2020-2021学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八下期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若二次根式 1−x 有意义，则下列数中，实数 x 不可以取的值是
A. −1B. 0C. 1D. 2

2. △ABC 中，已知 AB=1，AC=2．要使 ∠B 是直角，BC 的长度是
A. 3B. 5C. 3D. 3 或 5

3. 已知 P1x1,y1，P2x2,y2 是正比例函数 y=kxk≠0 在第二象限的图象上的两个点，如果 P1 点在 P2 点左边，那么 y1，y2 的大小关系是
A. y1=y2B. y1y2D. 不能确定

4. 如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，要使四边形 EFGH 为菱形，可以添加的一个条件是
A. 四边形 ABCD 是菱形B. AC，BD 互相平分
C. AC=BDD. AC⊥BD

5. 【例 3 】（2）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形 M 和 N，它们的面积分别为 9 cm2 和 25 cm2，则直角三角形的面积为
A. 6 cm2B. 12 cm2C. 24 cm2D. 3 cm2

6. 在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+a−1（a 为常数，且 a≠0）的图象一定经过的点是
A. 1,1B. −1,1C. −1,−1D. 1,−1

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A−2,0，B0,3，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的正半轴于点 C，则点 C 的横坐标介于
A. 0 和 1 之间B. 1 和 2 之间C. 2 和 3 之间D. 3 和 4 之间

8. 甲、乙两位运动员在一段 2000 米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面 200 米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是 8 米/秒，乙的速度是 6 米/秒，先到终点者在终点原地等待．设甲、乙两人之间的距离是 y 米，比赛时间是 x 秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中 y 与 x 之间的函数图象是
A. B.
C. D.

二、填空题（共7小题；共35分）
9. 已知 3+a=3，那么 a= ．

10. 已知 y 是 x 的一次函数，如表列出了部分对应值，则 m= ．
x012ym1.52.5

11. 如图，在 △ABC 中，∠A=40∘，AB=AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作平行四边形 BCDE，则 ∠E 的度数是 ．

12. 如图，在矩形 ABCD 中（AD>AB），E 是 BC 上一点，且 DE=DA，AF⊥DE，垂足为 F．在下列结论中① △AFD≌△DCE；② AF=12AD；③ AB=AF；④ BE=AD−DF．一定正确的是 （把正确的序号写在横线上）．

13. 在平面直角坐标系中，已知点 A2,0，直线 l1 对应的函数解析式为 y=2x，平移直线 l1 使其经过点 A，则应向下平移 个单位．

14. 如图，在平面直角坐标系中，点 M 是直线 y=−x 上的动点，过点 M 作 MN⊥x 轴，交直线 y=x 于点 N，当 MN≤8 时，设点 M 的横坐标为 m，则 m 的取值范围为

15. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 −3,3，3,5，欲在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 最短，小白试了四个点 −3,0，−34,0，0,0，3,0．你认为点 P 的坐标应该为 ，PA+PB 的最小值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
16. 计算：8−327−1−22．

17. 已知 x+y=3−2，x−y=3+2，求代数式 xy2−x2y 的值．

18. 已知 z=m+y，m 是常数，y 是 x 的正比例函数．当 x=2 时，z=1；当 x=3 时，z=−1，求 z 与 x 的函数关系式．

19. 如图，每个小正方形的边长都是 1．A，B，C，D 均在网格的格点上．
（1）∠BCD 是直角吗?请证明你的判断．
（2）直接写出四边形 ABCD 的面积．
（3）找到格点 E，并画出四边形 ABED（一个即可），使得其面积与四边形 ABCD 面积相等．

20. 如图，五一期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以下信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为 x（0（2）请你帮助小明计算选择哪个出游方案合算．

21. 已知：如图，点 A 是直线 l 外一点，B，C 两点在直线 l 上，∠BAC=90∘，BC=2BA．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①以 A 为圆心，BC 为半径作弧，再以 C 为圆心，AB 为半径作弧，两弧交于点 D；
②作出所有以 A，B，C，D 为顶点的四边形；
（2）比较在（1）中所作出的线段 BD 与 AC 的大小关系．

