2018_2019学年山东省济南市槐荫区七下期末数学试卷

这是一份2018_2019学年山东省济南市槐荫区七下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下面图形分别表示低碳、节水、节能和绿色食品四个标志，其中的轴对称图形是
A. B.
C. D.

2. 下列各运算中，计算正确的是
A. x−22=x2−4B. 3a23=9a6
C. x6÷x2=x3D. x3⋅x2=x5

3. 用科学记数法表示 0.0000084 为
A. 8.4×10−6B. 8.4×10−5C. −8.4×10−6D. 8.4×106

4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 ∠1 等于
A. 120∘B. 105∘C. 60∘D. 45∘

5. 三角形中，到三个顶点距离相等的点是
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点

6. 如图，从边长为 a+3 的正方形纸片中剪去一个边长为 3 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是
A. a+3B. a+6C. 2a+3D. 2a+6

7. 如图，在 △ABC 中，∠B=32∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，若 DE 垂直平分 AB，则 ∠C 的度数为
A. 90∘B. 84∘C. 64∘D. 58∘

8. 若等腰三角形的腰上的高与另一腰上的夹角为 56∘，则该等腰三角形的顶角的度数为
A. 56∘B. 34∘C. 34∘ 或 146∘D. 56∘ 或 34∘

9. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 ABCD 是一个筝形，其中 AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：① AC⊥BD；② AO=CO=12AC；③ △ABD≌△CBD；④四边形 ABCD 的面积 =12AC×BD．其中正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 如图，在四边形 ABCD 中 AC，BD 为对角线，AB=BC=AC=BD，则 ∠ADC 的大小为
A. 120∘B. 135∘C. 145∘D. 150∘

11. 如图所示的 4×4 正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=
A. 330∘B. 315∘C. 310∘D. 320∘

12. 把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：2，4,6,8，10,12,14,16,18，20,22,24,26,28,30,32，⋯，现用等式 AM=i,j 表示正偶数 M 是第 i 组第 j 个数（从左往右数），如 A8=2,3，则 A2018=
A. 32,25B. 32,48C. 45,39D. 45,77

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 在 △ABC 中，若 ∠A:∠B:∠C=2:3:5，这个三角形为 三角形（按角分类）．

14. 已知 a−b=5，ab=−4，则 a2+b2= ．

15. 如图，要测量河两岸相对两点 A，B 间的距离，先在过点 B 的 AB 的垂线上取两点 C，D，使 CD=BC，再在过点 D 的垂线上取点 E，使 A，C，E 三点在一条直线上，可证明 △EDC≌△ABC，所以测得 ED 的长就是 A，B 两点间的距离，这里判定 △EDC≌△ABC 的理由是 ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，AB=15，则 △ABD 的面积是 ．

17. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图 1 、图 2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项．把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 3x+2y=19,x+4y=23. 类似地，图 2 所示的算筹图我们可以表述为 ．

18. 如图，下列 4 个三角形中，均有 AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 解二元一次方程组：5x+y=2,x−3y=4.

20. 先化简，再求值：xy−2xy+2−2x2y2+4÷xy，其中 x=4，y=−12．

21. 如图，EB∥DC，∠C=∠E，请证明 ∠A=∠EDA．

22. 已知：如图，∠DCE=90∘，CD=CE，AD⊥AC 于 A，BE⊥AC 于 B．求证：AB+AD=BE．

23. 为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用 3300 元购进甲、乙两种节能灯共计 100 只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如表：
进价元/只售价元/只甲种节能灯3040乙种节能灯3550
（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只?
（2）全部售完 100 只节能灯后，商场共计获利多少元?

