2020-2021年浙江省台州市九年级数学上学期第一次月考试卷

这是一份2020-2021年浙江省台州市九年级数学上学期第一次月考试卷，共17页。
 九年级数学上学期第一次月考试卷
一、选择题〔此题共10小题，每题4分，共40分〕
以以下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔   〕
A.                   B.                   C.                   D. 
2.下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有〔    〕
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
3.⊙O的半径r=3，PO=， 那么点P与⊙O的位置关系是(       )

A. 点P在⊙O内                      B. 点P在⊙O上                      C. 点P在⊙O外                      D. 不能确定
4.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a，小明的作法如以下列图，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是〔　　〕


A. 勾股定理                                                            B. 勾股定理是逆定理
C. 直径所对的圆周角是直角                                    D. 90°的圆周角所对的弦是直径
5.如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，那么 的度数为〔    〕．

A. 30°                                       B. 40°                                       C. 50°                                       D. 60°
6.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.假设AC=5，BD=3，那么AB的长是〔　　〕

A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
7.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，假设直线y=-x+b与⊙O相交，那么b的取值范围是〔　　〕
A.               B.               C.               D. 
8.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与以下格点的连线中，能够与该圆弧相切的是〔  〕

A. 点〔0，3〕                      B. 点〔2，3〕                      C. 点〔5，1〕                      D. 点〔6，1〕
9.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，假设BC=2  ，那么HC的长为〔　　〕

A. 4                                        B. 2                                         C. 3                                         D. 6
10.如图，直线y= 与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D〔0，2〕为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，那么△ABC面积的最小值是〔　　〕

A. 30                                         B. 29                                         C. 28                                         D. 27
二、填空题〔此题共6小题，每题5分，共30分〕
11.如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，那么桥拱半径OC为________m.

12.如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1 ， A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，以下结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1正确的选项是________〔写出正确结论的序号〕

13.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，弧CD 的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，那么∠ABD+∠CAO=________°

14.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，假设⊙O的半径为2，那么CD的长为________。

15.如图，在平面直角坐标系中，点A 〔0，1〕、B〔0，1+t〕、C〔0，1-t〕〔t＞0〕，点P在以D〔4，4〕为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，那么t的取值范围是________。

16.问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE.问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=4 。点O是△MNG内一点，那么点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是________。

三、解答题〔此题共8小题，第17~20每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分〕
17.将两块大小相同的含30°角的直角三角板〔∠BAC=∠B′A′C=30°〕按图①方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转〔旋转角小于90°〕至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O.

〔1〕求证：△BCE≌△B′CF；
〔2〕当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由.
18.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．

〔1〕点N是线段BC的中点吗？为什么？
〔2〕假设圆环的宽度〔两圆半径之差〕为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A〔1，1〕，B〔4，0〕，C〔4，4〕
按以下要求作图：
①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1 ， 并写出A1 ， B1 ， C1的坐标。
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2；并写出A2 ， C2的坐标。

20.PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=80°，C为⊙O上一点.

〔1〕如图①，求∠ACB的大小；
〔2〕如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D.假设AB=AD，求∠EAC的大小.
21.如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧AB 的中点.

〔1〕求证：四边形AOBD是菱形；
〔2〕延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是⊙O的切线
22.P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B〔不与P，Q重合〕，连接AP、BP.假设∠APQ=∠BPQ.

〔1〕如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2  时，求⊙O的半径；
〔2〕如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上〔不与P、M重合〕，连接ON、OP，假设∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.
23.阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P〔x0，y0〕到直线Ax+By+C=0的距离公式为： .
例如：求点P0〔0，0〕到直线4x+3y-3=0的距离.
解：由直线4x+3y-3=0知，A=4，B=3，C=-3，
∴点P0〔0，0〕到直线4x+3y-3=0的距离为
根据以上材料，解决以下问题：
〔1〕问题1：点P1〔3，4〕到直线 的距离为________；
〔2〕问题2：：⊙C是以点C〔2，1〕为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线 b相切，求实数b的值；
〔3〕问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值.

24.我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A〔2，0〕，B〔-2，0〕，D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°〔A、D、C按顺时针方向排列〕，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD.显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.

