数学九年级下册6 直线与圆的位置关系教案设计

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eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(点P在圆外⇔d＞r；,点P在圆上⇔d＝r；,点P在圆内⇔d＜r.))
2.直线与圆的位置关系
（1）直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．
（2）直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．
（3）直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．
设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：
直线l和⊙O相交⇔__d＜r__；
直线l和⊙O相切⇔__d＝r__；
直线l和⊙O相离⇔d＞r__．
切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．
切线的判断方法
经过半径的外端__并且__垂直于这条半径的直线是圆的切线．
_d＝r_⇔直线l和⊙O相切
5.经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做切线长．
6.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
二、精讲精练
【例题精讲】1．在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在⊙O内B．P在⊙O上
C．P在⊙O外D．P与A或B重合
【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB＝4，
在Rt△OAC中，∵OC＝3，AC＝4，
∴OA=AC2+OC2=5，
∴⊙O的半径为5，
∵OP＝4＜OA，
∴点P在⊙O内．
故选：A．
【当堂练习】1．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定
【解答】解：∵r＝3，d＝5，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
【课后巩固】1．已知⊙O的直径是8，P点到圆心O的距离为6，则P点与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆内C．在圆外D．无法确定
【解答】解：∵OP＝6＞4，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
【例题精讲】2．圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是d，那么（ ）
A．当d＝8cm时，直线与圆相交
B．当d＝4.5cm时，直线与圆相离
C．当d＝5cm时，直线与圆相切
D．当d＝10cm时，直线与圆相切
【解答】解：已知圆的直径为10cm，则半径为5cm，
当d＝5cm时，直线与圆相切，d＜5cm直线与圆相交，d＞5cm直线与圆相离，
故A、B、D错误，C正确，
故选：C．
【当堂练习】2．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
【解答】解：∵圆的直径为13 cm，
∴圆的半径为6.5 cm，
∵圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，
∴圆的半径≥圆心到直线的距离，
∴直线于圆相切或相交，
故选：D．
【课后巩固】3．已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．0B．3C．3.5D．4
【解答】解：∵直线m与⊙O公共点的个数为2个
∴直线与圆相交
∴d＜半径＝3
故选：A．
【例题精讲】3．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）
A．5cm或11cmB．2.5cm
C．5.5cmD．2.5cm或5.5cm
【解答】解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选：D．
【当堂练习】3．若点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A．﹣2＜a＜4B．a＜4C．a＞﹣2D．a＞4或a＜﹣2
【解答】解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内，
∴|a﹣1|＜3，
∴﹣2＜a＜4．
故选：A．
【课后巩固】3．平面内一点P离⊙O上的点最近距离为5cm，离⊙O上的点最远距离为13cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cmB．4或9cmC．8cmD．8或18cm
【解答】解：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：
①如图1，当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为13cm，则直径是5+13＝18cm，因而半径是9cm；
②如图2，当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为13cm，则直径是13﹣5＝8cm，因而半径是4cm．
故选：B．
【例题精讲】4．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 3＜r≤4或r=125 ．
【解答】解：当以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点时，
过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．，
∴AB＝5，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r=125，
当直线与圆如图所示也可以有一个交点，
∴3＜r≤4，
故答案为：3＜r≤4或r=125．
【当堂练习】4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，若以C为圆心，R为半径作的圆与斜边AB没有公共点，则R的取值范围是 0＜R＜6013，或R＞12 ．
【解答】解：如图所示，作CD⊥AB于D．
AB=52+122=13．
根据12CD•AB=12AC•BC，
即13×CD＝5×12，
得CD=6013，CA＝12．
于是0＜R＜6013，或R＞12．
【课后巩固】4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以点C为圆心，r为半径作⊙C．如果⊙C与线段BE有两个交点，那么⊙C的半径r的取值范围是 25＜r≤26 ．
【解答】解：连接CE，过C作CF⊥AB于F．
∵DE∥BC，
∴ADAC=AEAB=DEBC．
∵CD＝2AD，
∴ADAC=AEAB=DEBC=13．
∵AB＝9，BC＝6，
∴DE=13BC＝2，
AE=13AB＝3．
∵AC=AB2−BC2=92−62=35，
CD＝2AD，
∴CD=25．
∴CE=CD2+DE2=(25)2+22=26．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠CAF+∠ACF＝90°．
∴∠BCF＝∠FAC．
∵∠BFC＝∠EDA＝90°，
∴△BFC∽△EDA．
∴BCCF=AEAD．
∴6CF=35．
