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初中数学3 探索三角形全等的条件课文课件ppt
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这是一份初中数学3 探索三角形全等的条件课文课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了找一找，问题引入，想一想，做一做，都给角给三个角，都给边给三条边，既给角又给边，议一议，给出三个角，边边边公理等内容，欢迎下载使用。
已知：如图，ΔABC≌ΔEFG，找出图中相等的边和角。
答：AB=EF，AC=EG，BC=FG
∠A=∠E，∠C=∠G，∠B=∠F
小明作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小明想一个办法，并说明你的理由？
注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形。
要画一个三角形与小明画的三角形全等。需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件……
让我们一起来探索三角形全等的条件！
1.只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时，画出的三角形一定全等吗？
2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。
（1）三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
（2）如果三角形的两个内角分别是30°和50°；
（3）如果三角形的两边分别为4cm，6cm。
只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形全等。
如果给出三个条件画三角形，那么有哪几种可能的情况？
（1）给一条边，两个角
（2）给两条边，一个角
已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°，80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
用三根长度分别为4cm、5cm和7cm的木棒摆一个三角形，把你摆出的三角形与同伴摆出的进行比较，它们一定全等吗？
三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS”。
由前面结论可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了。
在生活中，我们经常看到应用三角形稳定性的例子，如下图所示：
准备若干长度适中的小木条，用其中三根木条钉成一个三角形的框架，它的形状和大小是固定的吗？如果用四根小木条钉成的框架形状和大小固定吗？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
观察下图，这些图形的设计原理是什么？
你还能举出一些其他的例子吗？
例1如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABD与△ACD全等吗？为什么？
证明：在△ABD和△ACD中，因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD，又因为AB=AC，AD=AD，根据SSS，所以△ABD≌△ACD。
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？为什么？
比如这两图，满足上述条件，但不全等。
2.已知：AC、BD相交于点O，且AB=DC，AC=DB，那么∠A=∠D吗？为什么？
答：我认为：∠A=∠D
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠A=∠D（全等三角形的对应角相等）
只给出一个条件或两个条件时，都不能保证两个三角形全等。
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
1.通过这节课的学习活动你有哪些收获？
1.如图，AB=AC，BD=CD，BH=CH。图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
解：在△ABH和△ACH中
同理△ABD≌△ACD△DBH≌△DCH
四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性。
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜定一根木条。为什么要这样做呢？
阅读课本的“跪姿射击技术分析”
如果给出三个条件画三角形，有
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是 和 ，它们所夹的边是2cm，如下图所示， 你能画出这个三角形吗？ 你画的三角形与同桌画的一定全等吗？
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
简写成“角边角”或“ASA”
改变上述条件中的角度和边长，你能得到同样的结论吗？
(已知两角和其中一角的对边)
已知三角形的两个内角分别为 和 ，一条边长为3cm，
(1)如果 角所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？
(2)如果 角所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？
两角分别相等且和其中一组的对边相等的两个三角形全等
简写成“角角边”或“AAS”
（这里的条件与1中的条件有什么相同点和不同点？能转化成1条件吗？）
例：如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点， = 与 全等吗？为什么？
在 中
△AOC △BOD理由如下：
1. 图中的两个三角形全等吗？ 请说明理由。
两角分别相等且和其中一组的对边相等的两个三角形全等。
2.已知 和 中， = ，AB=AC。
求证： (1)
(全等三角形对应边相等)
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，
简写成“角边角”或“ASA”。
(2)两角分别相等且和其中一组的对边相等的两个三角形全等，
简写成“角角边”或“AAS”。
(3)探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
探索三角形全等的条件
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
那么有几种可能的情况呢？
答：两边及夹角或两边及其一边的对角
（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
(2)改变上述条件中的角度和边长，再试一试。
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
例3 如图，已知AB与CD相交于点O，OA=OB，OD=OC。△AOD和△BOC全等吗？说明理由。
解：△AOD≌△BOC。理由如下：在△AOD和△BOC，因为∠AOD和∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC。又OA=OB，OD=OC，根据SAS，可得△AOD≌△BOC。
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边长分别为2.5cm和3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？小明和小颖按照所给条件分别画出了下面的三角形，由此你发现了什么？与同伴进行交流.
