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专题07 二次函数与平行四边形存在型问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）
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这是一份专题07 二次函数与平行四边形存在型问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版），共51页。
【典例分析】
例1 21．如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在轴上，且，求点的坐标；
（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
思路点拨
（1）根据当时，可知C（0，-3）根据，可知B（-1，0）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.（2）如图：连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（-1，-3），可知∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|根据∠BDO=∠BAC=45°，即可得到结论；（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图：过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论.
满分解答
（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，-3），C（0，-3），
∴AF∥x轴，
∴F（-1，-3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，-1）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，-3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．
例2如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；
（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
思路点拨
（1）先根据直线解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式计算即可得解；
（2）根据直线解析式表示出点P的坐标，利用抛物线解析式表示出点E的坐标，再用点P的纵坐标减去点E的纵坐标，整理即可得到PE的表达式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点D的坐标，得到点P的横坐标的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）把抛物线的解析式转化为顶点式，然后求出点F的坐标，并利用对称轴根据点P在直线上求出点G的坐标，然后根据平行四边形的对边平行且相等列式解方程即可判断并求出点P的坐标；
（4）①当点H在x轴下方时，根据平行四边形的对边平行且相等，可得点H的纵坐标与点D的纵坐标相等，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，再求出HD的长度，然后分点Q在点A的左边与右边两种情况求出点Q的坐标；
②当点H在x轴上方时，AQ只能是平行四边形的对角线，根据点D的坐标得到点H的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，然后根据点H的横坐标表示的点到点Q的距离等于点D的横坐标表示的点到点A的距离相等求解即可．
满分解答
（1）令y=0，则﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，所以，点A的坐标为（﹣1，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在抛物线上，∴，解得，所以，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点F的坐标为（1，﹣4），点G的横坐标为1，
y=﹣1﹣1=﹣2，
∴点G的坐标为（﹣1，﹣2），
∴GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，
∵四边形GFEP为平行四边形，
∴PE=GF，
∴﹣x2+x+2=2，
解得x1=0，x2=1（舍去），
此时，y=﹣1，
∴点P的坐标为（0，﹣1），
故，存在点P（0，﹣1），使得四边形GFEP为平行四边形；
②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离，
∵点D的纵坐标为﹣3，∴点H的纵坐标为3，∴x2﹣2x﹣3=3，
整理得，x2﹣2x﹣6=0，
解得x1=1﹣，x2=1+，
∵点A的横坐标为﹣1，点D的横坐标为2，
2﹣（﹣1）=2+1=3，
根据平行四边形的性质，1﹣+3=4﹣，1++3=4+，
∴点Q的坐标为（4﹣，0）或（4+，0），
综上所述，存在点Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形．
考点：二次函数．
例3在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．
如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；
在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；
在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．
思路点拨
（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；
（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；
（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．
满分解答
解：∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，
∴点的坐标为：，
∵点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、，
设抛物线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：；
设点的坐标为，当，，，构成平行四边形时，
∵平行四边形中，点、的坐标分别是、，
∴点的坐标为，
∵点坐标为，为抛物线上一动点，为轴上的一动点，
例4在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线经过，两点．
求抛物线的解析式；
在上方的抛物线上有一动点．
①如图，当点运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点的坐标；
②如图，过点，的直线交于点，若，求的值．
思路点拨
（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=- x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用(−x2−x+4)−(x+4)＝，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值．
满分解答
①如图
∵，
∴抛物线的对称轴是直线．
∵以，为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上，
∴，．
∵，都在抛物线上，
∴，关于直线对称，
∴点的横坐标是，
∴当时，，
∴点的坐标是；
例5．如图，抛物线经过（），（），（）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标；
（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．
思路点拨
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
满分解答
（2）如图，连结，
则与对称轴的交点就是所求的点．
设直线的解析式为，
∵（），（），
解得
∴直线的解析式为
∵抛物线的对称轴为直线
把代入中，得，
∴（）．
在△AND与△MCO中，
∴△AND≌△MCO（ASA），
∴ND=OC=，即N点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，
∴N2（2+，），N3（2﹣，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．
考点：二次函数综合题
【变式训练】
1．抛物线y=﹣x2+6x﹣9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是（ ）
A．（﹣6，0） B．（6，0） C．（﹣9，0） D．（9，0）
【答案】D
【解析】
【分析】
首先确定顶点坐标A和y轴的交点坐标,然后根据抛物线的对称性确定点C的坐标,进而确定D点坐标.
【详解】
【点睛】
本题考查了抛物线的图像性质,属于简单题,一般式化为顶点式,求出对称轴是解题关键.
2．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（ ）
A．（-4，-3）
B．（-3，-3）
C．（-3，-4）
D．（-4，-4）
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出A、D、C的坐标，再利用平行四边形的性质得出B点坐标．
【详解】
【点睛】
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键．
3．如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．
所以点E（6，﹣4），则CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，∴AD≠CE，
∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，
∴点M（3，﹣），
∴DM=，
如图，连接CD，过点M作MN⊥y轴于点N，则有N（0，﹣），MN=3，
∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，
【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.
