当点 运动到何处时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似?并求出此时点 的坐标；
Ⅲ 如图2，当点 在位于直线 上方的抛物线上运动时，连接 ， ．请问 的面积 能否取得最大值?若能，请求出最大面积 ，并求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为 ;（2）点 的坐标为 或 ;（3）当 时， 的面积 能取最大值 ，此时 点坐标为 ．
（2） 点坐标为 ，
为等腰直角三角形，且 为直角．
， ， 为顶点的三角形与 相似，
为等腰直角三角形，
又 直线 ，
．
设 ，则 ，
．
，
，解得 或 ．
点 的坐标为 或 ．
20．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得
，
解得．
故抛物线的解析式为y=x2+2x；
（3）存在，
如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20，
∴BO2+CO2=BC2．
∴△BOC是直角三角形．
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
【解析】略
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