中考数学复习7：二次函数

这是一份中考数学复习7：二次函数，共28页。
中考数学复习7：二次函数
知识集结
知识元
二次函数
知识讲解
二次函数的识别
1.二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
(1)等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2；
(2)是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二次函数的图象与性质
1.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的基本形式及性质
(1)二次函数基本形式：的性质：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．









(2)的性质：（上加下减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．








(3)的性质：（左加右减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．








(4)的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．








3.二次函数的性质
(1)当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，有最小值．
(2)当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
当时，有最大值．
二次函数图象的变换
1.二次函数图象的平移
方法一：
(1)将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

(2)平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
(1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
(2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
2.二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
(1)关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
(2)关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
(3)关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
(4)关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
(5)关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是.
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：（，，为常数，）；
(2)顶点式：（，，为常数，）；
(3)两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.待定系数法求二次函数解析式：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
(3)已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
二次函数系数与图象之间的关系
1.二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
(1)当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
(2)当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
(1)在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
(2)在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
3.常数项
(1)当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
(2)当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
(3)当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数的实际应用
1.列二次函数解应用题  
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式，对于应用题要注意以下步骤 
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)；
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；  
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式这就是二次函数； 
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题； 
(5)检验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
(6)写出答案.
要点诠释：常见的问题，求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.    
2.建立二次函数模型求解实际问题的一般步骤： 
(1)恰当地建立直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数关系式；
(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
(5)利用关系式求解问题.
注意：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题.利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
二次函数与方程和不等式
1.一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：
①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
②当时，图象与轴只有一个交点；
③当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3.二次函数常用解题方法总结：
(1)求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
(2)求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
(3)根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
(4)二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
4.二次函数与不等式之间的关系：
判别式



二次函数

的图象



一元二次方程

的根
有两相异实根


有两相等实根

没有实根
不
等式的解集


或

任意实数



无
无
同理开口向下的利用上面的规律可以得出.
二次函数与一次函数的综合
1.二次函数与一次函数值的比较： 
(1)二次函数等于一次函数：二次函数与一次函数交点；
(2)二次函数大于一次函数：二次函数图象在一次函数上方；
(3)二次函数小于一次函数：二次函数图象在一次函数下方.
2.二次函数与一次函数(直线)交点个数问题：
联立方程组，整理成一元二次方程一般式：
(1)△＞0时，二次函数与一次函数有两个交点；
(2)△=0时，二次函数与一次函数有一个交点；
(3)△＜0时，二次函数与一次函数无交点；
3.二次函数与线段交点个数问题：
先确定抛物线的解析式，画出图形:
(1)当抛物线最小值大于线段所在直线的纵坐标时，与线段无公共点；当抛物线最大值小于线段所在直线的纵坐标时，与线段无公共点；
(2)当抛物线顶点在线段BC上，此时抛物线与线段有一个公共点；
(3)当线段的一个端点在抛物线上时，此时可作为临界情况.
二次函数与几何综合
1.面积问题
（1）三角形面积：抛物线与坐标轴围成的三角形面积：求出抛物线与x轴、y轴交点坐标，表示出三角形的底和高求面积；
（2）四边形的面积：求四个点围成的四边形的面积：根据点的坐标得到线段的长度，通过分割法，把四边形分成几个三角形的面积之和，分别求出各个面积相加即可.
2.几何最值问题
（1）线段之和最短：通过轴对称，找出对称点连结，求出该线段的长度即是最小值，主要利用两点之间线段最短的性质.
（2）周长最短问题：通过轴对称，找出对称点连结，三角形周长最短问题就转化成线段之和最短问题，求出该线段的长度，再得到周长最小值.
（3）面积的最大值问题:根据面积的分割，利用水平宽度×铅直高度，求出面积的表达式是二次函数的形式，再利用配方法求出顶点坐标，顶点的纵坐标就是面积的最大值.
例题精讲
二次函数
例1.
（2019∙永州）如图，已知抛物线经过两点A（-3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x=-1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵抛物线对称轴是直线x=-1且经过点A（-3，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）即：y=a（x-1）（x+3）把B（0，3）代入得：3=-3a∴a=-1∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3。（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（-3，0），B（0，3），∴，∴直线AB为y=x+3，作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，设P（x，-x2-2x+3），则M（x，x+3），∴PM=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，∴S=（-x2-3x）×3=-（x+）2+．当x=-时，S最大=，y=-（-）2-2×（-）+3=，∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（-，）
例2.
（2019∙鸡西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B（-1，0），与y轴交于点C．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线NN上且S△PAC=S△DBC，直接写出点P的坐标．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）将点A（3，0）、点B（-1，0）代入y=x2+bx+c，可得b=-2，c=-3，∴y=x2-2x-3；（2）∵C（0，-3），∴S△DBC=6×1=3，∴S△PAC=3，设P（x，3），直线CP与x轴交点为Q，则S△PAC=6×AQ，∴AQ=1，∴Q（2，0）或Q（4，0），∴直线CQ为y=x-3或y=x-3，当y=3时，x=4或x=8，∴P（4，3）或P（8，3）；
例3.
（2019∙北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上。
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，-），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）A（0，-）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，-）；（2）A与B关于对称轴x=1对称，∴抛物线对称轴x=1；（3）∵对称轴x=1，∴b=-2a，∴y=ax2-2ax-，①a>0时，当x=2时，y=-