∴CF＝25．
∴当r＝25时，⊙C与线段BE相切．
∵⊙C与线段BE有两个交点，
∴25＜r≤26．
故答案为：25＜r≤26．
【例题精讲】5．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC于点H．
（1）求证：EH＝FH；
（2）若点C为AE的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∵HE与⊙O相切于点E，
∴OE⊥EH，
∴∠OEA+∠AEH＝90°，
在Rt△ADF中，
∠A+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝∠AEH，
又∵∠AFD＝∠HFE，
∴∠HFE＝∠AEH，
∴EH＝FH；
（2）解：连接OC交AE于M，AC，
∵点C为AE的中点，
∴AC=EC，
∴∠AOC＝∠EOC，
∴OC垂直平分EF于点M，
∵OA⊥BC，
∴AB=AC，BD＝CD，
∴BC=AE，
∴∠CAE＝∠BCA，
∴AF＝CF，
∵BC=AE，
∴DC=12BC=12AE＝AM，
在Rt△ODC中，
CD=OC2−OD2=32−12=22，
设DF＝x，则AF=22−x，
在Rt△ADF中，
x2+22=(22−x)2，
解得：x=22，
连接OH，
设EH＝y，则OH2＝12+(22+y)2=32+y2，
解得：y=1524
∴EH=1524．
【当堂练习】5．如图，在⊙O中，弦BC⊥半径OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，点P为BC延长线上一点，PF＝PE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝8，DF＝1，求PE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∵OA⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠A+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠PFE，
∴∠A+∠PFE＝90°，
∵PF＝PE，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠A+∠PEF＝∠OEA+∠PEF＝90°，
∴∠OEP＝90°，
∴OE⊥PE，OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，OP，
设OC＝x，则OD＝OA﹣AD＝x﹣2，
∵OA⊥BC，
∴BD＝CD=12BC＝4，
在Rt△ODC中，根据勾股定理，得
OC2＝OD2+CD2，
∴x2＝（x﹣2）2+42，
解得x＝5，
∴OC＝5，OD＝3，
∵PE＝PF，
∴PD＝PF+DF＝PE+1，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，根据勾股定理，得
OP2＝OD2+PD2＝OE2+PE2，
∴9+（PE+1）2＝25+PE2，
解得PE=152．
【课后巩固】5．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：
∵PN＝PE，
∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∵AB⊥CD，
∴∠OBE+∠BNF＝90°，
∴∠OEB+∠PEN＝90°，
即∠OEP＝90°，
∴PE⊥OE，
∴PE是⊙O的切线．
（2）解：连接CE，如图2所示：
∵DE∥AB，AB⊥CD，
∴∠EDC＝90°
∴CE为⊙O的直径．
∵AB⊥CD，
∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．
∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，
∴CD=CE2−DE2=102−62=8，
由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．
在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，
即x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得：x=92，
∴PD=92．
∴PE=PD2+DE2=(92)2+62=152，
∴PN＝PE=152．
【例题精讲】6．如图，AB为⊙O的直径，直线l经过⊙O上一点C，过点A作AD⊥l于点D，交⊙O于点E，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若DC＝4，DE＝2，求线段AB的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
又∵CD⊥AD，即∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
则CD是圆O的切线；
（2）解：连接BE交CO于M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴四边形DEMC是矩形，
∴OC⊥BE，
∴BM＝EM＝CD＝4，
在Rt△OMB中，BM2+OM2＝OB2，
∴42+（r﹣2）2＝r2，
∴r＝5，
∴AB＝10．
【当堂练习】6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC=3，
∴tan∠DAC=DCAD=33，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝23，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC=12AC=3，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA=AEcs30°=2，
∴⊙O的半径为2．
【课后巩固】6．如图，平行四边形ABCD的边AD与经过A，B，C三点的⊙O相切
（1）求证：点A平分BC；
（2）延长DC交⊙O于点E，连接BE，若BE＝413，⊙O半径为13，求BC的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OA交BC于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CFO，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OFC＝90°，
∴OF⊥BC，
∴OA平分BC，
即AB=AC．
（2）如图2，连接OB．
∵AB∥DE，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴BE=AC=AB，
∴BE＝AB＝413，
∵OA⊥BC，
∴AB2﹣AF2＝BF2，OB2﹣OF2＝BF2，
设OF＝x，则AF＝13﹣x，
∴132﹣x2=(413)2−(13−x)2，
解得：x＝5，
∴BF=OB2−OF2=132−52=12，
∴BC＝2BF＝24．
【例题精讲】7．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E．
（1）求证：AC与⊙D相切；
（2）若AB＝13，BC＝24，求⊙D的半径．
【解答】证明：作DF⊥AC于F，连接AD、DE．
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
∴AC是⊙D的切线．
（2）解：∵AB＝13，BC＝24，
∴AD=AB2−BD2=132−122=5，
