相似之母子模型

这是一份相似之母子模型，共25页。主要包含了课程目标，先验知识，模型讲解1，射影定理，典型例题，强化练习，链接中考，题型分析等内容，欢迎下载使用。
【对象】相似模型之母子型
【课程目标】
知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用
能力目标：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用
【先验知识】
相似三角形的判定方法
相似三角形的性质
在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，CD是AB边上的高，AD=6，BD=2
【导入】
求线段AC的长
求线段CD的长
【模型讲解1】

A字型 斜A型 母子型
一、相似模型：母子型1
条件：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠2.
结论：△ABC∽△ACD，AC2=AD∙AB
关键点：A型相似模型的变形
利用原理：有两个角相等的两个三角形相似
几何语言：在△ABC和△ACD 中，
∠A=∠A(公共角）∠1=∠2（已知）
∴△ABC∽△ACD
∴ACAD=ABAC，即AC2=AD∙AB
二、相似模型：母子型2【射影定理】
1.直角三角形被些边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似
2.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D
结论：△ABC∽△ACD，AC2=AD∙AB
△ABC∽△CBD，BC2=BD∙AB
△CBD∽△ACD，CD2=AD∙BD
利用原理：有两个角相等的两个三角形相似
几何语言：∵∠A+∠1=90°，∠A+∠2=90°
∴∠1=∠2
在△ABC和△ACD 中，
∠A=∠A(公共角）∠1=∠2（已知）
∴△ABC∽△ACD
∴ACAD=ABAC，即AC2=AD∙AB
同理可得，△ABC∽△CBD，BC2=BD∙AB
△CBD∽△ACD，CD2=AD∙BD
【典型例题】
如图，△ABC中，AD是中线，BC=10，∠B=∠DAC，则；
求线段AC的长
若AB=2，求线段AD的长

【分析】标注题中条件可以发现△CAD和△CBA是母子图形的一般图形相似，根据前面研究可以知道AC2=CD∙CB，第一问即可解决，第二问利用相似三角形的三边对应成比例可求出
【答案】解：（1）∵ AD为中线，
∴ CD=12BC=12×10=5，
∵ ∠B=∠DAC，∠ACB=∠DCA，
∴ △CAB∼△CDA，
∴ CA:CD=CB:CA，
即CA:5=10:CA，
∴ CA=52．
(2)∵△CAB∼△CDA，
∴ACDC=BCAC=ABAD
又∵AC=52，AB=2，DC=5
∴AD=1
例2：如图，点P为△ABC的边AB上的一点，连结PC，若∠1=∠B．
(1)求证：△ABC∼△ACP；
(2)若PA=4，PB=5，求AC的长．
【分析】标注题中条件会发现△ACD和△ABC是母子图形的一般图形相似，根据前面研究可以知道两个三角形相似以及AC2=AD∙AB，即可解决。
【答案】(1)证明：∵ ∠1=∠B，∠A=∠A，
∴ △ABC∼△ACP；
(2)解：∵ PA=4，PB=5，
∴ AB=9，
∵ △ABC∼△ACP，
∴ ACAB=PAAC，
即：AC9=4AC，
∴ AC=6．
例3：（2016·江苏·期中试卷）如图．Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，AC=8，BC=6，则AD=________，CD=________．
【分析】根据标注，相同颜色的角相等，需要进行勾股定理求出AB的长，再根据射影定理即可求出AD和CD的长
【答案】解：∵ AC=8，BC=6，
∴ AB=10，
∵ S△ABC=12×6×8=12×10×CD，
∴ CD=245．
在RT△ACD中，AD=AC2-CD2=325，
故答案为：325、245．
【强化练习】
练习1：如图，已知△ABC中，AD，BF为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2=EG⋅EH．
【分析】
注：DE2=AE×BE，即证AE×BE=EG×EH，进而证三角形相似.
练习2：（2014·四川·期末试卷） 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD2=FB×FC．
【分析】
练习3：已知在△ABC中，CD、DE、DF分别是边AB、AC、AB上的高，
求证：△CEF∽△CBA．
【分析】
练习4：（2017广西中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E.
(1)求证：△ABE∼△DAE；
(2)若AB=3，BC=4，求AOAE的值.
【分析】
【链接中考】
真题1： （2019·四川·中考真卷） 如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=________．
【题型分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可．
【参考答案】165
真题2： （2020·河南·中考真卷） 如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为________．

【题型分析】
方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90∘，AD // BC，AB＝AD＝BC＝22，根据相似三角形的性质得到PD＝CF=2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90∘，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF=(22)2+(2)2=10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．
【参考答案】1
真题3： （2020·上海·中考真卷）(10分) 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
(1)求证：△BEC∼△BCH；
(2)如果BE2=AB⋅AE，求证：AG=DF．
【题型分析】（1）想办法证明∠BCE＝∠H即可解决问题．
（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．
【参考答案】证明：(1)∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=CB，∠D=∠B，CD // AB.
∵ DF=BE，
∴ △CDF≅CBE(SAS)，
∴ ∠DCF=∠BCE.
∵ CD // BH，
∴ ∠H=∠DCF，
∴ ∠BCE=∠H.
∵ ∠B=∠B，
∴ △BEC∼△BCH．
(2)∵ BE2=AB⋅AE，
∴ BEAB=AEEB.
∵ AG // BC，
∴ AEBE=AGBC，
∴ BEAB=AGBC.
∵ DF=BE，BC=AB，
∴ BE=AG=DF，
即AG=DF．
【课堂总结】
一、相似模型：母子型1
条件：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠2.
结论：△ABC∽△ACD，AC2=AD∙AB
关键点：A型相似模型的变形
利用原理：有两个角相等的两个三角形相似
几何语言：在△ABC和△ACD 中，
∠A=∠A(公共角）∠1=∠2（已知）
∴△ABC∽△ACD
∴ACAD=ABAC，即AC2=AD∙AB
二、相似模型：母子型2【射影定理】
1.直角三角形被些边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似
2.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D
结论：△ABC∽△ACD，AC2=AD∙AB
△ABC∽△CBD，BC2=BD∙AB
△CBD∽△ACD，CD2=AD∙BD
利用原理：有两个角相等的两个三角形相似
几何语言：∵∠A+∠1=90°，∠A+∠2=90°
∴∠1=∠2
在△ABC和△ACD 中，
∠A=∠A(公共角）∠1=∠2（已知）
∴△ABC∽△ACD
∴ACAD=ABAC，即AC2=AD∙AB
同理可得，△ABC∽△CBD，BC2=BD∙AB
△CBD∽△ACD，CD2=AD∙BD
学习对象
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学生 教师
 预科 同步复习 专题复习