数学八年级下册2.3 一元二次方程的应用教学设计

这是一份数学八年级下册2.3 一元二次方程的应用教学设计，文件包含2021-2022学年度九上数学培优讲义三一元二次方程的应用学生版docx、2021-2022学年度九上数学培优讲义三一元二次方程的应用教师版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共25页， 欢迎下载使用。
A．12x（x﹣1）＝15B．12x（x+1）＝15
C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15
【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得：12x（x﹣1）＝15．
故选：A．
【当堂练习】1．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝240B．12x（x﹣1）＝240
C．x（x+1）＝240D．12x（x+1）＝240
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝240．
故选：A．
【课后巩固】1．在欢迎新同学的聚会上共有x人，若参加聚会的人相互之间握手共55次，根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝55B．2x（x+1）＝55
C．2x（x﹣1）＝55D．x（x﹣1）＝2×55
【解答】解：设有x人参加聚会，根据题意得：
x（x﹣1）＝2×55，
故选：D．
【例题精讲】2．五一节日到来之际，班级同学之间相互赠送卡片，假设有n个同学，卡片共有1980张，则根据题意可列的方程为（ ）
A．n(n−1)2=1980B．n（n﹣1）＝1980
C．n(n+1)2=1980D．n（n+1）＝1980
【解答】解：设有n个同学，则每个同学需送出（n﹣1）张卡片，
依题意得：n（n﹣1）＝1980．
故选：B．
【当堂练习】2．2021年新年期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两名同学都互相发一次．小明统计全组共互发了72次微信，设数学兴趣小组的人数为x，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝72B．x（x﹣1）＝2×72
C．12x（x﹣1）＝72D．x（x+1）＝72
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝72，
故选：A．
【例题精讲】3．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中每人传染x人，其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感，则根据题意可列方程为（ ）
A．0.2（1+x）2＝81B．（1+0.2x）2＝81
C．0.8（1+x）2＝81D．（1+0.8x）2＝81
【解答】解：依题意得（1+0.8x）2＝81，
故选：D．
【当堂练习】3．疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则（ ）
A．3x2＝147B．3（1+x）2＝147
C．3（1+x+x2）＝147D．（3+3x）2＝147
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：3（1+x）2＝147，
故选：B．
【课后巩固】3．香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（ ）
A．8棵B．9棵C．10棵D．11棵
【解答】解：设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为x棵，
依题意得：（1+x）2＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
故选：A．
【例题精讲】4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ）
A．x2+x+1＝91B．（x+1）2＝91C．x2+x＝91D．x2+1＝91
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝91．
故选：A．
【当堂练习】4．某种植物的主干长出若干 数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个分支，则x的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为：x×x＝x2，
∴可列方程为：1+x+x2＝57．
解得：x1＝7，x2＝﹣8（舍去）．
答：每个支干长出7个小分支．
故选：B．
【课后巩固】4．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：C．
【例题精讲】5．某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（ ）
A．250（1+x）＝910
B．250（1+x）2＝910
C．250（1+x）+250（1+x）2＝910
D．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910
【解答】解：设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，则2月份生产口罩250（1+x）万只，3月份生产口罩250（1+x）2万只，
依题意得：250+250（1+x）+250（1+x）2＝910．
故选：D．
【当堂练习】5．我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入大约由5000亿元增加到7500亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝7500
B．7500（1﹣x）2＝5000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
D．5000（1+2x）＝7500
【解答】解：依题意得：5000（1+x）2＝7500．
故选：A．
【例题精讲】6．某工厂2019年治理污水花费成本144万元，经技术革新，计划到2021年治理污水花费成本降到100万元，若设每年成本的下降率是x，则可得方程（ ）
A．144（1﹣x）2＝100B．100（1﹣x%）2＝144
C．x2＝144﹣100D．144（1+x）2＝100
【解答】解：依题意得：144（1﹣x）2＝100．
故选：A．