4．已知二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，-4），与y轴交点为A．
（1）求该二次函数的关系式及点A坐标；
（2）将该二次函数的图象沿x轴翻折后对应的函数关系式是 ．；
（3）若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数图象上，求m+n的值．
（4）若该二次函数与x轴负半轴交于点B，C为函数图象上的一点，D为x轴上一点，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积
【答案】（1）y=x2-2x-3，点A的坐标为（0，-3）；（2）y=-x2+2x+3；（3）m+n=1；（4）6或9+3或15．
【解析】
试题分析：（1）由y=x2+bx+c的二次项系数为1，顶点坐标为（1，-4），得出该二次函数的顶点式为y=（x-1）2-4，展开得到二次函数的关系式为y=x2-2x-3，再令x=0，求出y=-3，得到与y轴交点A的坐标；
（2）先求出y=x2-2x-3的顶点坐标（1，-4）沿x轴翻折后的顶点坐标为（1，4），再由二次项系数互为相反数得出新抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，展开即可求解；
（3）先将（m，n）、（n，m）两点的坐标分别代入y=x2-2x-3，得到n=m2-2m-3①，m=n2-2n-3②，再用①-②，整理得出m2-n2-m+n=0，即（m-n）（m+n-1）=0，由m≠n，求出m+n=1；
（4）先由y=x2-2x-3，求出B点坐标为（-1，0）．当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况进行讨论：①如果BD为平行四边形的边，那么根据平行四边形的性质得出BD∥AC，且BD=AC，则A、C关于二次函数y=x2-2x-3的对称轴x=1对称，得到AC=2，进而根据平行四边形的面积公式得到S▱ABDC=AC•OA，代入数值，即可求解；②如果BD为平行四边形的对角线，那么BD与AC互相平分，设BD与AC交于点P，由P在x轴上，其纵坐标为0，得出C点纵坐标为3，再由C为函数图象上的一点，把y=3代入y=x2-2x-3，求出x的值，得到P点坐标为（，0），则BD=2BP=，然后根据S▱ABCD=S△ABD+S△CBD，将数值代入即可求解．
试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，-4），
∴该二次函数的顶点式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3，
∴与y轴交点A的坐标为（0，-3）；
（2）∵y=x2-2x-3的顶点坐标为（1，-4），
∴沿x轴翻折后二次函数图象顶点坐标为（1，4），
∴新抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，
即将该二次函数的图象沿x轴翻折后对应的函数关系式是y=-x2+2x+3；
（4）∵y=x2-2x-3，
∴当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x=-1或3，
∴B点坐标为（-1，0）．
当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况，如图：
①如果AD为平行四边形对角线时，那么BD∥AC，且BD=AC，
∴AC∥x轴，A、C关于二次函数y=x2-2x-3的对称轴x=1对称，
∵A点坐标为（0，-3），
∴C点坐标为（2，-3），AC=2，
∴S▱ABDC=AC•OA=2×3=6；
③若以AB为对角线，S=5×3=15．
综上可知，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，该平行四边形的面积为6或9+3或15．
考点：二次函数综合题．
5．如图，已知二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点．
求这个二次函数的表达式；
若点在第二象限内的抛物线上，求面积的最大值和此时点的坐标；
在平面直角坐标系内，是否存在点，使，，，四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）点，8；（3）足条件的点的坐标为或或．
【解析】
【分析】
（1）由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称，则可知PA=PB，则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；
（3）分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到CQ=AB，可得到关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ的中点，则可求得Q点坐标．
【详解】
如图，
由有，二次函数的表达式为，
令，得，或，
∴
过点作轴
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
存在点，使，，，四点构成平行四边形，
理由：①以为边时，，
过点作平行于的直线，
∵，
∴直线解析式为，
∴点在直线上，
设，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或，
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋C的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－4，0)．
(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；
(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．
【答案】(1) y＝－x2＋x＋8，C (8，0)；(2) ①50；②18.
【解析】
【分析】
（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标
（2）①连结DF，OF，如图，设F（t，-t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面积公式得到S△CDF=-t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；
②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t-8，-t2+t+12），然后把E（t-8，-t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．
【详解】
∴C点坐标为(8，0)；
（2）①如解图，连接DF，OF，设F(M，－M2＋M＋8)，
②S＝18.
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，
∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E(M－8，－M2＋M＋12)，
∵E(M－8，－M2＋M＋12)在抛物线上，
∴－ (M－8)2＋(M－8)＋8＝－M2＋M＋12，
解得M＝7，
当M＝7时，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9，
∴此时S＝2S△CDF＝18.
