2018_2019学年上海市金山区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018_2019学年上海市金山区九上期末数学试卷（一模），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知：a，b 是不等于 0 的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是
A. ab=23B. ab=32C. a+bb=43D. a+bb=53

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，下列各式中正确的是
A. a=b⋅csAB. c=a⋅sinAC. a⋅ctA=bD. a⋅tanA=b

3. 将抛物线 y=−x+12+4 平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为
A. 向下平移 3 个单位B. 向上平移 3 个单位
C. 向左平移 3 个单位D. 向右平移 2 个单位

4. 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，下列各式正确的是
A. AB=DCB. DE=DCC. AB=EDD. AD=BE

5. 一个三角形框架模型的三边长分别为 20 厘米、 30 厘米、 40 厘米，木工要以一根长为 60 厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是
A. 30 厘米、 45 厘米B. 40 厘米、 80 厘米
C. 80 厘米、 120 厘米D. 90 厘米、 120 厘米

6. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=12，BC=9，D 是 AB 的中点，G 是 △ABC 的重心，如果以点 D 为圆心 DG 为半径的圆和以点 C 为圆心半径为 r 的圆相交，那么 r 的取值范围是
A. r<5B. r>5C. r<10D. 5
二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：3a−a−2b= ．

8. 计算：2sin245∘−tan45∘= ．

9. 如果两个相似三角形对应边上的高的比为 1:4，那么这两个三角形的周长比是 ．

10. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，sinA=12，那么 csA= ．

11. 已知一个斜坡的坡度 i=1:3，那么该斜坡的坡角为 ．

12. 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 AD 上一点，AE=12ED，CE 与 BD 相交于点 F，BD=10，那么 DF= ．

13. 抛物线 y=2x2−1 的顶点坐标是 ．

14. 点 −1,a，−2,b 是抛物线 y=x2+2x−3 上的两个点，那么 a 和 b 的大小关系是 a b（填“>”或“<”或“=”）．

15. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，∠OAB=30∘，OC⊥OA，交 AB 于点 C，若 OC=6，则 AB 的长等于 ．

16. 如果一个正多边形每一个内角都等于 144∘，那么这个正多边形的边数是 条．

17. 两圆内切，其中一个圆的半径长为 6，圆心距等于 2，那么另一个圆的半径长等于 ．

18. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，把 △ABE 沿直线 BE 翻折，点 A 正好落在 BC 边上的点 F 处，如果四边形 CDEF 和矩形 ABCD 相似，那么四边形 CDEF 和矩形 ABCD 面积比是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：sin30∘⋅tan60∘+cs30∘−ct45∘cs60∘．

20. 如图，已知平行四边形 ABCD，点 M，N 分别是边 DC，BC 的中点，设 AB=a，AD=b，求向量 MN 关于 a，b 的分解式．

21. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的弦，C 是 AB 的中点，AB=8，AC=25，求 ⊙O 半径的长．

22. 如图，MN 是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的 A 处测得一海岛在南偏西 32∘ 的方向上，向东走过 780 米后到达 B 处，测得海岛在南偏西 37∘ 的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37∘=ct53∘≈0.755，ct37∘=tan53∘≈1.327，tan32∘=ct58∘≈0.625，ct32∘=tan58∘≈1.600．）

23. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC>BC，CD 是 Rt△ABC 的高，E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线相交于点 F．
（1）求证：DF 是 BF 和 CF 的比例中项；
（2）在 AB 上取一点 G，如果 AE⋅AC=AG⋅AD，求证：EG⋅CF=ED⋅DF．

24. 平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 y 轴相交于点 C，与 x 轴正半轴相交于点 A，OA=OC，与 x 轴的另一个交点为 B，对称轴是直线 x=1，顶点为 P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点 P 的坐标；
（2）抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 M，求 ∠PMC 的正切值；
（3）点 Q 在 y 轴上，且 △BCQ 与 △CMP 相似，求点 Q 的坐标．