〔1〕求证：△ABC是半直角三角形；
〔2〕求证：∠DEC=∠DEA；
〔3〕假设点D的坐标为〔0，8〕，求AE的长；
〔4〕BC交y轴于点N，问 的值是否发生变化？假设不发生变化，请求出其值；假设发生变化，请说明理由。

答案解析局部
一、选择题〔此题共10小题，每题4分，共40分〕
1.【解析】【解答】解：此图形表示轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是轴对称图形也是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的局部互相重合，再对各选项逐一判断即可。
2.【解析】【解答】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，故③错误；
圆内接四边形的对角互补，故④正确；
错误的有①②③.
故答案为：C.
【分析】根据在同一直线上的三点不能画圆，可对①作出判断；利用圆心角，弧，弦的关系定理中的关键词：在同圆或等圆中，可对②作出判断；利用垂径定理的推论，可对③作出判断；根据圆内接四边形定理可对④作出判断。
3.【解析】【分析】点在圆上，那么d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r〔d即点到圆心的距离，r即圆的半径〕。
∵OP=＞3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外。

应选C．
4.【解析】【解答】解：∵AB是直径，

∴∠ACB是直角．
那么∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
应选C．
【分析】由AB是直径，根据直径所对的圆周角是直角即可判定∠ACB是直角．
5.【解析】【解答】解：如图，∵ ，

∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：D ．

【分析】根据圆周角的性质，得到∠AOC的度数，根据题意得到弧AC=弧BC，根据弧与圆周角以及圆心角的关系得到答案即可。
6.【解析】【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D，
∴AC=AP，BP=BD，
∵AC=5，BD=3
∴AB=AP+BP=AC+BD=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】利用切线长定理可证得AC=AP，BP=BD，再结合条件可求出AB的长。
7.【解析】【解答】解：当直线y＝−x＋b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．

当x＝0时，y＝b，
∴点B〔0，b〕，
当y＝0时，x＝b，
∴点A〔b，0〕，
∴OA=OB=b
∴△OAB是等腰直角三角形．
设直线AB与圆O相切于点C，连接OC
∴OC⊥AB，OC=2
∴OB＝OC＝．
∴b＝；
同理，当直线y＝−x＋b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝−．
假设直线y＝−x＋b与⊙O相交，那么b的取值范围是
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当直线y＝−x＋b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，利用函数解析式求出点A，B的坐标，易证△AOB是等腰直角三角形，设直线AB与圆O相切于点C，连接OC，利用切线的性质可得到△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OB的长，即可得到b的值；同理当直线y＝−x＋b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，求出此时b的值，由此可求出直线y=-x+b与⊙O相交时的b的取值范围。
8.【解析】【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，那么点O′就是 所在圆的圆心，
∴三点组成的圆的圆心为：O′〔2，0〕，
∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，
∴当△BO′D≌△FBE时，
∴EF=BD=2，
F点的坐标为：〔5，1〕，
∴点B与以下格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：〔5，1〕．
应选：C．

【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．
9.【解析】【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，
∴AC=AF，AD=AC，
∵矩形ABCD
∴∠ADC=90°，BC=AD=
∴∠ACD=∠EAF=∠EAC=30°，
∴AH=CH，
∴DH=AH=CH，
∴CH=2DH
在Rt△ADC中，
∴.

故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质，结合条件可知AC=AF，AD=AC，利用矩形的性质可求出AD的长，利用直角三角形的性质可得到∠ACD=∠EAF=∠EAC=30°，从而可证得AH=CH，由此可推出CH=2DH；然后利用解直角三角形求出CD的长，即可求出CH的长。
10.【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，连接DB，

当y=0时，
解之：x=12
∴点B〔12，0〕
当x=0时，y=-5
∴点C〔0，-5〕
∴OC=5，OB=12
∵圆的半径为2
∴DC=OD+OC=2+5=7
在Rt△OBC中
;
∴
∴13DE=7×12
解之：DE=
∴圆D上的点到直线的最短距离为；
∴△ABC面积的最小值为；
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，连接DB，利用函数解析式求出点C，B的坐标，可得到OB，OC，DC的长，再利用三角形的面积公式求出DE的长；再求出圆D上的点到直线的最短距离；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC面积的最小值。
二、填空题〔此题共6小题，每题5分，共30分〕
11.【解析】【解答】解：连接OA，

∵CD⊥AB
∴AD=AB=×6=3
设圆的半径为r，那么OD=9-r
∴AO2=OD2+AD2,
∴r2=〔9-r〕2+9
解之：r=5.
故答案为：5.
【分析】连接OA，利用垂径定理求出AD的长，设圆的半径为r，那么OD=9-r，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。

