中考数学复习4：一次方程及不等式

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中考数学复习4：一次方程及不等式
知识集结
知识元
一元一次方程
知识讲解
方程及其解的认识与应用
1. 方程：含有未知数的等式叫做方程.
2. 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
3. 方程解的检验：要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解.
一元一次方程及其解的认识与应用
1．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.
（2）一元一次方程的形式：
标准形式：ax+b=0（其中a≠0，a，b是已知数）.
最简形式：ax = b（其中a≠0，a，b是已知数）.
注:一元一次方程的标准(首先化简为标准形式或最简形式)
①只含有一个未知数(系数不为零).
②未知数的最高次数是1.
③方程是整式方程.
2. 一元一次方程的解：使一元一次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做该一元一次方程的解.
一元一次方程的解法
1.等式的基本性质
等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式.若，则.
等式的基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数或同一个式子（除数不能是0），所得的结果仍是等式.若，则.
2.解一元一次方程的一般步骤
一般步骤
注意点
（1）去分母
方程的每一项都要乘以最简公分母
（2）去括号
去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变
（3）移项
移项要变号
（4）合并同类项
只要把系数合并，字母和它的指数不变.
（5）方程两边同除以未知数的系数
相除时系数不等于0.若为0，则方程可能无解或有无穷多解.








3.含绝对值的方程：形如的方程
解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
例如：解方程|x|=2
解：去掉绝对值符号 x=2或- x=2
方程的解为x1=2或x2=-2．
4.同解方程
如果方程①的解都是方程②的解，并且方程②的解都是方程①的解，那么这两个方程是同解方程.
一元一次方程的应用
1.列方程解应用题的步骤
（1）审：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）． 
（2）设：设出未知数：根据提问，巧设未知数． 
（3）列：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程． 
（4）解：解方程：解所列的方程，求出未知数的值． 
（5）验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际．
（6）答：写出答案（注意带上单位）．
2.一元一次方程应用常见的分类
（1）行程问题；（2）工程问题；（3）销售问题；（4）其他问题.
例题精讲
一元一次方程
例1.
（2018∙镇江）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:设这本名著共有x页，根据题意得：36+（x-36）=x，解得：x=216。答：这本名著共有216页．
例2.
（2018∙攀枝花）解方程：-=1．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:去分母得：3（x-3）-2（2x+1）=6，去括号得：3x-9-4x-2=6，移项得：-x=17，系数化为1得：x=-17。
例3.
（2018∙曲靖）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为____元．
【答案】
80
【解析】
题干解析:设该书包的进价为x元，根据题意得：115×0.8-x=15%x，解得：x=80．该书包的进价为80元
例4.
（2019∙杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　）
A．2x+3（72-x）=30
B．3x+2（72-x）=30
C．2x+3（30-x）=72
D．3x+2（30-x）=72
【答案】D
【解析】
题干解析:
设男生有x人，则女生（30-x）人，根据题意可得：
3x+2（30-x）=72。
例5.
（2019∙南充）关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（　）
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】C
【解析】
题干解析:
因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
例6.
（2019∙福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（　）
A．x+2x+4x=34685
B．x+2x+3x=34685
C．x+2x+2x=34685
D．x+x+x=34685
【答案】A
【解析】
题干解析:
设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x=34685，
例7.
（2019∙济南）代数式与代数式3-2x的和为4，则x=____。
【答案】
-1
【解析】
题干解析:根据题意得：+3-2x=4，去分母得：2x-1+9-6x=12，移项合并得：-4x=4，解得：x=-1，
例8.
（2019∙湘西州）若关于x的方程3x-kx+2=0的解为2，则k的值为___．
【答案】
4
【解析】
题干解析:∵关于x的方程3x-kx+2=0的解为2，∴3×2-2k+2=0，解得：k=4．
二元一次方程组
知识讲解
二元一次方程(组)
1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
（1）在方程中，“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；
（2）“未知数的次数都是1”是指含有未知数的项的次数是1；
（3）二元一次方程的左边和右边必须都是整式.
2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3.解二元一次方程：一般情况下，一个二元一次方程都有无数个整数解，解这类问题时，先用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后根据条件逐一求出相应的解.
4.二元一次方程组的定义：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
判断二元一次方程组的方法：
（1）看整个方程组里含有的未知数是不是两个；
（2）看含有未知数的项的次数是不是1；
（3）等式两边都是整式.
解二元一次方程
1.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
检验一对数是否是某个二元一次方程组的解常用方法：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；否则，就不是此方程组的解.
2.二元一次方程组的解法—消元法
（1）代入消元法
（2）加减消元法
3.如何选择合适的方法解二元一次方程组
（1）代入法优先的情况：
①方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式；
②方程组中未知数的系数为1（或-1），选择系数为1（或-1）的方程进行变形；
（2）加减法优先的情况：
①方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或互为相反数；
②两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系；
【易错点】
①在用加减法解二元一次方程组时，在将两个方程相减时往往出现符号错误；
②在用加减法解题时，为了把两个方程中某一未知数的系数化成相等或互为相反数，需在方程两边同乘一个不等于零的数，往往易忽略常数项，造成漏乘.
4.同解方程组：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组.
【注意】同解方程组必须满足方程组中的每个未知数的值都相等.
二元一次方程（组）的应用
1.二元一次方程的应用
（1）找出问题中已知的条件和未知量及它们之间的关系；
（2）找出题目中的两个关键的未知量，并用字母表示出来；
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程；
（4）根据未知数的实际意义求其整数解.
2.二元一次方程组的应用
（1）步骤
①审题，寻求等量关系；②设未知数，列方程组；③解方程组；④检验，答.
（2）分类
①数字问题；②销售问题；③年龄问题；④几何图形问题；⑤配套问题；⑥路程问题等

