2019年上海市杨浦区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2019年上海市杨浦区中考二模数学试卷（期中），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如图，已知数轴上的点 A，B 表示的实数分别为 a，b，那么下列等式成立的是
A. ∣a+b∣=a−bB. ∣a+b∣=−a−b
C. ∣a+b∣=b−aD. ∣a+b∣=a+b

2. 下列关于 x 的方程一定有实数解的是
A. x2−mx−1=0B. ax=3
C. x−6⋅4−x=0D. 1x−1=xx−1

3. 如果 k<0，b>0，那么一次函数 y=kx+b 的图象经过
A. 第一、二、三象限B. 第二、三、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第一、二、四象限

4. 为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了 80 名初三学生的体重进行统计分析．在此问题中，样本是指
A. 80B. 被抽取的 80 名初三学生
C. 被抽取的 80 名初三学生的体重D. 该校初三学生的体重

5. 如图，已知 △ADE 是 △ABC 绕点 A 逆时针旋转所得，其中点 D 在射线 AC 上，设旋转角为 α，直线 BC 与直线 DE 交于点 F，那么下列结论不正确的是
A. ∠BAC=αB. ∠DAE=αC. ∠CFD=αD. ∠FDC=α

6. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是
A. 一组对边平行，另一组对边相等
B. 一组对边相等，一组对角相等
C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：y32÷y5= ．

8. 分解因式：a2−2ab+b2−1= ．

9. 方程 x−1=1−x 的解为： ．

10. 如果正比例函数 y=k−2x 的函数值 y 随 x 的增大而减小，且它的图象与反比例函数 y=kx 的图象没有公共点，那么 k 的取值范围是 ．

11. 从 −5，−103，−6，−1，0，2，π 这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为 ．

12. 某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别ABCDEF类别足球羽毛球乒乓球篮球排球其他人数10462
那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．

13. 甲、乙两名学生练习打字，甲打 135 个字所用时间与乙打 180 个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打 20 个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为 x，那么符合题意的方程为： ．

14. 如图，△ABC 中，过重心 G 的直线平行于 BC，且交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，如果设 AB=a，AC=b，用 a，b 表示 GE，那么 GE= ．

15. 正八边形的中心角为 度．

16. 如图，点 M，N 分别在 ∠AOB 的边 OA，OB 上，将 ∠AOB 沿直线 MN 翻折，设点 O 落在点 P 处，如果当 OM=4，ON=3 时，点 O，P 的距离为 4，那么折痕 MN 的长为 ．

17. 如果当 a≠0，b≠0，且 a≠b 时，将直线 y=ax+b 和直线 y=bx+a 称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为 1,4 的一对“对偶直线”： ．

18. 如图，在矩形 ABCD 中，过点 A 的圆 O 交边 AB 于点 E，交边 AD 于点 F，已知 AD=5，AE=2，AF=4．如果以点 D 为圆心，r 为半径的圆 D 与圆 O 有两个公共点，那么 r 的取值范围是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：−32+12−3−320−4cs30∘+63．

20. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 ax+by=1,a2x−b2y=ab+3 的解为 x=1,y=−1, 求 a，b 的值．

21. 已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BC，DC⊥BC，且 AD=1，DC=3，点 P 为边 AB 上一动点，以 P 为圆心，BP 为半径的圆交边 BC 于点 Q．
（1）求 AB 的长；
（2）当 BQ 的长为 409 时，请通过计算说明圆 P 与直线 DC 的位置关系．

22. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（米）与甲出发的时间 x（分）之间的关系如图中折线 OA−AB−BC−CD 所示．
（1）求线段 AB 的表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）求乙的步行速度；
（3）求乙比甲早几分钟到达终点?

23. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=BC，∠ABC=90∘，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，点 F，G 是边 AC 的三等分点，DF，EG 的延长线相交于点 H，连接 HA，HC．求证：
（1）四边形 FBGH 是菱形；
（2）四边形 ABCH 是正方形．

24. 已知开口向下的抛物线 y=ax2−2ax+2 与 y 轴的交点为 A，顶点为 B，对称轴与 x 轴的交点为 C，点 A 与点 D 关于对称轴对称，直线 BD 与 x 轴交于点 M，直线 AB 与直线 OD 交于点 N．
（1）求点 D 的坐标；
（2）求点 M 的坐标（用含 a 的代数式表示）；
（3）当点 N 在第一象限，且 ∠OMB=∠ONA 时，求 a 的值．