24. 如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与 △ABC 关于直线 l 成轴对称的 △AʹBʹCʹ；
（2）求 △ABC 的面积；
（3）在直线 l 上找一点 P（在答题纸上图中标出），使 PB+PC 的长最小．

25. 如图所示，在等边 △ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F．
（1）求 ∠F 的大小；
（2）若 CD=3，求 DF 的长．

26. 如图 1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD，BE 相交于点 M，连接 CM．
（1）求证：BE=AD；
（2）求 ∠AMB 的度数（用含 α 的式子表示）；
（3）如图 2，当 α=90∘ 时，点 P，Q 分别为 AD，BE 的中点，分别连接 CP，CQ，PQ，判断 △CPQ 的形状，并加以证明．

27. 如图，△ABC 中，AB=BC=AC=12，现有两点 M，N 分别从点 A，点 B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M 的速度为每秒 1 个单位长度，点 N 的运度为每秒 2 个单位长度．当点 M 第一次到达 B 点时，M，N 同时停止运动．
（1）点 M，N 运动几秒后，M，N 两点重合?
（2）点 M，N 运动几秒后，可得到等边三角形 △AMN?
（3）当点 M，N 在 BC 边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰 △AMN?如存在，请求出此时 M，N 运动的时间．
答案
第一部分
1. D【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
2. D【解析】A．原式=x2−4x+4，故A错误；
B．原式=27a6，故B错误；
C．原式=x4，故C错误．
3. A【解析】0.0000084=8.4×10−6．
4. B【解析】如图，
∠2=90∘−45∘=45∘，
由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60∘=45∘+60∘=105∘．
5. D
【解析】根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可以判断：三角形中，到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
6. B【解析】长方形的另一边长是：a+3+3=a+6．
7. B【解析】∵DE 垂直平分 AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=32∘，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=32∘，
∴∠C=180∘−32∘−32∘−32∘=84∘．
8. C【解析】①当为锐角三角形时，如图 1，
∵∠ABD=56∘，BD⊥AC，
∴∠A=90∘−56∘=34∘，
∴ 三角形的顶角为 34∘；
②当为钝角三角形时，如图 2，
∵∠ABD=56∘，BD⊥AC，
∴∠BAD=90∘−56∘=34∘，
∵∠BAD+∠BAC=180∘，
∴∠BAC=146∘，
∴ 三角形的顶角为 146∘．
9. D【解析】在 △ABD 与 △CBD 中，
AD=CD,AB=BC,DB=DB,
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在 △AOD 与 △COD 中，
AD=CD,∠ADB=∠CDB,OD=OD,
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90∘，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
四边形 ABCD 的面积 =S△ADB+S△BDC=12DB×OA+12DB×OC=12AC⋅BD，
故④正确．
10. D
【解析】∵AB=BC=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60∘，
∵AB=BC=BD，
∴∠ADB=12180∘−∠ABD，∠BDC=12180∘−∠CBD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=12180∘−∠ABD+12180∘−∠CBD=12180∘+180∘−∠ABD−∠CBD=12360∘−∠ABC=180∘−12×60∘=150∘.
11. B【解析】由图中可知：
① ∠4=12×90∘=45∘，
② ∠1 和 ∠7 的余角所在的三角形全等，
∴∠1+∠7=90∘，
同理 ∠2+∠6=90∘，∠3+∠5=90∘，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90∘+45∘=315∘．
12. B【解析】2018 是第 1009 个数，设 2018 在第 n 组，
则 1+3+5+7+2n−1=12×2n×n=n2，
当 n=31 时，n2=961，
当 n=32 时，n2=1024，
故第 1009 个数在第 32 组，
第 32 组第一个数是 961×2+2=1924，
则 2018 是第 2018−19242+1=48 个数，
故 A2018=32,48．
第二部分
13. 直角
【解析】∵∠C=180∘×52+3+5=90∘，
∴△ABC 是直角三角形．
14. 17
【解析】∵a−b=5，ab=−4，
∴a−b2=25，
则 a2−2ab+b2=25，
故 a2+b2=25+2ab=25−8=17．
15. ASA
【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABD=∠EDC=90∘，
在 △EDC 和 △ABC 中，
∠ABC=∠EDC,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
