中考数学复习9：三角形

这是一份中考数学复习9：三角形，共46页。教案主要包含了相似三角形的定义，相似三角形的性质，直角三角形的边和角的关系，解直角三角形的类型及解法等内容，欢迎下载使用。
中考数学复习9：三角形
知识集结
知识元
三角形
图形的相似
知识讲解
比例的性质及相关计算
1．比例性质：
（1）基本性质：
（2）合比性质：
（3）等比性质：

(其中k为正整数，且b1＋b2＋b3＋…＋bk≠0)
补充：（1）反比性质：
（2）更比性质：或
（3）分比性质：
（4）合分比性质：
2．比例线段及相关概念
（1）两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比.
（2）成比例线段：如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作或a∶b＝c∶d。其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的第四比例项.
（3）比例中项：若，则称b是a，c的比例中项.
平行线分线段成比例定理
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图所示，如果l1∥l2∥l3，则，，.

2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
如图所示，若DE∥BC，则有，，.

如图所示，若AB∥DE，则有.

相似的概念和性质
一、相似三角形的定义
1.定义：
相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．
如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．

2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；
全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”.
二、相似三角形的性质：
1．相似三角形的对应角相等
如图，与相似，则有．

2．相似三角形的对应边成比例
如图，与相似，则有（为相似比）．

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
4．相似三角形周长的比等于相似比．
5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似三角形的判定
1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.
3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.
【补充说明】：
1.直角三角形相似的判定方法：
（1）以上各种判定方法均适用；
（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；
（3）垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
2．几种特殊三角形相似的判定方法：
（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
（3）如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
相似的基本模型
（1）平行型：（A型，X型）




（2）交错型：

 



（3）旋转型： （4）母子三角形：

 



（5）一线三等角模型与相似
一线三等角模型是以等腰三角形（等腰梯形）或等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别于等腰三角形的两边相交，如下图所示：




总结出三等角模型的基本图形是：

位似
定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形。这个店叫做位似中心.
说明：从位似的定义中可以找到位似图形的判定及性质，在做题中这就是做题的依据.

例题精讲
图形的相似
例1.
（2019∙绥化）如图①，在正方形ABCD中，AB=6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN=MC；
（2）若DM：DB=2：5，求证：AN=4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG=3：5，求NG∙CG的值．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=∠BME=45°，∴ME=BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME=MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN=90°，∵∠FME=90°，∴∠CME=∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN=MC；（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴===，∴AF=2.4，CE=2.4，∵△MFN≌△MEC，∴FN=EC=2.4，∴AN=4.8，BN=6-4.8=1.2，∴AN=4BN；（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD=90°，∴MC=HC，DM=BH，∠CDM=∠CBH=45°，∠DCM=∠BCH，∴∠MBH=90°，∠MCH=90°，∵MC=MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC=45°，∴∠NCH=45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG=HG，∵BG：MG=3：5，设BG=3a，则MG=GH=5a，在Rt△BGH中，BH=4a，则MD=4a，∵正方形ABCD的边长为6，∴BD=6，∴DM+MG+BG=12a=6，∴a=，∴BG=，MG=，∵∠MGC=∠NGB，∠MNG=∠GBC=45°，∴△MGC∽△NGB，∴=，∴CG∙NG=BG∙MG=。
例2.
（2019∙淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB=2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB=2α（0