2018_2019学年北京市海淀区七上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市海淀区七上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −5 的相反数是
A. 15B. −15C. 5D. −5

2. 2017 年 10 月 18 日上午 9 时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕．“十九大”最受新闻网站关注．据统计，关键词“十九大”在 1.3 万个网站中产生数据 174000 条．将 174000 用科学记数法表示应为
A. 17.4×105B. 1.74×105C. 17.4×104D. 0.174×106

3. 下列各式中，不相等的是
A. −32 和 −32B. −32 和 32
C. −23 和 −23D. ∣−2∣3 和 ∣−23∣

4. 下列是一元一次方程的是
A. x2−2x−3=0B. 2x+y=5C. x2+1x=1D. x+1=0

5. 如图，下列结论正确的是
A. c>a>bB. 1b>1cC. ∣a∣<∣b∣D. abc>0

6. 下列等式变形正确的是
A. 若 −3x=5，则 x=−35
B. 若 x3+x−12=1，则 2x+3x−1=1
C. 若 5x−6=2x+8，则 5x+2x=8+6
D. 若 3x+1−2x=1，则 3x+3−2x=1

7. 下列结论正确的是
A. −3ab2 和 b2a 是同类项B. π2 不是单项式
C. a 比 −a 大D. x=2 是方程 2x+1=4 的解

8. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中 ∠α 与 ∠β 一定互余的是
A. B.
C. D.

9. 已知点 A，B，C 在同一条直线上，若线段 AB=3，BC=2，AC=1，则下列判断正确的是
A. 点 A 在线段 BC 上B. 点 B 在线段 AC 上
C. 点 C 在线段 AB 上D. 点 A 在线段 CB 的延长线上

10. 由 m 个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则 m 能取到的最大值是
A. 6B. 5C. 4D. 3

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 计算：48∘37ʹ+53∘35ʹ= ．

12. 小何买了 4 本笔记本，10 支圆珠笔，设笔记本的单价为 a 元，圆珠笔的单价为 b 元，则小何共花费 元（用含 a，b 的代数式表示）．

13. 已知 ∣a−2∣+b+32=0，则 ba= ．

14. 北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B，C 分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西 77∘ 方向，北京南站在天安门的南偏西 18∘ 方向．则 ∠BAC= ∘．

15. 若 x=2 是关于 x 的一元一次方程 2x−1=ax 的解，则 a= ．

16. 规定图形表示运算 a−b−c，图形表示运算 x−z−y+w．则 + = （直接写出答案）．

17. 线段 AB=6，点 C 在直线 AB 上，BC=4，则 AC 的长度为 ．

18. 在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为 4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 a 的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化．如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第 n 次变化时，图形的面积是否会变化， （填写“会”或者“不会”），图形的周长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：
（1）−3÷−13×−9；
（2）−54×−214÷−412×29．

20. 解方程：
（1）32x−1=15；
（2）x−73−1+x2=1．

21. 已知 3a−7b=−3，求代数式 22a+b−1+5a−4b−3b 的值．

22. 作图题：如图，已知点 A，点 B，直线 l 及 l 上一点 M．
（1）连接 MA，并在直线 l 上作出一点 N，使得点 N 在点 M 的左边，且满足 MN=MA；
（2）请在直线 l 上确定一点 O，使点 O 到点 A 与点 O 到点 B 的距离之和最短，并写出画图的依据．

23. 几何计算：
如图，已知 ∠AOB=40∘，∠BOC=3∠AOB，OD 平分 ∠AOC，求 ∠COD 的度数．
解：因为 ∠BOC=3∠AOB，∠AOB=40∘，
所以 ∠BOC= ∘，
所以 ∠AOC= + = ∘+ ∘= ∘．
因为 OD 平分 ∠AOC，
所以 ∠COD=12 = ∘．

24. 如图 1，线段 AB=10，点 C，E，F 在线段 AB 上．
（1）如图 2，当点 E，点 F 是线段 AC 和线段 BC 的中点时，求线段 EF 的长；
（2）当点 E，点 F 是线段 AB 和线段 BC 的中点时，请你写出线段 EF 与线段 AC 之间的数量关系并简要说明理由．

25. 先阅读，然后答题．
阿基米德测皇冠的故事
叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠．王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻．他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重．国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题．回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解．一天，他的夫人逼他洗澡．当他跳入池中时，水从池中溢了出来．阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来．他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）”．夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了，真疯了”，便随后追了出去．街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看．原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同．如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假．阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假．在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银．烦人的王冠之谜终于解开了．
小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：
小明准备了一个长方体的无盖容器和A，B两种型号的钢球若干．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为 30 mm，水足以淹没所有的钢球．
（1）探究一：小明做了两次实验，先放入 3 个A型号钢球，水面的高度涨到 36 mm；把 3 个A型号钢球捞出，再放入 2 个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到 36 mm．
由此可知A型号与B型号钢球的体积比为 ．
（2）探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入A型号与B型号钢球共 10 个后，水面高度涨到 57 mm，问放入水中的A型号与B型号钢球各几个?

