2019年黑龙江哈尔滨道里郊区九年级上学期人教五四制数学期末考试试卷

这是一份2019年黑龙江哈尔滨道里郊区九年级上学期人教五四制数学期末考试试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列函数是 y 关于 x 的二次函数的是
A. y=2xB. y=−3x+2C. y=−3x2+2D. y=3x−22

2. 下列几个标志中，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 若反比例函数 y=kx 的图象经过点 −1,3，则这个反比例函数的图象还经过点
A. 3,−1B. −13,1C. −3,−1D. 13,2

4. 将抛物线 y=−3x2+2 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得到的抛物线为
A. y=−3x−12−3B. y=−3x−12−1
C. y=−3x+12−3D. y=−3x+12−1

5. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠OCB=40∘ ，则 ∠A 的度数等于
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

6. 已知 2 是关于 x 的方程 x2−2mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为
A. 10B. 14C. 10 或 14D. 8 或 10

7. 已知点 P1x1,y1，P2x2,y2 均在双曲线 y=2m+3x 上，当 x1A. m>32B. m>−32C. m<32D. m<−32

8. 下列命题一定正确的是
A. 平分弦的直径必垂直于弦
B. 经过三个点一定可以作圆
C. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
D. 相等的圆周角所对的弧也相等

9. 如图，⊙O 的半径 OD⊥ 弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 E，连接 EC．若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为
A. 215B. 8C. 210D. 213

10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为 12,1，下列结论：① abc<0；② b2−4ac>0；③ a+b+c<0；④ a+b=0；⑤ 4ac−b2=4a．其中正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 如果函数 y=m2+mxm2−2m−1 是二次函数，则 m= ．

12. 反比例函数 y=3−kx 的图象位于第一、三象限，则 k 的取值范围是 ．

13. 如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到线段 AʹBʹ，那么 A−2,5 的对应点 Aʹ 的坐标是 ．

14. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为 ．

15. 如图，是一学生掷铅球时，铅球行进高度 ym 的函数图象，点 B 为抛物线的最高点，则该同学的投掷成绩为 ．

16. 已知抛物线 y=x2−k 的顶点为 P，与 x 轴交于点 A，B，且 △ABP 是等腰直角三角形，则 k 的值是 ．

17. 某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤x≤30，且 x 为整数）出售，可卖出 30−x 件．若使利润最大，每件的售价应为 元．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=2，AC=4，将 △ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 △AʹBʹC，使 CBʹ∥AB，分别延长 AB，CAʹ 相交于点 D，则线段 BD 的长为 ．

19. 在 ⊙O 中，弦 AB 和弦 AC 构成的 ∠BAC=45∘，M，N 分别是 AB 和 AC 的中点，则 ∠MON 的度数为 ．

20. 已知：如图，等腰直角 △ABC，∠BAC=90∘，AB=AC，点 D 为 △ABC 外一点，∠ADB=45∘，连接 CD，AD=42，CD=10，则 AC= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求代数式的值：a−2a2−1−1a+1÷1a+1，其中 a=2×62+3+10．

22. 如图，在小正方形的边长均为 1 的方格纸中，有线段 AB 和线段 CD，点 A，B，C，D 均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以 A 为直角顶点的直角三角形 ABE，点 E 在小正方形的顶点上，且 △ABE 的面积为 5；
（2）在方格纸中画出以 CD 为一边的 △CDF，点 F 在小正方形的顶点上，且 △CDF 的面积为 3，CF 与（1）中所画线段 AE 平行，连接 BF，请直接写出线段 BF 的长．

23. 某养鸡专业户准备用一段长 48 米的篱笆，再利用鸡舍的一面墙（墙足够长）围成一个中间隔有一道篱笆 EFEF⊥AD 的矩形场地 ABCD，用来供鸡室外活动时使用，设矩形的一边 AB 长 x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米．
（参考公式：函数 y=ax2+bx+ca≠0 中，当 x=−b2a，y最大小=4ac−b24a）
（1）求 S 与 x 的函数关系式；
（2）当 x 为何值时，S 有最大值?最大值是多少?