结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。
图（1）中，AB=EF，AC=ED， ∠A=∠E=40°，图（2）中，AD=CB，∠DAC=∠BCA=90°。分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH， ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH
1.今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
2.通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？
答：SSS、SAS、ASA、AAS
3.在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？
答：至少有一个条件：边相等
“边边角”不能判定两个三角形全等
1.习题1.92.用所学的“边角边”内容，编一道与生活有联系的题
1.掌握判定两个三角形全等的4种方法，并能应用它们解决简单问题。
2.学会用全等的方法证明线段(角)的相等。3.规范解题步骤。
如图，在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，再添加一个什么条件就可以判定这两个三角形全等，与同伴进行交流。
问题：如果增加条件BC=EF，能判定△ABC≌△DEF吗？
例4 如图，已知△ABC≌△A1B1C1 ，D与D1分别是BC、B1C1上的一点，且BD=B1D1 。AD=A1D1相等吗？为什么？
证明角相等、线段相等的基本方法：证明这两个角或两条线段所在的两个三角形全等。
答：AD=A1D1理由： ∵△ABC≌△A1B1C1 ∴ ∠B=∠B1，AB=A1B1 ∵在△ABD和△A1B1D1中 AB=A1B1 ∠B=∠B1 BD=B1D1 ∴△ABD≌△A1B1D1 (SAS) ∴ AD=A1D1
全等三角形对应角的平分线是否相等？对应中线和对应高呢？全等三角形的面积是否相等？
要求：先独立完成，然后小组内交流讨论，最后小组展示、点评。
1.已知：如图， △ABC≌△A'B'C' ，AD、 A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的高。那么AD = A'D' 吗？请说明理由。
2．已知：如图，△ABC≌△A'B'C' ，AD、A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的中线。那么AD = A'D' 吗？请说明理由。
3．已知：如图，△ABC≌△A'B'C' ，AD、A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的角平分线。那么AD = A'D' 吗？请说明理由。
全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线分别相等。
1.如图，① ∠1= ∠2② ∠3= ∠4 ③AC=AD ④BC=BD⑤ ∠C= ∠D，下面选项中能使 △ABC≌ △ABD的有（ ）
（A） ① ② （B） ① ③（C） ① ④（D） ① ⑤（E） ② ⑤（F） ③ ④
2．已知：如图，AB=AD，AF=AG，BF=DG 那么 吗？为什么？
一变：图变题不变，结论还成立吗？说明理由。
再变：题变图不变，你还会证明吗？请说明理由。 已知：如图，AB=AD，AF=AG，∠BAG=∠DAF 那么BF=DG 吗？为什么？
1．已知：如图，AB=AD ， BC=DC 那么∠B=∠D 吗？为什么？
2．如图，已知AB=DC ， AC=DB ， 那么∠BAC=∠CDB吗？为什么？
思考：在上面的证明过程中，需要作怎样的辅助线，它的作用是什么？
今天这节课，我们有哪些收获？
1.全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线分别相等；2.灵活应用4种判定方法来解决简单几何问题，体会方法的简洁性；3.对数学转化思想的的理解与认识。
A层：课本习题1.10 1、2B层：课本习题1.10 3
欧几里德的几何学是人类知识史上的一座丰碑，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。 比起欧几里德几何学中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。 欧氏的贡献在于用演绎法把几何学的知识贯穿起来，揭示了一个知识系统的整体结构。 后来的科学巨人麦克斯韦、牛顿、爱因斯坦等，在创建自己的科学体系时，无不是对这种方法的成功运用。
已知：如图，ΔABC≌ΔEFG，找出图中相等的边和角。
答：AB=EF，AC=EG，BC=FG
∠A=∠E，∠C=∠G，∠B=∠F
小明作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小明想一个办法，并说明你的理由？
注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形。
要画一个三角形与小明画的三角形全等。需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件……
让我们一起来探索三角形全等的条件！
1.只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时，画出的三角形一定全等吗？
2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。
（1）三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
（2）如果三角形的两个内角分别是30°和50°；
（3）如果三角形的两边分别为4cm，6cm。
只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形全等。
如果给出三个条件画三角形，那么有哪几种可能的情况？
（1）给一条边，两个角
（2）给两条边，一个角
已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°，80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
用三根长度分别为4cm、5cm和7cm的木棒摆一个三角形，把你摆出的三角形与同伴摆出的进行比较，它们一定全等吗？
三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS”。
由前面结论可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了。
在生活中，我们经常看到应用三角形稳定性的例子，如下图所示：
准备若干长度适中的小木条，用其中三根木条钉成一个三角形的框架，它的形状和大小是固定的吗？如果用四根小木条钉成的框架形状和大小固定吗？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
观察下图，这些图形的设计原理是什么？
你还能举出一些其他的例子吗？
例1如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABD与△ACD全等吗？为什么？
证明：在△ABD和△ACD中，因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD，又因为AB=AC，AD=AD，根据SSS，所以△ABD≌△ACD。
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？为什么？
比如这两图，满足上述条件，但不全等。
2.已知：AC、BD相交于点O，且AB=DC，AC=DB，那么∠A=∠D吗？为什么？
答：我认为：∠A=∠D
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠A=∠D（全等三角形的对应角相等）
只给出一个条件或两个条件时，都不能保证两个三角形全等。
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
1.通过这节课的学习活动你有哪些收获？
1.如图，AB=AC，BD=CD，BH=CH。图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