26. 对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对 a,b 与 c,d．我们规定：a,b★c,d=bc−ad．
例如：1,2★3,4=2×3−1×4=2．根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对 2,−3★3,−2= ；
（2）若有理数对 −3,2x−1★1,x+1=7，则 x= ；
（3）当满足等式 −3,2x−1★k,x+k=5+2k 的 x 是整数时，求整数 k 的值．

27. 如图 1，在数轴上 A，B 两点对应的数分别是 6，−6，∠DCE=90∘（C 与 O 重合，D 点在数轴的正半轴上）．
（1）如图 1，若 CF 平分 ∠ACE，则 ∠AOF= ；
（2）如图 2，将 ∠DCE 沿数轴的正半轴向右平移 t0①当 t=1 时，α= ；
②猜想 ∠BCE 和 α 的数量关系，并证明；
（3）如图 3，开始 ∠D1C1E1 与 ∠DCE 重合，将 ∠DCE 沿数轴的正半轴向右平移 t0答案
第一部分
1. C
2. B
3. A【解析】A、 −32=9，−32=−9，故 −32≠−32；
B、 −32=9，32=9，故 −32=32；
C、 −23=−8，−23=−8，则 −23=−23；
D、 ∣−2∣3=23=8，∣−23∣=∣−8∣=8，则 ∣−2∣3=∣−23∣．
4. D
5. B
6. D
7. A
8. C【解析】A、 ∠α 与 ∠β 不互余，故本选项错误；
B、 ∠α 与 ∠β 不互余，故本选项错误；
C、 ∠α 与 ∠β 互余，故本选项正确；
D、 ∠α 与 ∠β 不互余，∠α 和 ∠β 互补，故本选项错误．
9. C【解析】∵BC=2，AC=1，
∴BC+AC=1+2=3，
∵AB=3，
∴BC+AC=AB，
∴ 点 C 在线段 AB 上．
10. B
【解析】第一排最多有 3 个，第二排最多有 2 个，3+2=5（个）．
第二部分
11. 102∘12ʹ
12. 4a+10b
13. 9
14. 59
15. 1
16. −8
17. 2 或 10
【解析】当点 C 在线段 AB 上时，AC=AB−BC=6−4=2．
当点 C 在线段 AB 的延长线上时，AC=AB+BC=6+4=10．
18. 不会，2n+4a
【解析】由变化过程知：图形面积不会发生变化．
正方形边长为 4a，周长为 16a，
经过 1 次变化后，周长为 32a，
经过 2 次变化后，周长为 64a，
以此类推，第 n 次变化后图形周长为 2n+1a．
第三部分
19. （1） 原式=−3×−3×−9=−81.
（2） 原式=−54×−94×−29×29=−54×19=−6.
20. （1）
2x−1=5.2x=6.x=3.
（2）
6×x−73−1+x2=1×6.2x−7−31+x=1×6.2x−14−3−3x=6.2x−3x=6+14+3.−x=23.x=−23.
21. 22a+b−1+5a−4b−3b=4a+2b−2+5a−20b−3b=9a−21b−2,
∵ 3a−7b=−3，
∴原式=9a−21b−2=33a−7b−2=3×−3−2=−9−2=−11.
22. （1） 作图如图 1 所示：
（2） 作图如图 2 所示：作图依据是：两点之间线段最短．
23. 120；∠AOB；∠BOC；40；120；160；∠AOC；80
24. （1） 因为点 E 、点 F 是线段 AC 和线段 BC 的中点，
所以 AE=CE=12AC，CF=FB=12CB．
因为线段 AB=10，点 C，E，F 在线段 AB 上．
所以 AB=AC+CB，
因为
EF=CE+CF=12AC+12CB=12AC+CB.
所以 EF=5．
（2） 如图：
结论：EF=12AC．
因为点 E 、点 F 是线段 AB 和线段 BC 的中点，
所以 AE=EB=12AB，CF=FB=12CB，
因为 EF=EB−FB，
所以
EF=12AB−12CB=12AB−CB=12AC.
25. （1） 2:3
（2） 每个A型号钢球使得水面上升 36−30÷3=2mm，
每个B型号钢球使得水面上升 36−30÷2=3mm，
设放入水中的A型号钢球为 x 个，则B型号钢球为 10−x 个，则由题意列方程：
2x+310−x=57−30.
解得：
x=3.
所以
10−x=7.
答：放入水中的A型号钢球 3 个，B型号钢球 7 个．
26. （1） −5
（2） 1
（3） 等式 −3,2x−1★k,x+k=5+2k 的 x 是整数 2x−1k−−3x+k=5+2k，
∴ 2k+3x=5，
∴ x=52k+3，
∵ x 是整数，
∴ 2k+3=±1 或 2k+3=±5，
∴ k=1 或 k=−1 或 k=−2 或 k=−4．
27. （1） 45∘
（2） ① 30∘
②猜想：∠BCE=2α．
证明：
∵ ∠DCE=90∘，∠DCF=α，
∴ ∠ECF=∠DCE−∠DCF=90∘−α，
∵ CF 平分 ∠ACE，
∴ ∠ACF=∠ECF=90∘−α，
∴ ∠ACD=∠ACF−∠DCF=90∘−α−α=90∘−2α，
∵ 点 A，O，B 共线，
∴ ∠AOB=180∘，
∴ ∠BCE=∠AOB−∠DCE−∠ACD=180∘−90∘−90∘−2α=2α．
（3） 23