高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质学案及答案

直线与平面垂直的判定

一．学习目标[来源:学_科_网Z_X_X_K]

1．了解、感受直线和平面垂直的概念，体会探究判定直线和平面垂直的方法，掌握线面垂直的判定定理并能进行简单运用；

2．加深对转化思想的认识，进一步熟练将空间问题化为平面问题加以解决的基本方法；

3．正确理解直线和平面所成角的概念，掌握求线面角的基本方法；

二．知识梳理：

1.直线与平面垂直的定义:

如果直线与平面内的                 都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作         。直线叫            ，平面叫              

                 叫做垂足。

2.直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的                      都垂直，则这条直线与该平面垂直。

简记为：线线垂直线面垂直

   符号语言：

图形语言：

3．斜线、斜足与射影的概念：

斜线：与平面________,但不和平面_________的直线,叫做这个平面的斜线.

斜足：斜线和平面的_________叫做斜足.

射影：过斜线上斜足以外一点向平面引垂线,过______和_________的直线叫做斜线在这个平面上的射影

4.斜线与平面所成角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的_______所成的_____，叫作这条直线和这个平面所成的角。如图，_________就是斜线AP与平面α所成的角。

注意：一条直线垂直于平面，它们所成的角是              ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是              。直线与平面所成角的范围是               。

题型一：线面垂直判定定理应用

例1：已知求证：

 变式训练1：如图，在正方体中，

（1）求证：， （2）；

题型二：求直线与平面所成的角

例2：在正方体中.

（1）求直线和平面ABCD所成的角；

（2）求直线和平面所成的角.

[来源:学科网]

变式训练3：如图所示，在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，为的中点，，求与平面所成的角．

变式训练4：如图，在正三棱柱中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为1，则与侧面 所成的角是多少度.

题型三：综合应用问题

例3：在直三棱柱中（侧棱垂直于底面）, , , , , 点是的中点. [来源:学科网ZXXK]

(1)求证:;(2)求证:∥平面;(3)求三棱锥C-ABC1的体积.

变式训练5：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点.

（1）证明：//面

（2）求与底面所成角的正切值

自我检测：

1．若三条直线两两垂直，则直线垂直于  （    ）

A．平面 B．平面   C．平面  D．平面

2．在正方形中，分别是的中点，现沿把这个正方形折成一个四面体，使重合于点，则有  （    ）

  A．⊥平面          

 B．⊥平面[来源:Zxxk.Com]

C．⊥平面

D．⊥平面

3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为   （    ）

A． 90°     B．  60°    C．  45°       D．  30°

4、如果直线与平面的一条垂线垂直，则与平面的位置关系是(     ) 

A、   B、    C、   D、或

5、过直线外一点作此直线的垂线有     条；垂面有    个；过平面外一点作该平面的垂线有     条。

6、在正方体中，与棱垂直的平面有             。

7、四面体的四个面中，最多有     个直角三角形。

8、下列条件中，能判定直线与平面垂直的是             。

①  直线与平面内一个梯形的两条边垂直；

②  直线与平面内的一个三角形的两条边垂直；

③  直线与平面内的一个正六边形的两条边垂直；

④  直线与平面内一个圆的两条直径垂直。

9．已知垂直于平行四边形所在的平面，若，则平行四边形一定是________．

10．在Rt△ABC中，是斜边的中点，，，，且，则＝________.

11.已知点为三棱锥的顶点在平面内的射影，若，则为△ABC的________

12．如图所示，直角三角形的斜边在平面内，，与α所成的角分别为30°，45°，是直角三角形斜边上的高，求与平面所成的角．

[来源:学|科|网]

13．如图，在四棱锥中，∥，，侧面为等边三角形，，.求证：.