【当堂练习】6．为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的28.8元降至20元，求平均每次的降价率是多少？设平均每次的降价率为x，可列方程为（ ）
A．28.8（1﹣x）2＝20B．20（1+2x）＝28.8
C．20（1+x） 2＝28.8D．28.8（1﹣2x）＝20
【解答】解：设每次降价率为x，
依题意，得：28.8（1﹣x）2＝20．
故选：A．
【课后巩固】6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．128（1﹣2x）＝108B．128（1﹣x2）＝108
C．128（1﹣x）2＝108D．128（1+x）2＝108
【解答】解：依题意得：128（1﹣x）2＝108．
故选：C．
【例题精讲】7．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
【解答】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：D．
【当堂练习】7．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝95B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95
C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6
【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．
故选：D．
【课后巩固】7原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．（30+2x）（20+2x）＝1200B．（30+x）（20+x）＝1200
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600D．（30+x）（20+x）＝600
【解答】解：依题意，得（30+2x）（20+2x）﹣30×20＝30×20，
即（30+2x）（20+2x）＝1200．
故选：A．
【例题精讲】8．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门，
（1）若a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80米2．
（2）问a的值在什么范围时，（1）中的解有两个？一个？无解？
（3）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？
【解答】解：（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形鸡舍的另一边长为（26﹣2x）m．
依题意，得x（26﹣2x）＝80，
解得x1＝5，x2＝8．
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），
当x＝8时，26﹣2x＝10＜12．
答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m．
（2）由（1）知，靠墙的边长为10或16米，
∴当a≥16时，（1）中的解有两个，
当10≤a＜16时，（1）中的解有一个，
当a＜10时，无解．
（3）当S＝90m2，
则x（26﹣2x）＝90，
整理得：x2﹣13x+45＝0，
则△＝b2﹣4ac＝169﹣180＝﹣11＜0，
故所围成鸡舍面积不能为90平方米．
答：所围成鸡舍面积不能为90平方米．
【当堂练习】8．用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
（3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．
（1）依题意得：x（54﹣2x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40＜41，符合题意；
当x＝20时，56﹣2x＝16＜41，符合题意．
答：x的值为8或20．
（2）令x（54﹣2x+2）＝400①，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵△＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到400m2．
（3）令x（54﹣2x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40；
当x＝20时，56﹣2x＝16．
∵x的值只能取一个，
∴16≤a＜40．
【课后巩固】8．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．
（1）饲养场另一边BC＝ （48﹣3x） 米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．
【解答】解：（1）由题意得：（48﹣3x）米．
故答案是：（48﹣3x）；
（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180
解得x1＝6，x2＝10
∵0≤48−3x≤27，0≤x≤15#/DEL/#∴7≤x≤15#/DEL/#∴x=10#/DEL/#
【例题精讲】9．用一段长40m的篱笆和长15m的墙AB，围成一个矩形的菜园，设平行于墙的一边DE的长为xm；
（1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当菜园面积为150m2时，求x的值；
（2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，当菜园面积是150m2时，求BF的长．
【解答】解：（1）设平行于墙的一边DE的长为xm，则CD的长为40−x2m，
根据题意得：x•40−x2=150，
解得：x1＝10，x2＝30（不合题意，舍去）．
答：当菜园面积为150m2时，x的值为10．
（2）设平行于墙的一边DE的长为xm，则AD的长为40−[x+(x−15)]2m，BF的长为（x﹣15）m，
根据题意得：x•40−[x+(x−15)]2=150，
解得：x1＝20，x2=152（不合题意，舍去），
∴x﹣15＝5．
答：当菜园面积是150m2时，BF的长为5m．
【当堂练习】9．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．
（1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x为多少米？
（2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？
