2018_2019学年广东省深圳市南山区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018_2019学年广东省深圳市南山区九上期末数学试卷（一模），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如图所示的工件，其俯视图是
A. B.
C. D.

2. 当 x>0 时，函数 y=−5x 的图象在
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限

3. 如果 ab=cd，那么下列等式中不一定成立的是
A. a+bb=c+ddB. a+cb+d=abC. a2b2=c2d2D. ad=bc

4. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是
A. 邻边相等B. 四个角都是直角
C. 对角线相等D. 对角线互相平分

5. 下列说法正确的是
A. 菱形都是相似图形
B. 各边对应成比例的多边形是相似多边形
C. 等边三角形都是相似三角形
D. 矩形都是相似图形

6. 某学校要种植一块面积为 100 m2 的长方形草坪，要求两边长均不小于 5 m，则草坪的一边长为 y（单位：m）随另一边长 x（单位：m）的变化而变化的图象可能是
A. B.
C. D.

7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1892 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为
A. xx+1=1892B. xx−1=1892×2
C. xx−1=1892D. 2xx+1=1892

8. 如图，△ABC 中，DE∥BC，BE 与 CD 交于点 O，AO 与 DE，BC 交于 N，M，则下列式子中错误的是
A. DNBM=ADABB. ADAB=DEBCC. DOOC=DEBCD. AEEC=AOOM

9. 如图，菱形 ABCD 的周长为 16，∠ABC=120∘，则 AC 的长为
A. 43B. 4C. 23D. 2

10. 已知：线段 AB，BC，∠ABC=90∘．求作：矩形 ABCD．
甲：（1）以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧．
（2）以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧．
（3）两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD，CD，则四边形 ABCD 即为所求（如图 ①）．
乙：（1）连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M．
（2）连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D，使 MD=MB，连接 AD，CD，则四边形 ABCD 即为所求（如图 ②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是
A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对

11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y1=2x−2 与坐标轴交于 A，B 两点，与双曲线 y2=kxx>0 交于点 C，过点 C 作 CD⊥x 轴，且 OA=AD，则以下结论错误的是
A. 当 x>0 时，y1 随 x 的增大而增大，y2 随 x 的增大而减小
B. k=4
C. 当 0D. 当 x=4 时，EF=4

12. 如图，已知在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=6，点 E 从点 D 出发，沿 DA 方向以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，点 F 从点 B 出发，沿射线 AB 以每秒 3 个单位的速度运动，当点 E 运动到点 A 时，E，F 两点停止运动．连接 BD，过点 E 作 EH⊥BD，垂足为 H，连接 EF，交 BD 于点 G，交 BC 于点 M，连接 CF．给出下列结论：
① △CDE∽△CBF；
② ∠DBC=∠EFC；
③ DEAB=HGEH；
④ GH 的值为定值 105．
上述结论中正确的个数为 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为 ．

14. 如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是点 O，OEOA=35，则 S四边形EFGHS四边形ABCD= ．

15. 点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC>BC），AB=2，则 AC= ．（用根号表示）

16. 如图，函数 y=x 与 y=4x 的图象相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作 x 轴垂线，垂足分别为点 C 、 D，则四边形 ACBD 的面积为 .

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解下列方程．
（1）x2+2x−1=0；
（2）x2x+3=4x+6．

18. 某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100 m，200 m，1000 m（分别用 A1，A2，A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1，T2 表示）．
（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；
（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为 ．

19. 如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段 AB 表示站在广场上的小亮，线段 PO 表示直立在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高 PO=12 m，小亮的身高 AB=1.6 m，小亮与灯杆的距离 BO=13 m，请求出小亮影子的长度．

20. 苏宁电器销售某种冰箱，每台的进货价为 2600 元，调查发现，当销售价为 3000 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 100 元时，平均每天就能多售出 8 台．商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元?

21. 如图，已知正方形 ABCD，E 是 AB 延长线上一点，F 是 DC 延长线上一点，且满足 BF=EF，将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转 90∘ 得 FG，过点 B 作 FG 的平行线，交 DA 的延长线于点 N，连接 NG．
（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形 BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．

22. 如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是 Rt△ABC 和 Rt△BED 边长，易知 AE=2c，这时我们把关于 x 的形如 ax2+2cx+b=0 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0 必有实数根；
（3）若 x=−1 是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 62，求 △ABC 的面积．