25. 已知圆 O 的半径长为 2，点 A，B，C 为圆 O 上三点，弦 BC=AO，点 D 为 BC 的中点．
（1）如图 1，连接 AC，OD，设 ∠OAC=α，请用 α 表示 ∠AOD；
（2）如图 2，当点 B 为 AC 的中点时，求点 A，D 之间的距离；
（3）如果 AD 的延长线与圆 O 交于点 E，以 O 为圆心，AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆相切，求弦 AE 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】∵b<0∣a∣，
∴a+b<0，
∴∣a+b∣=−a−b．
2. A【解析】A．x2−mx−1=0 中 Δ=m2+4>0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B．ax=3 中当 a=0 时，方程无解，不符合题意；
C．由 x−6≥0,4−x≥0 知此方程组无解，不符合题意；
D．1x−1=xx−1 有增根 x=1，此方程无解，不符合题意．
3. D【解析】∵k<0，
∴ 一次函数 y=kx+b 的图象经过第二、四象限．
又 ∵b>0 时，
∴ 一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴交与正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
4. C【解析】样本是被抽取的 80 名初三学生的体重．
5. D
【解析】∵△DAE 是由 △BAC 旋转得到，
∴∠BAC=∠DAE=α，∠B=∠D，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠CFD=∠BAC=α，
故A，B，C正确．
6. C【解析】A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．
B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．
D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
第二部分
7. y
【解析】y32÷y5=y6÷y5=y.
8. a−b+1a−b−1
【解析】a2−2ab+b2−1=a−b2−1=a−b+1a−b−1.
9. 1
【解析】原方程可化为：x−12=1−x，
解得：x1=0，x2=1，
经检验，x=1 是原方程的解．
10. 0【解析】∵y=k−2x 的函数值 y 随 x 的增大而减小，
∴k−2<0．
∴k<2．
而 y=k−2x 的图象与反比例函数 y=kx 的图象没有公共点，
∴k>0．
综合以上可知：011. 27
【解析】在 −5，−103，−6，−1，0，2，π 这七个数中，为负整数的有 −5，−1，共 2 个数，则恰好为负整数的概率为 27．
12. 24
【解析】∵ 被调查学生的总数为 10÷20%=50 人，
∴ 最喜欢篮球的有 50×32%=16 人，
则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比 =50−10−4−16−6−250×100%=24%．
13. 135x=180x+20
【解析】∵ 甲平均每分钟打 x 个字，
∴ 乙平均每分钟打 x+20 个字，
根据题意得：135x=180x+20．
14. 13b−13a
【解析】连接 AG，延长 AG 交 BC 于 F．
∵G 是 △ABC 的重心，DE∥BC，
∴BF=CF，
ADAB=AEAC=AGAF=23，
∵DGBF=ADAB，GECF=AEAC，
∴DGBF=GECF，
∵BF=CF，
∴DG=GE，
∵AD=23a，AE=23b，
∴DE=DA+AE=23b−23a，
∴GE=12DE=13b−13a．
15. 45
【解析】正八边形的中心角等于 360∘÷8=45∘．
16. 23−5
【解析】设 MN 与 OP 交于点 E，
∵ 点 O，P 的距离为 4，
∴OP=4．
∵ 折叠，
∴MN⊥OP，EO=EP=2．
在 Rt△OME 中，ME=OM2−OE2=23，
在 Rt△ONE 中，NE=ON2−OE2=5，
∴MN=ME−NE=23−5．
17. 直线 y=x+3 和直线 y=3x+1
【解析】设一对“对偶直线”为 y=ax+b 和 y=bx+a，
把 1,4 代入得 a+b=4，
设 a=1，b=3，则满足条件的一对“对偶直线”为直线 y=x+3 和直线 y=3x+1．
18. 10−5【解析】如图，连接 EF，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAC=90∘，
则 EF 是 ⊙O 的直径，
取 EF 的中点 O，连接 OD，作 OG⊥AF，则点 G 是 AF 的中点，
∴GF=12AF=2，
∴OG 是 △AEF 的中位数，
∴OG=12AE=1，
∴OF=OG2+GF2=5，OD=OG2+DG2=10，
∵ 圆 D 与圆 O 有两个公共点，
∴10−5第三部分
19. 原式=3+8−1−4×32+23=10−23+23=10.
20. 把 x=1,y=−1 代入二元一次方程组 ax+by=1a2x−b2y=ab+3 得：
a−b=1, ⋯⋯①a2+b2=ab+3. ⋯⋯②
由 ① 得：
a=1+b.
把 a=1+b 代入 ②，整理得：
b2+b−2=0.
解得：