24. 如图，在 平行四边形 ABCD 中，E，F 为对角线 AC 上的两点，且 AE=CF，连接 DE，BF．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：DE∥BF．

25. 因天津港爆炸，某省爱心车队要把 8000 吨救援物资运到天津港（方案定后，每天的运量不变）．
（1）从运输开始，每天运输的物资吨数为 n（单位：吨），运输时间为 t（单位：天），求 n 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）因爆炸使得到达目的地的道路受阻，实际每天比原计划少运 20%，则推迟 1 天完成任务，求原计划完成任务的天数．

26. 如图，A，P，B，C 是 ⊙O 上的四个点，连接 AB，CP 交于 D，∠APC=∠CPB=60∘．
（1）如图 1，求证：△ABC 是等边三角形．
（2）如图 2，点 G 为线段 CP 上一点，连 BG，若 ∠CBG=2∠ACP 时，求证：CG=DP+AP．
（3）如图 3，在（2）的条件下，当 PD=DG=1 时，求 AD 和 tan∠PCB 值．

27. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0，B3,0 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P，与直线 BC 相交于点 M，连接 PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得 △BCD 的面积最大?若存在，求出 D 点坐标及 △BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点 Q，使得 ∠QBA=∠BPM ?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. A
4. D
5. C
【解析】∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB=40∘ ，
则 ∠BOC=180∘−∠OBC−∠OCB=100∘ ，
则 ∠A=12∠BOC=50∘．
6. B【解析】4−4m+3m=0，∴m=4 . ∴x2−8x+12=0 . ∴x1=2，x2=6 .
7. D
8. C
9. D【解析】连接 BE．
∵AE 是直径，
∴∠ABE=90∘．
∵OD⊥AB，AB=8，
∴AC=BC=4．
设 OA=x，则 OC=x−2．
在 Rt△AOC 中，x2−x−22=42，解得 x=5，
∴AO=5，AE=10．
在 Rt△ABE 中，BE=AE2−AB2=102−82=6．
在 Rt△CBE 中，CE=BE2+BC2=42+62=213．
10. D
第二部分
11. 3
12. k<3
13. 5,2
【解析】点 Mx,y 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到 Mʹy,−x．
14. 26 米
15. 43+4m
16. 1.
17. 25
【解析】利润 y=30−xx−20=−x2+50x−600=−x−252+25，
因为 20≤25≤30，
所以若使利润最大，每件的售价应为 25 元．
18. 6
19. 45∘ 或 135∘
20. 25
第三部分
21. a−2a2−1−1a+1÷1a+1=a−2a+1a−1−a−1a+1a−1⋅a+1=a−2−a−1a+1a−1⋅a+1=−1a−1.
a=2×62+3+10，
∵ a=3+1，
∴原式=−13+1−1=−13=−33.
22. （1）
（2） 10 或 52
23. （1） 由题意知：AB=x，则 BC=48−3x，S=x48−3x，
函数关系式：S=−3x2+48x．
（2） 因为 a=−3<0，
所以抛物线开口向下，S 有最大值，
当 x=−b2a=−482×−3=8 时，S最大值=192．
24. （1） △AED≌△CFB；△ACD≌△CAB；△ABF≌△CDE．
（2） 因为平行四边形 ABCD，
所以 AB∥CD，AB=CD，
所以 ∠BAC=∠ACD．
因为 AE=CF，
所以 AE+EF=CF+EF，
即 AF=CE．