解：在△ABH和△ACH中
同理△ABD≌△ACD△DBH≌△DCH
四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性。
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜定一根木条。为什么要这样做呢？
阅读课本的“跪姿射击技术分析”
如果给出三个条件画三角形，有
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是 和 ，它们所夹的边是2cm，如下图所示， 你能画出这个三角形吗？ 你画的三角形与同桌画的一定全等吗？
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
简写成“角边角”或“ASA”
改变上述条件中的角度和边长，你能得到同样的结论吗？
(已知两角和其中一角的对边)
已知三角形的两个内角分别为 和 ，一条边长为3cm，
(1)如果 角所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？
(2)如果 角所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？
两角分别相等且和其中一组的对边相等的两个三角形全等
简写成“角角边”或“AAS”
（这里的条件与1中的条件有什么相同点和不同点？能转化成1条件吗？）
例：如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点， = 与 全等吗？为什么？
在 中
△AOC △BOD理由如下：
1. 图中的两个三角形全等吗？ 请说明理由。
两角分别相等且和其中一组的对边相等的两个三角形全等。
2.已知 和 中， = ，AB=AC。
求证： (1)
(全等三角形对应边相等)
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，
简写成“角边角”或“ASA”。
(2)两角分别相等且和其中一组的对边相等的两个三角形全等，
简写成“角角边”或“AAS”。
(3)探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
探索三角形全等的条件
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
那么有几种可能的情况呢？
答：两边及夹角或两边及其一边的对角
（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
(2)改变上述条件中的角度和边长，再试一试。
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
例3 如图，已知AB与CD相交于点O，OA=OB，OD=OC。△AOD和△BOC全等吗？说明理由。
解：△AOD≌△BOC。理由如下：在△AOD和△BOC，因为∠AOD和∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC。又OA=OB，OD=OC，根据SAS，可得△AOD≌△BOC。
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边长分别为2.5cm和3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？小明和小颖按照所给条件分别画出了下面的三角形，由此你发现了什么？与同伴进行交流.
结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。
图（1）中，AB=EF，AC=ED， ∠A=∠E=40°，图（2）中，AD=CB，∠DAC=∠BCA=90°。分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH， ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH
1.今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
2.通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？
答：SSS、SAS、ASA、AAS
3.在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？
答：至少有一个条件：边相等
“边边角”不能判定两个三角形全等
1.习题1.92.用所学的“边角边”内容，编一道与生活有联系的题
1.掌握判定两个三角形全等的4种方法，并能应用它们解决简单问题。
2.学会用全等的方法证明线段(角)的相等。3.规范解题步骤。
如图，在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，再添加一个什么条件就可以判定这两个三角形全等，与同伴进行交流。
问题：如果增加条件BC=EF，能判定△ABC≌△DEF吗？
例4 如图，已知△ABC≌△A1B1C1 ，D与D1分别是BC、B1C1上的一点，且BD=B1D1 。AD=A1D1相等吗？为什么？
证明角相等、线段相等的基本方法：证明这两个角或两条线段所在的两个三角形全等。
答：AD=A1D1理由： ∵△ABC≌△A1B1C1 ∴ ∠B=∠B1，AB=A1B1 ∵在△ABD和△A1B1D1中 AB=A1B1 ∠B=∠B1 BD=B1D1 ∴△ABD≌△A1B1D1 (SAS) ∴ AD=A1D1
全等三角形对应角的平分线是否相等？对应中线和对应高呢？全等三角形的面积是否相等？
要求：先独立完成，然后小组内交流讨论，最后小组展示、点评。
1.已知：如图， △ABC≌△A'B'C' ，AD、 A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的高。那么AD = A'D' 吗？请说明理由。
2．已知：如图，△ABC≌△A'B'C' ，AD、A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的中线。那么AD = A'D' 吗？请说明理由。
3．已知：如图，△ABC≌△A'B'C' ，AD、A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的角平分线。那么AD = A'D' 吗？请说明理由。
全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线分别相等。
1.如图，① ∠1= ∠2② ∠3= ∠4 ③AC=AD ④BC=BD⑤ ∠C= ∠D，下面选项中能使 △ABC≌ △ABD的有（ ）
（A） ① ② （B） ① ③（C） ① ④（D） ① ⑤（E） ② ⑤（F） ③ ④
2．已知：如图，AB=AD，AF=AG，BF=DG 那么 吗？为什么？
一变：图变题不变，结论还成立吗？说明理由。
再变：题变图不变，你还会证明吗？请说明理由。 已知：如图，AB=AD，AF=AG，∠BAG=∠DAF 那么BF=DG 吗？为什么？
1．已知：如图，AB=AD ， BC=DC 那么∠B=∠D 吗？为什么？
2．如图，已知AB=DC ， AC=DB ， 那么∠BAC=∠CDB吗？为什么？
思考：在上面的证明过程中，需要作怎样的辅助线，它的作用是什么？
今天这节课，我们有哪些收获？
1.全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线分别相等；2.灵活应用4种判定方法来解决简单几何问题，体会方法的简洁性；3.对数学转化思想的的理解与认识。
A层：课本习题1.10 1、2B层：课本习题1.10 3
欧几里德的几何学是人类知识史上的一座丰碑，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。 比起欧几里德几何学中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。 欧氏的贡献在于用演绎法把几何学的知识贯穿起来，揭示了一个知识系统的整体结构。 后来的科学巨人麦克斯韦、牛顿、爱因斯坦等，在创建自己的科学体系时，无不是对这种方法的成功运用。
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