22. 四边形 ABCD 中，∠A=∠B=90∘，点 E 在边 AB 上，点 F 在 AD 的延长线上，且点 E 与点 F 关于直线CD对称，过点 E 作 EG∥AF 交 CD 于点 G，连接 FG，DE．
（1）求证：四边形 DEGF 是菱形；
（2）若 AB=10，AF=BC=8，求四边形 DEGF 的面积．

23. 我们设定，当一条直线与一个正方形的边有两个不同的公共点时，称这条直线与这个正方形相交．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点为 A2,1，B2,2，C1,2，D1,1．
（1）判断直线 y=13x+56 与正方形 OABC 是否相交，如果是，求出交点，否则说明原因；
（2）若直线 y=13x+b 与正方形 OABC 相交，求 b 的取值范围．

24. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上（点 E 与点 C，D 不重合），过点 E 作 FG⊥BE，FG 与边 AD 相交于点 F，与边 BC 的延长线相交于点 G．
（1）BE 与 FG 有什么样的数量关系?请直接写出你的结论： ；
（2）DF，CG，CE 的数量之间具有怎样的关系?并证明你所得到的结论．
（3）如果正方形的边长是 1，FG=1.5，直接写出点 A 到直线 BE 的距离．

25. 在平面直角坐标系 XOY 中，对于任意三点 A，B，C 的“矩面积”，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”a，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”h，“水平底”a 与“铅垂高”h 的乘积为点 A，B，C 的“矩面积 S”，即“矩面积”S=ah．
例如：点 P1,2，M−3,1，N2,−2，它们的“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点 A1,2，B3,−2，Ct,0．
①若 A，B，C 三点的“矩面积”为 12，写出点 C 的坐标： ；
②写出 A，B，C 三点的“矩面积”的最小值： ．
（2）已知点 D−1,3，E4,0，Ft,3t，
①当 D，E，F 三点的“矩面积”取最小值时，写出 t 的取值范围： ；
②当 0≤t≤4 时，写出 S 与 t 的函数关系式．
答案
第一部分
1. D【解析】由题意得 1−x≥0，
解得 x≤1，
∴ 在 −1，0，1，2 中实数 x 不可以取的值是 2．
2. A【解析】∵∠B 是直角，故 AC 为 △ABC 的斜边，AB 为直角边，
∴BC=AC2−AB2=4−1=3．
3. C【解析】∵P1x1,y1，P2x2,y2 是正比例函数 y=kxk≠0 在第二象限的图象上的两个点，
∴k<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵P1 点在 P2 点左边，
∴x1 ∴y1>y2．
4. C【解析】应添加的条件是 AC=BD，理由为：
证明：∵E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点，且 AC=BD，
∴EH=12BD，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
∴EH=HG=GF=EF，
则四边形 EFGH 为菱形．
5. A
【解析】根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：25−9=4（厘米），
可得这个直角三角形的面积为：12×9×4=6（平方厘米）．
故选：A．
6. C【解析】∵y=ax+a−1，
∴y=ax+1−1，
∴ 当 x+1=0，即 x=−1 时，y=a−1+1−1=−1，
∴ 一次函数 y=ax+a−1（a 为常数，且 a≠0）的图象一定经过的点是 −1,−1．
故选：C．
7. B【解析】∵ 点 A，B 的坐标分别为 −2,0，0,3，
∴OA=2，OB=3，
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB=22+32=13，
∴AC=AB=13，
∴OC=13−2，
∴ 点 C 的坐标为 13−2,0，