（3）已知a＝28，b＝14，要在场地上修筑宽为2米的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），使草坪地的总面积为120平方米，则m＝ 4或2或1 ，n＝ 4或8或9 （直接写出答案）．
【解答】解：（1）四块矩形场地可合成长为（26﹣x）米，宽为（15﹣x）米的矩形．
依题意，得：（26﹣x）（15﹣x）＝312，
整理，得：x2﹣41x+78＝0，
解得：x1＝2，x2＝39（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽x为2米．
（2）四块矩形场地可合成长为（2b﹣2）米，宽为（b﹣2）米的矩形．
依题意，得：（2b﹣2）（b﹣2）＝312，
整理，得：b2﹣3b﹣154＝0，
解得：b1＝14，b2＝﹣11（不合题意，舍去），
∴a＝2b＝28．
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米．
（3）草坪可合成相邻两边分别为（28﹣2n）米、（14﹣2m）米的矩形，
依题意，得：（28﹣2n）（14﹣2m）＝120，
即（14﹣n）（7﹣m）＝30．
∵30＝2×3×5，
∴当7﹣m＝2时，m＝5，n＝﹣1，不合题意，舍去；
当7﹣m＝3时，m＝4，n＝4；
当7﹣m＝5时，m＝2，n＝8；
当7﹣m＝6时，m＝1，n＝9．
故答案为：4或2或1；4或8或9．
【课后巩固】9．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的14，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程14x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？
【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000；
（2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）=14×100×60，
解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的宽为5米；
（3）∵方程14x2﹣ax+25 a﹣150＝0有两个相等的实根，
∴△＝a2﹣25a+150＝0，解得：a1＝10，a2＝15，
∵5≤a≤12，
∴a＝10．
设修建的花圃的造价为y元，y＝55.625S；
当a＝10时，S花圃＝80×40＝3200（m2）；y花圃＝3200×55.625＝178000（元），
S通道＝100×60﹣80×40＝2800（m2）；y通道＝2800×50＝140000（元），
造价和：178000+140000＝318000（元）．
【例题精讲】10．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【当堂练习】10．为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A、B两种口罩生产设备若干台，已知购买A种口罩生产设备共花费360万元，购买B种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．
（1）求A、B两种口罩生产设备的单价；
（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？
【解答】解：（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，依题意有
360x=480140−x，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
则140﹣x＝140﹣60＝80．
答：A种口罩生产设备的单价为60万元，则B种口罩生产设备的单价为80万元；
（2）设每盒口罩可涨价m元，依题意有
（50﹣40+m）（500﹣20m）＝6000，
解得m1＝5，m2＝10（舍去）．
故每盒口罩可涨价5元．
【课后巩固】10．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x
根据题意得：50（1﹣x）2＝32
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）
答：每次下降20%
（2）设涨价y元（0＜y≤8）
6000＝（10+y）（500﹣20y）
解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去）
答：每千克应涨价5元．
【例题精讲】11．某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．
（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？
（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量）
（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，
依题意得：150（1﹣12%）＝（1+10%）z，
解得：z＝120，
答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；
（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]＝660，
整理得：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10，
此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；
（3）根据题意得：1≤a≤6．
【当堂练习】11．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：该商品每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，则该商品调价后每件降价为x元，每星期的销量为y件
（1）请写出降价后每星期销量y与降价x的关系式；
（2）若要使每星期的销售利润为5000元，问此商品的定价应为多少？
（3）若降价按整元变化，那么该商品定价为多少时，每周的销售利润最大？
【解答】解：（1）根据题意知，y＝300+20x；
（2）根据题意知，（300+20x）（60﹣40﹣x）＝5000，
解得：x＝﹣5（舍）或x＝10，
则商品的定价为50元；
（3）设每件降价x元，所得利润为W，则
W＝（300+20x）（60﹣40﹣x），
＝﹣20x2+100x+6000，
＝﹣20（x﹣2.5）2+6125，
∵x取整数，
∴x＝或3时，W取得最大值，最大值为6120，
∴当降价2元或3元，即定价为57或58元时，w的最大值为6120元．