23. 如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“ V 形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图 2，双曲线 y=kx 与新函数的图象交于点 C1,a，点 D 是线段 AC 上一动点（不包括端点），过点 D 作 x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 E，与双曲线交于点 P．
①试求 △PAD 的面积的最大值；
②探索：在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 能否为平行四边形?若能，求出此时点 D 的坐标；若不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. B【解析】A、正确，∵ab=cd，∴ab+1=cd+1，∴a+bb=c+dd；
B、错误，b+d=0 时，不成立；
C、正确．
D、正确．∵ab=cd，∴ad=bc．
4. D【解析】A、矩形的邻边不相等，故选项错误，
B、菱形的四个角不是直角，故选项错误，
C、菱形的对角线不相等，故选项错误，
D、三个图形中，对角线都互相平分，故选项正确．
5. C
【解析】A、菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误．
B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；
C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；
D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误．
6. C【解析】∵ 草坪面积为 100 m2，
∴x，y 存在关系 y=100x，
∵ 两边长均不小于 5 m，
∴x≥5，y≥5，则 x≤20．
7. C【解析】∵ 全班有 x 名同学，
∴ 每名同学要送出 x−1 张；
又 ∵ 是互送照片，
∴ 总共送的张数应该是 xx−1=1892．
8. D【解析】因为 DE∥BC，
所以 △ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，
所以 DNBM=ADAB，ADAB=DEBC，DOOC=DEBC，
所以A，B，C正确；
因为 DE∥BC，
所以 △AEN∽△ACM，
所以 AEAC=ANAM，
所以 AEEC=ANNM，
所以D错误．
9. A【解析】如图，
在菱形 ABCD 中，
∵∠ABC=120∘，
∴∠ABE=60∘，AC⊥BD，
∵ 菱形 ABCD 的周长为 16，
∴AB=4，
在 Rt△ABE 中，AE=AB⋅sin∠ABE=4×32=23，
故可得 AC=2AE=43．
10. A
11. D【解析】A．从图象可知：当 x>0 时，y1 随 x 的增大而增大，y2 随 x 的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．y1=2x−2，当 y=0 时，x=1，即 OA=1，
∵OA=AD，∴OD=2，
把 x=2 代入 y=2x−2 得：y=2，即点 C 的坐标是 2,2，
把 C 的坐标代入双曲线 y2=kxx>0 得：k=4，故本选项不符合题意；
C．根据图象可知：当 0D．当 x=4 时，y1=2×4−2=6，y2=44=1，
∴EF=6−1=5，故本选项符合题意．
12. C【解析】作 CN⊥BD，连接 AC．
设运动时间为 t．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90∘，
∵DCBC=26=13，DEBF=t3t=13，
∴DCBC=DEBF，
∵∠CDE=∠FBC=90∘，
∴△CDE∽△CBF，故①正确，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DCE+∠BCE=90∘
∴∠BCE+∠BCF=90∘，
∴∠ECD=90∘，
∵ECCF=DCBC，
∴ECDC=CFBC，
∵∠DCB=∠ECF，
∴△DCB∽△ECF，
∴∠DBC=∠EFC，故②正确，
∴∠CDB=∠CEF，
∵∠CDB+∠DCN=90∘，∠DCN+∠NCB=90∘，
∴∠CDB=∠NCB=∠CEF，
∵CN⊥BD，EH⊥DB，
∴CN∥EH，
∴∠NCE=∠CEH，
∴∠ECB=∠HEG，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠HEG，
∵∠EDC=∠EHG=90∘，
∴△EDC∽△EHG，
∴EDEH=DCHG，
∵AB=DC，
∴EDAB=EHHG，故③错误，
∵AD=BC=6，AB=2，
∴BD=AD2+AB2=210，
∵∠EDH=∠ADB，∠EHD=∠DAB，
∴△DEH∽△DBA，
∴EDDB=EHAB，
∴t210=EH2，
∴EH=1010t，
∵EDAB=EHHG，
∴t2=10t10HG，
∴HG=105，故④正确．
综上所述，①②④正确．
第二部分
13. 0.600
14. 925
【解析】∵ 四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是点 O，
∴EFAB=OEOA=35，则 S四边形EFGHS四边形ABCD=EFAB2=352=925．
15. −1+5
【解析】∵AC>BC，AB=2，
∴BC=AB−AC=2−AC，
