鲁教版 (五四制)七年级上册第二章 轴对称3 简单的轴对称图形教案

简单的轴对称图形

【课时安排】

3课时

【第一课时】

【教学目标】

1．本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识简单的轴对称图形。经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。

2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质。

3．应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题。

4．尺规作图。

【教学重难点】

探索并了解线段垂直平分线的有关性质。

【教学过程】

一、第一环节：知识回顾。

活动内容：

1．什么是轴对称图形？

2．下列图形哪些是轴对称图形？

二、第二环节：创设问题情境，激发学生的求知欲。

活动内容：

学生作品呈现：多彩的脸谱，美丽的蝴蝶、飞机……

三、第三环节：探索研究，充分发挥学生的主体作用。

（一）探索1：探索线段的对称性：线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？

活动内容：

1．按下面的步骤做一做：

（1）在纸上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合，折痕与AB的交点为O；

（2）在折痕上任取一点M，沿MA将纸折叠；

（3）把纸张展开，得到折痕MA和MB。

2．问题思考：

（1）MO与AB具有怎样的位置关系？

（2）AO与BO相等吗？MA与MB呢？能说明你的理由吗？

（3）在折痕上移动M的位置，结果会怎样？

注意事项：教师鼓励学生在操作中尽可能多地探索等腰三角形线段的特征，并尽量运用自己的语言说明理由。既可以根据折叠过程中某些线段或角重合说明，也可以运用全等来说明。教师适时的引导，学生的动手操作，有利于培养学生的观察和概括能力；充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想。

3．实验结论：

（1）线段是轴对称图形，它的对称轴有两条：一条是线段AB本身所在的直线；另一条是CD，它垂直于AB又平分AB，称作AB的垂直平分线。

（2）无论M点取在直线的何处，线段MA和MB都重合。

（3）线段垂直平分线的概念：垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线。

（4）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（二）探索2：尺规作图。

活动内容：已知线段AB，请画出它的垂直平分线。

1．多媒体展示历史上用直尺和圆规画出的美妙图形，介绍相关数学史。

2．学生首先进行自学，然后请两位同学到黑板上演示，其余同学在练习本上进行尺规作图。教师适时强调写出规范的已知、求作。完后各小组互相检查，教师再针对存在的问题进行强调纠正，加深学生对作法的理解和掌握。

3．各小组讨论：为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线？

四、第四环节：结合所学，拓展思维。

（一）活动内容：

1．如图，点C在直线L上，试过点C画出直线L的垂线。能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢？试试看，完成整个作图。

2．如图，如果点C不在直线L上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线L的垂线？

五、第五环节：提高练习，学以致用。

（一）活动内容：

1．在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长。

2．如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm，BD=6cm，那么EA=________，DA=____。

3．如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm。

4．如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△BDC的周长是_______cm。

5．（拓展提高）A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请给予说明理由。

六、第六环节：课堂小结。

1．线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

2．线段的垂直平分线的性质是什么？如何运用？

【第二课时】

【教学目标】

1．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。

2．利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题。

【教学重难点】

1．在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。

2．提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

3．初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。

【教学过程】

一、第一环节：动手操作，导入课题。

活动内容：

情境问题一：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？（对折）再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？

学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。

教师与学生一起动手操作。展示学生作品。

二、第二环节：动手操作，探求新知。

情境问题二：对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎么样得到其角平分线？

有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD，BC=DC，将A点放在角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的平分线，为什么？

教师课件展示实验过程，学生将实物图抽象出数学图形。

学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。

1．本次活动中，教师重点关注：

（1）学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；

（2）学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。

2．问题：

（1）从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？

（2）把简易平分角的仪器放在角的两边，且平分角的仪器两边相等，从几何角度怎么画？

（3）简易平分角的仪器BC=DC，从几何角度如何画

（4）OC与简易平分角的仪器中，AE是同一条射线吗？

（5）你能说明OC是∠AOB的平分线吗？

（6）归纳角平分线的作法。

教师提问，学生与老师一起完成探究过程。

学生独立说明，学生相互讨论，交流，教师归纳展示作法。

三、第三环节：猜想后再实践，发展几何直觉。

情境问题三：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。

问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？

问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？

学生动手剪纸，折叠，教师在多媒体上演示折叠过程。学生观察思考后，分组讨论、交流：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等。再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质。（角的平分线上的点到角两边的距离相等。）