在 △ABF 和 △CDF 中，
AB=CD,∠BAE=∠DCE,AF=CE,
所以 △ABF≌△CDE．
所以 ∠BFA=∠DEC，
所以 DE∥BF．
25. （1） 由题意知：nt=8000，
n=8000t，
∴n 与 t 之间的函数关系式 n=8000t．
（2） 设原计划完成任务的天数为 x 天．
80001−20%x=8000x+1.
解得，
x=4.
经检验：x=4 是原方程的解．
答：原计划完成任务的天数为 4 天．
26. （1） 在 ⊙O 中，
∵ 弧AC=弧AC，弧BC=弧BC，
∴ ∠APC=∠ABC，∠CPB=∠BAC，
∵ ∠APC=∠CPB=60∘．
∴ ∠ABC=∠BAC=60∘=∠ACB．
∴ △ABC 是等边三角形．
（2） 如图3，延长 AP 至 H，使 PH=PD，连接 BH，
∵ ∠APC=∠CPB=60∘
∴ ∠BPH=∠BCP=180∘−60∘−60∘=60∘
∵ 在 △BPH 和 △BPD 中，
PH=PD,∠HPB=∠HPD,PB=PB,
∴ △BPH≌△BPD SAS．
∴ ∠PBH=∠PBA．
∵ 弧AP=弧AP，
∴ ∠ABP=∠ACP，
∴ ∠PBH=∠PBA=∠ACP．
∵ ∠CBG=2∠ACP．
∴ ∠CBG=∠ABH．
∵ 弧BP=弧BP，
∴ ∠PAB=∠BCG．
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，
在 △BAH 和 △BCG 中，
∠HAB=∠GCB,AB=BC,∠ABH=∠CBG.
∴ △BAH≌△BCG ASA．
∴ CG=AH=AP+PH=AP+PD．
（3） 如图4，在 CG 上截取 CF=AP，连接 BF，PD=DG=1，CG=AP+PD．
∵ CG=CF+GF，
∴ GF=PD=1．
∵ 弧BP=弧BP，
∴ ∠PAB=∠BCG．
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，
在 △BCF 和 △BAP 中，
CF=AP,∠PAB=∠BCG,AB=AC.
∴ △BCF≌△BAP SAS．
∴ BP=BF，
∵ ∠CPB=60∘，
∴ △BFP 是等边三角形，
∴ PB=PF=BF．
方法（1），如图5，过 D 点作 DI⊥PB 于 I，
在 Rt△PID 和 Rt△DIB 中，由勾股定理知：BD=7．
方法（2），如图6，过 D 点作 DS⊥BF 于 S，
由勾股定理知：BD=7，△PAD∽△FBD，
∴ AD=72，tan∠PCB=DSBS=32．
27. （1） 由 −1−b+c=0,−9+3b+c=0 得 b=2,c=3, 则抛物线解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） 设 Dt,−t2+2t+3，过点 D 作 DH⊥x 轴，交 BC 于点 F．
设 BC 直线解析式：y=kx+n，B3,0，C0,3，
所以 3k+n=0,n=3.
解得 k=−1,n=3.
所以 BC 直线解析式 y=−x+3，Ft,−t+3．
S=S△DFC+S△DFB=DF⋅OH2+DF⋅HB2=DF⋅OH+HB2=DF⋅OB2=3DF2=3−t2+3t2.
DF=yD−yF=−t2+2t+3−−t+3=−t2+3t.
S=−32t2+92t，
因为 −32<0，
所以当 t=922×−32=32 时，D 点坐标是 32,154，
△BCD 面积的最大值是 278；
（3） 抛物线上存在点 Q，使得 ∠QBA=∠BPM．
方法1：过 A 点作 AN⊥x 轴于 A，交 BQ 与 N，
因为 ∠QBA=∠BPM，PE=4，AB=4，BE=2，
在 △PEB 和 △BAN 中 ∠QBA=∠BPM,PE=AB,∠NAB=∠PEB,
△PEB≌△BAN，AN=BE=2．
所以 N−1,2 或 N−1,−2，
BN 解析为 y=−12x+32 或 y=12x−32，
所以 y=−x2+2x+3,y=−12x+32. 或 y=−x2+2x+3,y=12x−32.
所以 Q−12,74 或 Q−32,−94．
【解析】方法2：设 Q，过点 Q 作 QT⊥x 轴于点 T，tan∠QBA=∣−m2+2m+3∣3−m=12，
m=−12 或 m=−32
Q−12,74 或 Q−32,−94．