∵3<13<4，
∴1<13−2<2，
即点 C 的横坐标介于 1 和 2 之间，
故选：B．
8. B【解析】当甲跑到终点时所用的时间为：2000÷8=250（秒），
此时甲乙间的距离为：2000−200−6×250=300（米），
乙到达终点时所用的时间为：2000−200÷6=300（秒），
∴ 最高点坐标为 250,300．
设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b，
当 0≤x≤100 时，有 b=200,100k+b=0, 解得：k=−2,b=200,
此时 y=−2x+200；
当 100此时 y=2x−200；
当 250此时 y=−6x+1800．
∴y 关于 x 的函数解析式为 y=−2x+200,0≤x≤1002x−200,100 ∴ 整个过程中 y 与之间的函数图象是B．
第二部分
9. 6
【解析】∵3+a=3，
∴3+a=32=9，
∴a=9−3=6．
10. −0.5
【解析】设一次函数的解析式为 y=kx+bk≠0．
将 1,1.5，2,3.5 代入 y=kx+b，
k+b=1.5,2k+b=3.5, 解得 k=2,b=−0.5,
∴ 一次函数的解析式为 y=2x−0.5，
当 x=0 时，y=2×0−0.5=−0.5，
∴m=−0.5．
故答案为：−0.5．
11. 70∘
【解析】∵ 在 △ABC 中，∠A=40∘，AB=AC，
∴∠C=180∘−40∘÷2=70∘，
∵ 四边形 BCDE 是平行四边形，
∴∠E=70∘．
12. ①③④
【解析】①由矩形 ABCD，AF⊥DE 可得 ∠C=∠AFD=90∘，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
又 ∵DE=AD，
在 △AFD 和 △DCE 中，
∠C=∠AFD,∠DEC=∠ADF,DE=AD,
∴△AFD≌△DCEAAS，故①正确；
② ∵∠ADF 不一定等于 30∘，
∴ 直角三角形 ADF 中，AF 不一定等于 AD 的一半，故②错误；
③由 △AFD≌△DCE，可得 AF=CD，
由矩形 ABCD，可得 AB=CD，
∴AB=AF，故③正确；
④由 △AFD≌△DCE，可得 CE=DF，
由矩形 ABCD，可得 BC=AD，
又 ∵BE=BC−EC，
∴BE=AD−DF，故④正确；
故一定正确的是①③④．
故答案为：①③④．
13. 4
【解析】设直线 l1 向下平移 b 个单位经过点 A，
则平移后的解析式为 y=2x−b，
把点 A2,0 代入得，4−b=0，解得 b=4，
故答案为 4．
14. −4≤m≤4
【解析】∵ 点 M 在直线 y=−x 上，
∴Mm,−m，
∵MN⊥x 轴，且点 N 在直线 y=x 上，
∴Nm,m，
∴MN=∣−m−m∣=∣2m∣，
∵MN≤8，
∴∣2m∣≤8，
∴−4≤m≤4．
15. −34,0，10
【解析】作出 A 关于 x 轴的对称点 C−3,−3，
则 PA=PC，
∴PA+PB=PB+PC，
∴B，C，P 三点共线时，PA+PB=BC 最小，
作 BD∥x 轴交 CA 延长线于 D，
在 Rt△BCD 中，由勾股定理得：
BC=62+82=10，
∴PA+PB 的最小值为 10．
第三部分
16. 原式=3−22−1+2−22=3−22−3+22=0.
17. xy2−x2y=xyy−x，
∵x+y=3−2，x−y=3+2，
∴x+y=3−2,x−y=3+2,
解得 x=3,y=−2.
当 x=3，y=−2 时，
原式=3×−2×−2−3=23+32．
18. 设 y=kx，则 z=m+kx，
根据题意得，m+2k=1,m+3k=−1,
解得 k=−2,m=5.
所以 z 与 x 的函数关系式为 z=−2x+5．
19. （1） ∠BCD 不是直角．
理由：
∵BC2=52+22=29，CD2=5，BD2=42+42=32，
∴BC2+CD2≠BD2，
∴∠BCD 不是直角．
（2） 14
【解析】S四边形ABCD=5×5−12×2×5−12×1×5−12×1×2−12×1×3−1=14．
（3） 如图，四边形 ABED 即为所求作．
20. （1） 设 y1=k1x+80，
把点 1,94 代入，可得 94=k1+80，
解得 k1=14，
∴y1=14x+80（x≥0）；
设 y2=k2x，
把 1,30 代入，可得 30=k2，即 k2=30，