∵ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，
∴AC2=AB⋅BC，
∴AC2=22−AC，
整理得，AC2+2AC−4=0，
解得 AC=−1+5，AC=−1−5（舍去）．
16. 8
【解析】设 A 的坐标是 m,n，则 B 的坐标是 −m,−n，mn=4
则 AC=n，CD=2 m．
则四边形 ACBD 的面积 =AC⋅CD=2mn=8．
第三部分
17. （1）
x2+2x=1.∴x+12=2.∴x+1=±2.x1=−1+2,x2=−1−2.
（2）
x2x+3−22x+3=0.∴2x+3x−2=0.∴x1=−32,x2=2.
18. （1） 25
（2） 画树状图为：
共有 20 种等可能的结果，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为 12，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1=1220=35．
（3） 310
19. （1） 连接 PA 并延长交地面于点 C，
线段 BC 就是小亮在照明灯（P）照射下的影子．
（2） 在 △CAB 和 △CPO 中，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90∘，
∴△CAB∽△CPO，
∴ABPO=CBCO，
∴1.612=CB13+BC，
∴BC=2 m，
∴ 小亮影子的长度为 2 m．
20. 设每台冰箱的定价应为 x 元，依题意得
x−26008+3000−x100×8=5000,
解方程得
x1=x2=2850,
经检验 x1=x2=2850 符合题意．
答：每台冰箱的定价应为 2850 元．
21. （1） 如图，过 F 作 FH⊥BE，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90∘，
∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90∘，
∴ 四边形 BCFH 为矩形，
∴BH=CF，
又 ∵BF=EF，
∴BE=2BH，
∴BE=2CF．
（2） 四边形 BFGN 为菱形，证明如下：
∵FG⊥EF，MN∥FG，
∴MN⊥EF，
∴∠E+∠EBM=90∘，且 ∠EBM=∠ABN，
∴∠ABN+∠E=90∘，
∵BF=EF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠ABN+∠EBF=90∘，
又 ∵∠EBC=90∘，
∴∠CBF+∠EBF=90∘，
∴∠ABN=∠CBF，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90∘，
在 △ABN 和 △CBF 中，
∠ABN=∠CBF,AB=BC,∠NAB=∠BCF,
∴△ABN≌△CBFASA，
∴BF=BN，
又由旋转可得 EF=FG=BF，
∴BN=FG，
∵∠GFM=∠BME=90∘，
∴BN∥FG，
∴ 四边形 BFGN 为菱形．
22. （1） 当 a=3，b=4，c=5 时，勾系一元二次方程为 3x2+52x+4=0．
（2） 根据题意，得 b2−4ac=2c2−4ab=2c2−4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2−4ab=2a2+b2−4ab=2a−b2≥0，即 b2−4ac≥0．
∴ 勾系一元二次方程 ax2+2cx+b=0 必有实数根．
（3） 当 x=−1 时，有 a−2c+b=0，即 a+b=2c．
∵2a+2b+2c=62，即 2a+b+2c=62．
∴32c=62，
∴c=2，
∴a2+b2=c2=4，a+b=22．
∵a+b2=a2+b2+2ab，
∴ab=2，
∴S△ABC=12ab=1．
23. （1） 如图 1，新函数的两条性质：
（i）函数的最小值为 0；
（ii）函数图象的对称轴为直线 x=−3；
由题意得 A 点坐标为 −3,0．
分两种情况：
① x≥−3 时，显然 y=x+3；
②当 x<−3 时，设其解析式为 y=kx+b．
在直线 y=x+3 中，当 x=−4 时，y=−1，
则点 −4,−1 关于 x 轴的对称点为 −4,1．
把 −4,1，−3,0 代入 y=kx+b，
得 −4k+b=1,−3k+b=0,
解得 k=−1,b=−3,
∴y=−x−3．
综上所述，新函数的解析式为 y=x+3x≥−3,−x−3x<−3.
（2） 如图 2，
① ∵ 点 C1,a 在直线 y=x+3 上，
∴a=1+3=4．
∵ 点 C1,4 在双曲线 y=kx 上，
∴k=1×4=4，y=4x．
∵ 点 D 是线段 AC 上一动点（不包括端点），
∴ 可设点 D 的坐标为 m,m+3，且 −3 ∵DP∥x 轴，且点 P 在双曲线上，
∴P4m+3,m+3，
∴PD=4m+3−m，
∴△PAD 的面积为
S=124m+3−m×m+3=−12m2−32m+2=−12m+322+258．
∵a=−12<0，
∴ 当 m=−32 时，S 有最大值为 258．
∵−3<−32<1，
∴△PAD 的面积的最大值为 258；
②在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 不能为平行四边形．理由如下：
当点 D 为 AC 的中点时，其坐标为 −1,2，此时 P 点的坐标为 2,2，E 点的坐标为 −5,2，
∵DP=3，DE=4，
∴EP 与 AC 不能互相平分，
∴ 四边形 PAEC 不能为平行四边形．