∴△EDC≌△ABCASA．
16. 30
【解析】作 DE⊥AB 于 E，
由基本尺规作图可知，AD 是 △ABC 的角平分线，
∵∠C=90∘，DE⊥AB，
∴DE=DC=4，
∴△ABD 的面积 =12×AB×DE=30．
17. 2x+y=11,4x+3y=27
【解析】第一个方程 x 的系数为 2，y 的系数为 1，相加的结果为 11；
第二个方程 x 的系数为 4，y 的系数为 3，相加的结果为 27，
∴ 可列方程组为 2x+y=11,4x+3y=27.
18. ②
【解析】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36∘，36∘，108∘ 和 36∘，72∘，72∘，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为 36∘，72∘，72∘ 和 36∘，36∘，108∘，能．
第三部分
19.
5x+y=2, ⋯⋯①x−3y=4. ⋯⋯②
由 ①×3+② 得：
16x=10,
解得
x=58, ⋯⋯③
把 ③ 代入 ② 解得：
y=−98.
故原方程组的解是：
x=58,y=−98.
20. xy−2xy+2−2x2y2+4÷xy=x2y2−4−2x2y2+4÷xy=−x2y2÷xy=−xy.
当 x=4，y=−12 时，原式=−4×−12=2.
21. ∵EB∥DC，
∴∠C=∠ABE（两直线平行，同位角相等），
∵∠C=∠E，
∴∠ABE=∠E，
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠ADE．
22. ∵∠ECB+∠DCA=90∘，∠DCA+∠D=90∘，
∴∠ECB=∠D，
在 △ECB 和 △CDA 中，
∠ECB=∠D,∠EBC=∠A=90∘,CE=CD,
∴△ECB≌△CDAAAS，
∴BC=AD，BE=AC，
∴AD+AB=AB+BC=AC=BE．
23. （1） 设商场购进甲种节能灯 x 只，购进乙种节能灯 y 只，
根据题意得：
30x+35y=3300,x+y=100,
解得：
x=40,y=60.
答：商场购进甲种节能灯 40 只，购进乙种节能灯 60 只．
（2） 40×40−30+60×50−35=1300（元）．
答：商场共计获利 1300 元．
24. （1） 如图所示：
（2） △ABC 的面积 =2×4−2×2×12−2×1×12−1×4×12=3．
（3） 如图所示，点 P 即为所求．
25. （1） ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=60∘，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60∘，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90∘，
∴∠F=90∘−∠EDC=30∘．
（2） ∵∠ACB=60∘，∠EDC=60∘，
∴△EDC 是等边三角形．
∴ED=DC=3，
∵∠DEF=90∘，∠F=30∘，
∴DF=2DE=6．
26. （1） 如图 1，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ACD 和 △BCE 中，
CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCESAS．
∴BE=AD．
（2） 如图 1，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC 中，∠BAC+∠ABC=180∘−α，
∴∠BAM+∠ABM=180∘−α，
∴△ABM 中，∠AMB=180∘−180∘−α=α．
（3） △CPQ 为等腰直角三角形．
证明：如图 2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD，BE 的中点分别为点 P，Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在 △ACP 和 △BCQ 中，
CA=CB,∠CAP=∠CBQ,AP=BQ,
∴△ACP≌△BCQSAS，
∴CP=CQ，且 ∠ACP=∠BCQ，
又 ∵∠ACP+∠PCB=90∘，
∴∠BCQ+∠PCB=90∘，
∴∠PCQ=90∘，
∴△CPQ 为等腰直角三角形．
27. （1） 设点 M，N 运动 x 秒后，M，N 两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12；
∴ 点 M，N 运动 12 秒后，M，N 两点重合．
（2） 设点 M，N 运动 t 秒后，可得到等边三角形 △AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB−BN=12−2t，
∵ 三角形 △AMN 是等边三角形，
∴t=12−2t，
解得 t=4，
∴ 点 M，N 运动 4 秒后，可得到等边三角形 △AMN．
（3） 当点 M，N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三角形，由（1）知 12 秒时 M，N 两点重合，恰好在 C 处，
如图②，
假设 △AMN 是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB 是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在 △ACM 和 △ABN 中，
∵AC=AB,∠C=∠B,∠AMC=∠ANB,
∴△ACM≌△ABN，
∴CM=BN，
设当点 M，N 在 BC 边上运动时，M，N 运动的时间 y 秒时，△AMN 是等腰三角形，
∴CM=y−12，NB=36−2y，CM=NB，y−12=36−2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴ 当点 M，N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰三角形，此时 M，N 运动的时间为 16 秒．