教师归纳，引导学生结合图形写出已知、求证，分析后写出证明过程，并利用实物投影展示，强调定理的条件和作用。

四、第四环节：巩固基础，检测自我。

（一）辨一辨：

1．如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？

（二）练一练：

2．在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？

3．如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D．E，PD=4cm，则PE=__________cm。

4．已知△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，求点D到AB的距离是多少？

【作业布置】。

小结：我们这节课学习了哪些知识？

【第三课时】

【教学目标】

1．经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。

2．探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。

3．通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。

【教学重难点】

通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。

【教学过程】

一、第一环节：知识回顾。

内容：观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，能找出对称轴吗？

注意事项：本节涉及的有关现实中的轴对称图形可以根据实际适时调整，如脸谱，生活中的建筑等，生活中存在大量的实际背景，所挖掘的素材应包括丰富多彩的现实世界中的图形，使学生能够用轴对称的观点来揭示现实世界中与图形有关的现象，同时能够欣赏现实世界中蕴涵的有关轴对称的图案。

二、第二环节：创设情境，导入新课。

活动内容：

1．认识等腰三角形。给出三种等腰三角形的形状，包括锐角、钝角、直角形状的图形。

2．介绍等腰三角形的概念及各部分名称。给出生活中含有等腰三角形的建筑物图片，生活中的实例随处可见，给学生们呈现最直观的现象。如艾菲尔铁塔、埃及金字塔等。

三、第三环节：动手操作，探求新知。

活动内容：

等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？

1．思考。

（1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。

（2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

（3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？

（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？

2．归纳。

（1）等腰三角形是轴对称图形。

（2）∠B=∠C

（3）∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线

（4）∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高

（5）BD=CD，AD为底边上的中线。

3．等腰三角形的特征：

（1）等腰三角形是轴对称图形

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

（3）等腰三角形的两个底角相等。

3．推理。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

（也称为“三线合一”）。

证明：因为AD是角平分线，

所以∠BAD=∠CAD

在ΔABD和ΔACD中，

因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD

所以ΔABD≌ΔACD

所以BD=CD，∠ADB=∠ADC=90˚

所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。

四、第四环节：知识延伸。

活动内容（一）：

1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？

2．你能发现等边三角形的哪些特征？

活动目的：教师应鼓励学生通过操作和思考分析等边三角性的轴对称性，并尽可能多的探索它的特征。

活动内容（二）：

1．阅读课本的议一议，并证明。

2．阅读课本的议一议，写下你的结论。

得出结论：

1．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等

2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°。那么它所对的直角边等于斜边的一半。

五、第五环节：知识逆用。

活动内容：你有哪些方法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流。

1．折纸：将长方形纸片对折，沿对角线折叠，再沿折痕展开。

2．利用圆规。

活动目的：以动手操作的形式得出一个等腰三角形，鼓励学生充分的进行交流，充分利用等腰三角形的特征，逆向思维，达到学以致用的目的。同时充分体现了数学来源于生活，同时也更好的服务于生活的理念。

六、第六环节：练习与提高。

（一）活动内容：以小组竞赛的方式做习题：

1．在等腰ΔABC中，AB=AC顶角∠A=100°那么底角∠B=_______，∠C=_______。

2．在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么∠A=______

3．在等腰三角形△ABC中，有一个角为50°，那么另外两个角分别是多少？

（二）小组竞赛试题：

1.如果ΔABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（    ）。

A．某一条边上的高                  B．某一条边上的中线

C．平分一角和这个角的对边的直线    D．某一个角的平分线。

2．（1）若等腰三角形的一个内角为40°，则它的另外两个内角为________。

（2）若等腰三角形的一个内角为120°，则它的另外两个内角为______。

3．（1）一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为________。

（2）一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为________。

七、第七环节：课堂小结。

活动内容：师生互相交流总结本节所学，等腰三角形的性质和等边三角形的性质，以及在习题中出现的解题方法。