∴y2=30x（x≥0）；
（2） 当 y1=y2 时，14x+80=30x，
解得 x=5；
当 y1>y2 时，14x+80>30x，
解得 x<5，
当 y1解得 x>5，
∴ 当租车时间为 5 小时，选择甲乙公司一样；当租车时间小于 5 小时，选择乙公司合算；当租车时间大于 5 小时，选择甲公司合算．
21. （1） 如图，四边形 ABDC 或四边形 ABCD′ 即为所求作．
（2） 在四边形 ABDC 中，BD=AC．
在四边形 ABCD′ 中，BD′>AC．
22. （1） ∵ 点 E 与点 F 关于直线 CD 对称，
∴FD=ED，FG=EG，且 DG=DG，
∴△FDG≌△EDGSSS，
∴∠EDG=∠FDG，
∵EG∥AF，
∴∠EGD=∠FDG，
∴∠EGD=∠EDG，
∴ED=EG，
∴FD=ED=FG=EG，
∴ 四边形 DEGF 是菱形；
（2） 连接 FC，EC，
∵∠A=∠B=90∘，
∴AF∥CB，且 AF=BC=8，
∴ 四边形 ABCF 是平行四边形，且 ∠A=90∘，
∴ 四边形 ABCF 是矩形，
∴CE=CF=AB=10，
∴BE=6，
∴AE=4，
设 FD=ED=FG=EG=x，则 AD=8−x，
在 Rt△ADE 中，42+8−x2=x2，
∴x=5．
∴S=5×4=20．
23. （1） ∵A2,1，B2,2，C1,2，D1,1．
把 x=2 代入 y=13x+56 得，y=13×2+56=32，
把 x=1 代入 y=13x+56 得，y=13×1+56=76，
∴ 直线 y=13x+56 与正方形 OABC 相交，交点为 1,76，2,32；
（2） 直线 y=13x+b 经过 A2,1 时，b=13，
直线 y=13x+b 经过 B2,2 时，b=43，
直线 y=13x+b 经过 C1,4 时，b=113，
直线 y=13x+b 经过 D1,1 时，b=23．
∵ 直线 y=13x+b 与正方形 OABC 相交，
∴b 的取值范围为 13≤b≤113．
24. （1） BE=FG
【解析】过点 F 作 FH∥DC 交 BC 于 H，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90∘，BC=CD，AD∥BC，
∵FH∥DC，
∴∠FHG=90∘，FH=CD，
∵∠BCD=90∘，FG⊥BE，
∴∠EBC+∠BEC=90∘，∠EBC+∠G=90∘，
∴∠G=∠BEC，
在 △BEC 和 △FGH 中，
∠BEC=∠FGH,∠BCE=∠FHG,BC=FH,
∴△BEC≌△FGHAAS，
∴BE=FG，
故答案为：BE=FG；
（2） DF+CG=CE，
理由如下：
∵FH∥DC，AD∥BC，∠BCD=90∘，
∴ 四边形 FHCD 为矩形，
∴DF=HC，
由（1）得，△BEC≌△FGH，
∴HG=CE，
∵HG=HC+CG=DF+CG，
∴DF+CG=CE；
（3） 23
【解析】连接 AE，过点 A 作 AP⊥BE 于 P，
∵△BEC≌△FGH，
∴BE=FG=1.5，
∵ 正方形的边长为 1，
∴△ABE 的面积 =12×1×1=12，
则 12×BE×AP=12，即 12×23×AP=12，
解得，AP=23，即点 A 到直线 BE 的距离为 23．
25. （1） ① 0,0 或 C4,0；② 8
【解析】① ∵A1,2，B3,−2，Ct,0，
∴h=4，
当 t<1 时，a=3−t，
当 t>3 时，a=t−1，
∵A，B，C 三点的“矩面积”为 12，
∴ah=12，
∴43−t=12 或 4t−1=12，
解得：t=0或4，
∴C0,0 或 C4,0；
②根据题意得：h=4，a 的最小值为 2，
∴A，B，C 三点的“矩面积”的最小值 =4×2=8；
（2） ① 0≤t≤1
② S=15,0≤t≤115t,1【解析】D−1,3，E4,0，Ft,3t，
分情况讨论：
Ⅰ、当 t>4 时，S=t+1×3t=3t2+3t，
∴S>60；
Ⅱ、当 1 ∴15Ⅲ、当 0≤t≤1 时，S=5×3=15；
Ⅳ、当 −1≤t<0 时，S=53−3t=15−15t，
∴15Ⅴ、当 t<−1 时，S=4−t3−3t=3t2−15t+12>30；
①当 D，E，F 三点的“矩面积”取最小值时，最小值为 15，此时，0≤t≤1；
②根据上述分情况讨论得：S=15,0≤t≤115t,1