三元一次方程组
1.解三元一次方程组
步骤为：
①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
2. 三元一次方程组的应用
会用三元一次方程组的知识解决实际问题.
例题精讲
二元一次方程组
例1.
（2019∙白银）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元。
例2.
（2019∙百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，依题意，得：，解得：。答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90-a）千米，依题意，得：=，解得：a=．答：甲、丙两地相距千米．
例3.
（2019∙淮安）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：

试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得，∴，∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；
例4.
（2019∙菏泽）已知是方程组的解，则a+b的值是（　）
A．-1
B．1
C．-5
D．5
【答案】A
【解析】
题干解析:
将代入，
可得：，
两式相加：a+b=-1，
例5.
（2019∙巴中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　）
A．1
B．2
C．-1
D．0
【答案】B
【解析】
题干解析:
将代入得：
，
∴a+b=2；
例6.
（2019∙台州）一道来自课本的习题：

小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程+=，则另一个方程正确的是（　）
A．+=
B．+=
C．+=
D．+=
【答案】B
【解析】
题干解析:
设未知数x，y，已经列出一个方程+=，则另一个方程正确的是：+=。
例7.
（2019∙天津）方程组的解是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
题干解析:
，
①+②得，x=2，
把x=2代入①得，6+2y=7，解得，
故原方程组的解为：。
例8.
（2019∙南通）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　）
A．2
B．4
C．-2
D．-4
【答案】A
【解析】
题干解析:
，
①+②得：5a+5b=10，
则a+b=2，
例9.
（2019∙眉山）已知关于x，y的方程组的解满足x+y=5，则k的值为___．
【答案】
2
【解析】
题干解析:，②×2-①，得3x=9k+9，解得x=3k+3，把x=3k+3代入①，得3k+3+2y=k-1，解得y=-k-2，∵x+y=5，∴3k+3-k-2=5，解得k=2。
例10.
（2019∙苏州）若a+2b=8，3a+4b=18，则a+b的值为___．
【答案】
5
【解析】
题干解析:∵a+2b=8，3a+4b=18，则a=8-2b，代入3a+4b=18，解得：b=3，则a=2，故a+b=5．
例11.
（2019∙凉山州）方程组的解是___．
【答案】

【解析】
题干解析:，②-①得：x=6，把x=6代入①得：6+y=10，解得：y=4，方程组的解为：，
例12.
（2019∙永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e=2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（　）

A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，
∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e=2：3：4：3：3，
设a=2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，
设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z=28xyz；
②设在乙处建总仓库，
∵a+d=5y，b+c=7y，
∴a+d