12.【解析】【解答】解：∵ 将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1 ， AB=BC
∴∠A=∠A1=∠C=∠C1 ， ∠ABE=∠FBC1= α ，AB=BC1=BC=A1B
∵∠A1ED=∠AEB
∴∠A1DE=∠ABE=∠CDF= α ，故①正确；
在△ABE和△C1BF中

∴△ABE≌△C1BF〔ASA〕
∴BE=BF，
∴A1E=CF，故②正确；
∵∠C不一定等于α，
∴ DF不一定等于FC，故③错误；
在△A1BF和△CBE中

∴△A1BF≌△CBE〔SAS〕
∴ A1F=CE ，故⑤正确；
∵AE不一定等于DC，
∴AD不一定等于CE，故④错误；
正确结论的序号为①②⑤.
故答案为：①②⑤.
【分析】利用旋转的性质可知∠A=∠A1=∠C=∠C1 ， ∠ABE=∠FBC1= α ，AB=BC1=BC=A1B，利用三角形的内角和定理可证∠A1DE=∠ABE=∠CDF= α ，可对①作出判断；利用ASA证明△ABE≌△C1BF，利用全等三角形的性质可推出BE=BF，由此可得A1E=CF，可对②作出判断；再根据∠C不一定等于α，可对③作出判断；然后利用SAS证明△A1BF≌△CBE，利用全等三角形的性质，可对⑤作出判断；AE不一定等于DC，由此可得AD不一定等于CE，可对④作出判断；综上所述，可得正确结论的序号。
13.【解析】【解答】解：∵
∴∠AOD=2∠ABD=2∠ACD，
∵弧CD 的度数等于84°，
∴∠COD=84°
∵OD=OC
∴∠OCD=∠ODC=
∵CA平分∠OCD
∴∠ACO=∠ACD=∠OCD=24°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO=24°
∴∠ABD=∠ACD=24°
∴∠ABD+∠CAO=24°+24°=48°.
故答案为：48.
【分析】利用圆周角定理可证得∠AOD=2∠ABD=2∠ACD，同时可求出∠COD的度数，利用三角形内角和定理即等腰三角形的性质求出∠OCD的度数；再利用角平分线的定义求出∠ACO及∠ACD的度数，然后利用等腰三角形的性质求出∠ABD的度数，利用圆周角定理求出∠ACD的度数，从而可求出∠ABD+∠CAO的值。

14.【解析】【解答】解：连接OC，OB，

∵，
∴∠OBC=2∠CAB=2×30°=60°，
∵OC=OB
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OC=2.
∵CD⊥AB，∠CBA=45°，
∴△CDB等腰直角三角形，
∴∴∠B=45°，
∴CD=BCsin∠B=2sin45°.
故答案为：.
【分析】连接OC，OB，利用圆周角定理可求出∠OBC=60°，可证得 △OBC是等边三角形，由此可求出BC的长；再利用解直角三角形求出CD的长。
15.【解析】【解答】解：连接AD，

∵ 点A 〔0，1〕、B〔0，1+t〕、C〔0，1-t〕〔t＞0〕，
∴AB=1+t-1=t，AC=1-〔1-t〕=t，
∴AB=AC
∵∠BPC=90°，
∴AP=BC=AB=t；
要使t最大，就是点A到圆O上一点的距离最大，
∴点D在AP上，
∵点A〔0，1〕，点D〔4，4〕
∴
∴AP=AD+PD=5+1=6；
要使t最小，就是点A到圆D上一点的距离最小，
∴点P在AD上，
∴AP=AD-PD=5-1=4.
∴t的取值范围是4≤t≤6.
故答案为：4≤t≤6.
【分析】 连接AD，利用点的坐标可证得AB=AC，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得AP=t，要使t最大，就是点A到圆O上一点的距离最大，利用点A，D的坐标及勾股定理求出AD的长，即可求出PA的最大值；要使t最小，就是点A到圆D上一点的距离最小，可求出AP的最小值，由此可求出t的取值范围。
16.【解析】【解答】解：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F,

∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中

∴△GMO≌△DME〔SAS〕，
∴OG＝DE
∴NO＋GO＋MO＝NO+DE＋OE
∴当D、E、O、N四点共线时，NO＋GO＋MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝180°-135°=45°，
∵MG＝MD=．
∴MF＝DF=MDsin45°＝
∴NF＝MN＋MF＝6＋4＝10，
在Rt△DNF中