b=−2或b=1.
把 b=−2 代入 ① 得：
a+2=1.
解得：
a=−1.
把 b=1 代入 ① 得：
a−1=1.
解得：
a=2.
即
a=−1,b=−2或a=2,b=1.
21. （1） 过 A 作 AE⊥BC 于 E，
则四边形 AECD 是矩形，
∴CE=AD=1，AE=CD=3．
∵AB=BC，
∴BE=AB−1．
在 Rt△ABE 中，
∵AB2=AE2+BE2，
∴AB2=32+AB−12．
解得：AB=5；
（2） 过 P 作 PF⊥BQ 于 F，
∴BF=12BQ=209．
∴△PBF∽△ABE．
∴PBAB=BFBE．
∴PB5=2094．
∴PB=259．
∴PA=AB−PB=209．
过 P 作 PG⊥CD 于 G 交 AE 于 M，
∴GM=AD=1，PG=FC，
∴△APM∽△ABE．
∴APAB=PMBE．
∴2095=PM4．
∴PM=169．
∴PG=PM+MG=259=PB．
∴ 圆 P 与直线 DC 相切．
22. （1） 根据题意得：设线段 AB 的表达式为：y=kx+b4≤x≤16，
把 4,240，16,0 代入得：4k+b=240,16k+b=0,
解得：k=−20,b=320,
即线段 AB 的表达式为：y=−20x+3204≤x≤16．
（2） 由线段 OA 可知：甲的速度为：2404=60（米/分），乙的步行速度为：240+16−4×6016−4=80（米/分），
答：乙的步行速度为 80 米/分．
（3） 在 B 处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+16−4×60=960（米），
与终点的距离为：2400−960=1440（米），
相遇后，到达终点甲所用的时间为：144060=24（分），
相遇后，到达终点乙所用的时间为：144080=18（分），
24−18=6（分），
答：乙比甲早 6 分钟到达终点．
23. （1） ∵ 点 F，G 是边 AC 的三等分点，
∴AF=FG=GC．
又 ∵ 点 D 是边 AB 的中点，
∴DH∥BG．
同理：EH∥BF．
∴ 四边形 FBGH 是平行四边形，
连接 BH，交 AC 于点 O，
∴OF=OG，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BH⊥FG，
∴ 四边形 FBGH 是菱形．
（2） ∵ 四边形 FBGH 是平行四边形，
∴BO=HO，FO=GO．
又 ∵AF=FG=GC，
∴AF+FO=GC+GO，即：AO=CO．
∴ 四边形 ABCH 是平行四边形．
∵AC⊥BH，AB=BC，
∴ 四边形 ABCH 是正方形．
24. （1） 令 x=0，y=2，
∴A0,2，
−b2a=−−2a2a=1，
当 x=1 时，y=2−a，
∴B1,2−a，C1,0，
∵ 点 A 与点 D 关于对称轴对称，对称轴为直线 x=1，
∴D2,2．
（2） 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，
代入点 B，D，2=2k+b,2−a=k+b,
解得 k=a,b=2−2a,
∴y=ax+2−2a，
令 y=0，解得 x=2−2a，
∴M2−2a,0．
（3） 如图所示，
∵∠OMB=∠ONA，∠ODM=∠BDN，
∴∠NBD=∠DOM=45∘，
作 DG 垂直 AN 于点 G，设 DG=m，则 BG=m，
∴AB=BD=2m，
∵tan∠DAG=DGAG=m2m+m=2−1，
∴BHAH=tan∠DAG，
∵B1,2−a，H1,2，
∴BH=−a，AH=1，即 −a1=2−1，
∴a=1−2．
25. （1） 连接 OB，OC．
∵OB=OC=OA=BC，
∴△OBC 是等边三角形．
∴∠BOC=60∘．
∵D 为 BC 中点，
∴∠COD=12∠BOC=30∘．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=α．
∴∠AOC=180∘−∠OAC−∠OCA=180∘−2α．
∴∠AOD=∠AOC−∠COD=180∘−2α−30∘=150∘−2α．
（2） 连接 AB，OB，OC，OD，
∵B 为 AC 的中点，
∴AB=BC．
∴AB=BC．
∵BC=AO=2．
∴OA=AB=OB=BC=OC=2．
∴△AOB 与 △BOC 是等边三角形．
∴∠AOB=∠BOC=60∘．
∵D 是 BC 中点，
∴∠BOD=12∠BOC=30∘，BD=12BC=1．
∴OD2=OB2−BD2=4−1=3．
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=90∘，
∴AD=OA2+OD2=4+3=7．
（3） 如图 3 中，作直线 OD 交 ⊙D 于 M，N．
由题意 △OBC 是等边三角形，OB=OC=BC=2，
∵BD=CD=1，
∴OD⊥BC，
∴OD=3，
当 AD=OM=3−1 时，以 O 为圆心，AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆外切，
∵AD⋅DE=BD⋅CD，
∴DE=3+12，
∴AE=33−12．
当 AD=ON=3+1 时，以 O 为圆心，AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆内切，
∵AD⋅DE=BD⋅CD，
∴DE=3−12，
∴AE=33+12，
综上所述满足条件的 AE 的值为 33−12 或 33+12．