25. 如图，已知在 △ABC 中，AB=AC=5，csB=45，P 是边 AB 上一点，以 P 为圆心，PB 为半径的 ⊙P 与边 BC 的另一个交点为 D，连接 PD，AD．
（1）求 △ABC 的面积；
（2）设 PB=x，△APD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果 △APD 是直角三角形，求 PB 的长．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. A
4. D
5. C
【解析】由于模型三角形的三边长比例为 2:3:4，因此新三角形三边比例为 2:3:4，即与模型三角形相似，因此C选项符合题意．
6. D【解析】由题意，AB=92+122=15，
所以 AD=7.5，DG=13AD=2.5，
若两圆相交，则 7.5−2.5第二部分
7. 2a+2b
8. 0
9. 1:4
10. 32
11. 30∘
12. 4
13. 0,−1
14. <
15. 18
16. 10
17. 4 或 8
【解析】设另一个圆的半径为 r，
则当两圆内切时，r=6+2=8 或 r=6−2=4．
18. 3−52
【解析】如图，
若四边形 CDEF 与矩形 ABCD 相似则四边形 CDEF 是矩形．
所以 ∠AEB=45∘，
所以 AB=AE=EF=BF．
设 AD=1，CD=x．
由题意得 ADCD=CDDE，即 1x=x1−x，
解得 x=−1+52 或 x=−1−52．
经检验 x=−1+52 是原方程的解且符合题意．
所以 ABAD=−1+52．
因此四边形 CDEF 与矩形 ABCD 面积比为 −1+522=3−52．
第三部分
19. 原式=12×3+3−2212=32+3−2=332−2.
20. 连接 BD，
因为 MN 是 △BCD 的中位线，
所以 MN∥BD，MN=12BD，
所以 MN=12a−12b．
21. 连接 OC 交 AB 于点 D，如图，并连接 OA，
由垂径定理得 OD 垂直平分 AB，
设 ⊙O 的半径为 r，
在 △ACD 中 CD2+AD2=AC2，CD=2，
在 △OAD 中 OA2=OD2+AD2，r2=r−22+16，
解得 r=5，
∴⊙O 半径的长是 5．
22. 过点 C 作 CD⊥MN，垂足为 D，如图，
设 CD=x 米，AB=BD−AD=x⋅tan37∘−x⋅tan32∘=780，
解得 x≈6000，
∴ 小岛到海岸线的距离是 6000 米．
23. （1） 因为点 E 是 AC 的中点，
所以 DE=12AC，
因为 ∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90∘，
所以 ∠BCD=∠A=∠EDA=∠BDF，
又因为 ∠BFD=∠DFC，
所以 △BFD∽△DFC，
所以 DFBF=CFDF，
所以 DF2=BF⋅CF．
（2） 因为 AE⋅AC=AG⋅AD，
所以 AEAD=AGAC，
又因为 ∠A=∠A，
所以 △AEG∽△ADC，
所以 ∠AEG=∠ADC=90∘，
所以 EG∥BC，
所以 △EDG∽△FDB，
所以 EGED=BFDF，
由（1）知 △BFD∽△DFC，
所以 BFDF=DFCF，
所以 EGED=DFCF，
所以 EG⋅CF=ED⋅DF．
24. （1） ∵OA=OC=3，
∴A3,0．
∵ 抛物线的对称轴是直线 x=1，
∴B−1,0．
将点 A，点 B 坐标代入得 a−b+3=0,9a+3b+3=0, 解得 a=−1,b=2,
∴ 抛物线的表达式为 y=−x2+2x+3．
∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 顶点 P 的坐标为 1,4．
（2） 由题意得 M1,0，P1,4，C0,3，tan∠PMC=tan∠MCO=13．
（3） Q 在 C 点下方，∠BCQ=∠CMP，CM=10，PM=4，BC=10，
∴BCCQ=PMCM 或 BCCQ=CMPM，
∴CQ=52或4，
∴Q10,12，Q20,−1．
25. （1） 过点 A 作 AQ⊥BC 于点 Q，如图 1，
∵AB=AC=5，csB=45，
∴BQ=4，AQ=3，
∴S△ABC=12×3×8=12．
（2） ∵∠B=∠BDP=∠C，
∴△BPD∽△BAC，
∴S△BPDS△BAC=PBAB2，
∴S△BPD12=x52，
∴S△BPD=1225x2，
∵S△APDS△BPD=APBP，
∴y12x225=5−xx，
∴y=−1225x2+125x0 （3） 由题意可知，∠APD<90∘，
如图 2，过点 C 作 CE⊥AB 交 BA 延长线于点 E，
则 BE=BCcsB=6.4，AE=BE−AB=1.4，
∴cs∠CAE=1.45=725，
①当 ∠ADP=90∘ 时，
cs∠APD=cs∠CAE=725，
∴x5−x=725，
∴x=3532，
经检验 x=3532 是原方程的解且符合题意；
②当 ∠PAD=90∘ 时，如图 3，
同理得 5−xx=725，
∴x=12532，
经检验 x=12532 是原方程的解且符合题意，
综上所述，PB=3532或12532．