隐形圆：四点共圆模型

这是一份隐形圆：四点共圆模型，共25页。主要包含了课程目标，先验知识，模型讲解，典型例题，强化练习，关键步骤，链接中考，课堂总结等内容，欢迎下载使用。
【对象】隐形圆模型：四点共圆
【课程目标】
认识四点共圆模型的基本结构，理解能够画辅助圆的基本原理.
能够在具体几何问题中快速识别四点共圆模型的基本结构，并做出辅助圆.
能够结合圆的基本性质及圆内接四边形的相关结论灵活选用，以解决问题。
大体要点：
1、识别XX模型的基本结构；
2、掌握XX模型结论，理解其基本原理；
3、能够应用XX模型结论解决几何问题.
设计意图：
明确几何模型类的课程目标，从三个方向入手——模型的结构及特征、理解模型结论的基本原理、模型的应用，为课程学习提供方向和指引；
【先验知识】
圆周角定理：同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，所对的圆心角也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径。
2、圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，其外角等于和它相邻的内角的对角（内对角）。
设计意图：
在本课程正式开始之前，将会用到的强相关知识做课前的梳理与讲解（可选择性讲解）.
【导入】
如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .
【简析】：图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO＝5，当BO为直径时最小（依据：三角形三边关系），所以直径EF最小为5（依据：90°的圆周角所对的弦是直径）.
设计意图：
结合模型特点，通过构造辅助圆，能够快速、清晰解题，体现模型的便捷性.
【模型讲解】
类型一：四点共圆1——对角互补的四边形的四个顶点共圆.
（特殊的）
条件：如图，已知∠A+∠C=180°.
作法：作四边形ABCD的外接圆.
结论：（1）点A、B、C、D四点共圆；（2）∠ABC+∠ADC=180°.
关键点：四边形对角互补，则四点共圆.
依据：圆内接四边形对角互补.
类型二：四点共圆2——同一线段所对同侧的两个角相等.
(特殊的)
条件：如图，已知∠A=∠D.
作法：作一个圆经过点A、B、C、D.
结论：（1）点A、B、C、D四点共圆；（2）四边形ABCD对角互补.
关键点：一边所对两个角相等，则四点共圆.
依据：在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等.
【典型例题】
例1：
如图1，等边△ABC中，AB=6，点P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为 .
【分析】：
因为∠PEC=∠PDC=90°，故四边形 PDCE 对角互补，故 PDCE 四点共圆，如图 2。∠EOD=2∠ECD=120°，要使得 DE 最小，则要使圆的半径 最小，故直径 PC最小，当 CP⊥AB 时，PC 最短为3√3，则可求出DE=9/2。

例2：
如图，三角板ACD，BCE中，△ACD是等腰直角三角形，∠CAD=∠CBE=90°，直线a∥CD，则∠BCF= .
【分析】：
∵直线a∥CD
∴∠BAC=∠ACD=45°
∵∠CBF=∠CAF=90°
∴点A、B、C、F四点共圆
∴∠BFC=∠BAC=45°
∴∠BCF=90°-45°=45°
例3：已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点(A，B两点除外)，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点.
（1）如图1，当α=90∘时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF//AC；
（2）如图2，当90∘≤α≤180∘时，AE与DF相交于点M．
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长.
【分析】
由旋转和等腰三角形的性质可知
∠CAB=∠CDM
所以点C、A、D、M四点共圆
【答案】：


【强化练习】
练习1：
将一张正方形纸片ABCD折叠，再展开，如图所示，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B'为点B的对应点，点D'为点D的对应点， EB'，FD'相交于点O。连接AB'，则∠AB'E的度数为 .
【关键步骤】：如图
∵∠EAF=∠EB'F=90°
∴点A、E、B'、F四点共圆
∴∠AB'E=∠AEF=45°
练习2：
如图，将等腰直角三角形ABC对折，折痕为CD。展平后，再将点B折叠在边AC上(不与A，C重合)，折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF。随着点M在边AC上取不同的位置，△PFM的形状是否发生变化？请说明理由.
【分析】：
练习3：
如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC，BC上的点，四边形PEFD为矩形,若AP=，则CF的长为 .
【分析】：

练习4：
如图，正方形ABCD绕A点逆时针旋转到正方形APQR，连接CQ，延长BP交CQ于点E.
（1）求证：E是线段CQ的中点；
（2）若AB=1，求BE的最大值.
【分析】：

【链接中考】
真题1：
（2019年江西中考22题—9分）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝ °；
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD ∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．
【分析】（1）根据菱形的性质计算；
（2）①证明∠DAB＝∠FAE＝60°，根据角的运算解答；
②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，证明△AFN≌△EFM，根据全等三角形的性质得到FN＝FM，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据直角三角形的性质得到GH＝2AH，证明四边形ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形AEFG是菱形，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，
∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，
故答案为：60°；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，
∴∠FAE＝60°，
∴∠FAD＝∠EAB，
故答案为：＝；
②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，
则∠FNB＝∠FMB＝90°，
∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，
∴∠AFN＝∠EFM，
∵EF＝EA，∠FAE＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴FA＝FE，
在△AFN和△EFM中，
，
∴△AFN≌△EFM（AAS）
∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，
∴点F在∠ABC的平分线上；
（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，
∴∠AGF＝60°，
∴∠FGE＝∠AGE＝30°，
∵四边形AEGH为平行四边形，
∴GE∥AH，
∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，
∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，
∴GN＝2AN，
∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，
∴∠ADH＝30°，
∴AD＝AH＝GE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，
∴BC＝GE，
∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE＝∠EAB＝30°，
∴平行四边形ABEN为菱形，
∴AB＝AN＝NE，
∴GE＝3AB，
∴＝3．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
设计意图：
链接中考真题，它是这样考的，老师就是这样教你的，让学生心理认知上也能够跟老师趋同.
【课堂总结】
1、四点共圆需满足：对角互补，或同一线段所对的同侧角相等.

2、做出辅助圆后，要灵活选用圆的基本性质去解决问题，一般用得较多的是圆周角定理及其推论。
大体要点：
回忆课堂内容，强化学生的理解和掌握：模型结构结论、方法、技巧、思想、重难点、易错点、模型应用题型等；
设计意图:
Check学习目标，是否达成，学会了什么，还有哪些问题；
强化学习的意义和作用.
学习对象
使用场景
建议课时
制作人
学生 教师
 预科 同步复习 专题复习
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