∴MO＋NO＋GO最小值为.
故答案为：.
【分析】以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F，利用等边三角形的性质可得到OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，易证∠GMO＝∠DME；利用SAS证明△GMO≌△DME，利用全等三角形的性质可证得OG＝DE；由此可推出NO＋GO＋MO＝NO+DE＋OE；要使NO＋GO＋MO值最小，那么D、E、O、N四点共线；利用条件求出∠DMF=45°，利用解直角三角形求出DF，FM，从而可求出NF的长；然后在Rt△DNF中利用勾股定理求出ND的长，继而可得到点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值。
三、解答题〔此题共8小题，第17~20每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分〕
17.【解析】【分析】〔1〕由可得△ABC≌△A'B'C'，可推出BC=B'C'，∠B=∠B'=60°,利用旋转的性质可知∠BCE=∠B'CF，利用ASA可证得结论。
〔2〕利用旋转角为30°，可求出∠EOF的度数，从而可求出∠BCB′的度数，利用四边形的内角和为360°，可求出∠B′OB的度数，然后利用垂直的定义可证得结论。
18.【解析】【分析】〔1〕由AD是小圆的切线可知OM⊥AD，再由四边形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂径定理即可得出结论；〔2〕延长ON交大圆于点E，由于圆环的宽度〔两圆半径之差〕为6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的长．
19.【解析】【分析】①利用点的坐标平移方法，分别作出A1 ， B1 ， C1 ， 再顺次连接，然后写出 A1 ， B1 ， C1的坐标；②利用旋转的性质，将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，再写出点A2 ， C2的坐标。
20.【解析】【分析】连接OA，OB，利用切线的性质可知∠PAO=∠PBO=90°，利用四边形的内角和为360°，可求出∠O的度数；然后利用圆周角定理可求出∠ACB的度数。
〔2〕连接CE，利用直径所对的圆周角是直角可得到∩ACE=90°，从而可求出∠BCE的度数，再利用同弧所对圆周角相等，可求出∠BAD的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABD的度数；然后根据同弧所对的圆周角相等求出∠AEC的度数，利用直角三角形的两锐角互余求出∠EAC的度数。
21.【解析】【分析】〔1〕连接OD，利用等弧所对的圆心角相等可求出∩AOD和∠BOD的度数，由此可证得△AOD和△BOD是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AD=BD=OA=OB，利用四边相等的四边形是菱形，可证得结论。
〔2〕连接AC，易证PC=CO，由此可证得△AOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出AC=PC=CO，利用直角三角形的判定可证得∠PAO=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论。
22.【解析】【分析】〔1〕连接AB，利用圆周角定理可证得AB是直径；再利用勾股定理求出AB的长，即可求出圆的半径。
〔2〕连接OA，OB，OQ，利用垂径定理可证得OQ⊥AB；再证明∠NOQ=90°，可得到NQ⊥OQ，由此可推出AB∥ON。

23.【解析】【解答】解：〔1〕∵
∴3x+4y-5=0
∵点P1〔3，4〕
∴
故答案为：4.
【分析】〔1〕利用点P〔x0，y0〕到直线Ax+By+C=0的距离公式，结合条件，代入计算可求出d的值。
〔2〕由题意可知d=1，再利用点P到直线Ax+By+C=0的距离公式，建立方程解方程求出b的值。
〔3〕先利用点到直线的距离公式分别求出⊙C 上的点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值和最小值；再利用三角形的面积公式可求出△ABP面积的最大值和最小值。
24.【解析】【分析】〔1〕利用角平分线的定义求出∠ADE的度数，再利用圆周角定理可证得∠ABE＝∠ADE＝45°，由此可证得结论。
〔2〕利用易证DO垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质可得到AD＝BD；再利用等腰三角形的性质及圆周角定理可推出∠DBA＝∠DEB，利用圆内接四边形的对角互补，可得到∠DBA＋∠DEA＝180°；然后利用补角的性质，可证得结论。
〔3〕连接AM，ME，利用点D，A的坐标可得到OD，OA的长，设⊙M的半径为r，可表示出OM的长，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；然后证明△AEM是等腰直角三角形，利用解直角三角形可求出AE的长。
〔4〕过点C作CH⊥y轴于点H，过点C作CQ⊥x轴于点Q，易证△HOQC是矩形，利用矩形的性质可得到HC=OQ，HO=CQ，同时可证得∠ODA=∠HCD，利用AAS证明△HDC≌△ADO，利用全等三角形的对应边相等可得到HC=OD，DH=AO，利用点的坐标，去证明CQ=BQ，就可得到∠CBQ=45°，从而可证△CHN是等腰直角三角形；然后利用解直角三角形求出CN与OD的比值。