∵S△ABC=12BC×AD=12AB⋅DE+12AC⋅DF，
∴DE=6013．
即R=6013．
【当堂练习】7．如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，B、C是⊙O上的另两点，∠APB+2∠ACB＝180°，连接AC、BC．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若BC∥PA，⊙O的半径为3，BC＝4，求PA的长．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，如图1所示：
∵∠APB+2∠ACB＝180°，∠AOB＝2∠ACB，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∴∠OAP+∠OBP＝180°，
∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∵B是⊙O上的点，
∴OB是半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：延长AO并延长交BC于D，连接OC，过P作PQ⊥BC于Q，如图2所示：
∵PA⊥OA，BC∥PA，
∴OD⊥BC，
∴CD＝BD=12BC＝2，
∴OD=OC2−CD2=32−22=5，
∴AD＝OA+OD＝3+5，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△PBQ中，设PB＝PA＝x，则BQ＝x﹣2，
由勾股定理得：（x﹣2）2+（3+5）2＝x2，
解得：x=9+352，
即PA的长为9+352．
【课后巩固】7．AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．
【解答】证明：（1）连OC，如图，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠OBC，∠POC＝∠OCB，
而OB＝OC，即∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOP＝∠POC，
又∵OA＝OC，OP公共，∴△POA≌△POC，
∴∠PAO＝∠PC0，
而PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠PC0＝90°，
∴PC为⊙O的切线；
（2）连AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
而DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
由（1）得∠AOP＝∠COP，
∴∠ABD＝∠DAF，
∴∠DAG＝∠ADF，
∴AF＝DF＝FG＝5，
∴AC＝5+5+6＝16．
∴AH=12AC＝8，
又∵OA＝OD，
∴Rt△AOH≌Rt△DOE，
∴DE＝AH＝8．
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3，
在Rt△AEF中，AE=AF2−EF2=52−32=4，
设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，r2＝82+（r﹣4）2．
∴r＝10．
所以⊙O的半径为10．
【例题精讲】8．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OD,
∵CB与⊙O相切于点B,
∴OB⊥BC,
∵AD∥OC,
∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC,
∵OA＝OD,
∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC,
∴△DOC≌△BOC（SAS),
∴∠ODC＝∠OBC＝90°,
∴OD⊥DC,
又OD为⊙O半径,
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：设CB＝x,
∵AE⊥EB,
∴AE为⊙O的切线,
∵CD、CB为⊙O的切线,
∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO,
∴BD⊥OC,
过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4,
∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2,
解得x＝9,
∴CB＝9,
∴OC=OB2+BC2=62+92=313,
∵S△OBC=12OB⋅BC=12OC⋅BF,
∴BF=OB⋅BCOC=181313．
【当堂练习】8．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥BD，AC切⊙O于点A，点E为⊙O上一点，且AC＝CE，连CE交BD于点D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）连AD，BE交于点F，⊙O的半径为2，当点F为AD中点时，求BD．
【解答】解：（1）如图1，连接OC，OE，
∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，
∴∠OAC＝90°，
在△ACO与△ECO中，OA=OEOC=OCAC=CE，
∴△ACO≌△ECO（SSS），
∴∠OEC＝∠OAC＝90°，
∴OE⊥DC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）如图2，延长BE、AC相交于点G，连接DG、AE，
∵AG∥BD，
∴∠FAG＝∠FDB，∠FGA＝∠FBD，
∵AF＝DF，
∴△AFG≌△DFB（AAS），
∴FG＝FB，
∵AF＝DF，
∴四边形ABDG是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴平行四边形ABDG是矩形，
∴DG＝AB＝4，BD＝AG，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAG+∠EGA＝90°＝∠CEG+∠AEC，
∵AC＝CE，
∴∠EAG＝∠AEC，
∴∠EGA＝∠CEG，
∴CG＝CE＝AC，
∴BD＝AG＝2AC，
∵CD是⊙O的切线，BD是⊙O的切线，
∴DE＝BD＝2AC，CD＝CE+DE＝3AC，
在Rt△CDG中，CG2+DG2＝CD2，
∴AC2+42＝（3AC）2，
解得，AC=2（取正值），
∴BD＝2AC＝22，
∴BD的长为22．
【课后巩固】8．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB＝25，AD＝2，求线段BC的长．
【解答】（1）证明：连接OE、OC．
∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC，
∴△OBC≌△OEC．
∴∠OBC＝∠OEC．
又∵DE与⊙O相切于点E，
∴∠OEC＝90°．
∴∠OBC＝90°．
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF＝AD＝2，DF＝AB＝25．
∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，
∴DA＝DE，CE＝CB．
设BC为x，则CF＝x﹣2，DC＝x+2．
在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2＝（25）2，解得x=52．
∴BC=52．
8