7．（本小题满分12分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y = x+1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为y = ；
（2）证明点（－m，2m－1）不在（1）中所求的二次函数图象上；
（3）若C为线段AB的中点，过点C做CE⊥x轴于点E，CE与二次函数的图象交于D．
①y轴上存在点K，使K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是 ．
②二次函数的图象上是否存在点P，使得三角形 S△ POE＝2S △ABD？若存在，求出P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x 2－x＋1；（2）详见解析；（3）①K（0，5）或（0，－3），②存在点P（－6，16）和P（10，16），使得S△POE ＝2S△ABD ．
【解析】
试题分析：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，根据根的判别式进行判定．
（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，
①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．
②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S△ POE＝2S △ABD，设P（x，x2-x+1），由题意可以解出x．
试题解析：
解：（1）y＝x 2－x＋1（y＝（x－2）2）；
（2）证明：设点（―m，2m―1）在二次函数y＝x 2－x＋1的图象上
则有：2m―1＝m 2＋m＋1，
整理得m 2―4m＋8＝0 ．
∵△＝（－4）2－4×8＝－16＜0 ，
∴原方程无实根 ，
∴点（―m，2m―1）不在二次函数y＝x 2－x＋1的图象上 ．
考点：二次函数综合题．
8．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标．
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．
（3）沿直线AC方向平移该二次函数图象，使得CM与平移前的CB相等，求平移后点M的坐标．
（4）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PQ，记点M关于直线PQ的对称点为M′．当以点P、A、M、M′为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+4，（1，5）；
（2）2＜m＜4;（3）（3，3）或（﹣1，7）;（4）（1，3）或（﹣3，7）.
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，求二次函数解析式.(2)先求出AC直线解析式，平移后顶点AC下方，AB上方，在求出坐标的范围.(3) 当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，利用MM′∥AC，可得平移后的M的坐标.(4) 连接MC，MM′交PQ于F，设出各点坐标，则四边形CMFP是矩形, 当四边形 PAM′M是平行四边形时,分别求出P的坐标为（1，3）或（﹣3，7）．
试题解析：
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F,
把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1），
点M向下平移m个单位后，坐标为（1，5﹣m），
由题意：1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
∴2＜m＜4．
（3）如图，
（4）如图，连接MC，MM′交PQ于F，则四边形CMFP是矩形，
点睛：1.求二次函数的解析式
（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式.
(2)已知二次函数与x轴的两个交点 (，利用双根式，y= （）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点, .
(3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式,（）求二次函数解析式.
（4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解.
(5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同 (，则可以得到对称轴方程.
2.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图像问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，找出不同点间的关系.如果需要得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式.
9．如图，二次函数y=+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
[来源:Zxxk.Com]
【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣6；(2)6；(3)存在；P点坐标为（4，6）或（4，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）把A点和B点坐标代入y=+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）先把（1）中的解析式配成顶点式，从而得到C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；（3）利用PC∥OB，则根据平行四边形的判定方法，当PC=OB=6时，以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形，从而可确定P点坐标．
【详解】
（2）∵y=﹣x2+4x﹣6=﹣（x﹣4）2+2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为（4，2），
∴C（4，0），
∴△ABC的面积=×（4﹣2）×6=6；
【点睛】
本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定方法；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．
10．如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴右侧的点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。且△CHM∽△AOC（点与点对应），求点的坐标。
【答案】（1） （2）(2,2),( ,),(,)；（，）。
（3）或
【解析】
（3）∵△CHM∽△AOC，点与点对应，∴
情形1：如上图，当在点下方时，∵
∴轴，∴，点在二次函数图像上，
∴ ，解得（舍去）或，∴；
情形2：如图，当在点上方时，∵，设交轴于点P，设，则，在中，
由勾股定理，得，解得，，即，
为直线与抛物线的另一交点,设直线的解析式为,把的坐标代入，得，解得，，∴,由，解得，（舍去）或
此时，∴,∴点的坐标为或
考点：二次函数在几何中的应用
点评：该题需要考虑的情况有多种，这是难点，需要学生经常练习，积累经验，结合图形找出突破口。
11．如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
(1)、求的值及这个二次函数的关系式；
(2)、P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)、D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)、m=1，y=－2x+1；(2)、h=－+3x(0＜x＜3)；(3)、P(2,3)
【解析】
试题分析：(1)、将点A代入直线解析式求出m的值，将二次函数设出顶点式，然后求出函数解析式；(2)、分别得出点P和点E的纵坐标，然后将两点的纵坐标做差得出h与x的函数关系式；(3)、根据平行四边形性质可得：PE=DC，根据点D在直线y=x+1上得出点D的坐标，从而得出方程求出x的值，得出点P的坐标.
(3)、存在.要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. ∵ 点D在直线y=x+1上,
∴ 点D的坐标为(1,2),∴ -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 . 解得：x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.
考点：二次函数的综合应用
12．如图，平行四边形ABCD中， ，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点.
（1）求点的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式.
【答案】（1）A（2，0），B（6，0），C（4，8）；（2）y=-2x2+16x+8
【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质可得点C的坐标，再根据抛物线的对称性即可求得点A，B的坐标；
（2）先把二次函数化为顶点式，再根据抛物线向上平移后恰好经过点，同时结合二次函数图象的平移规律即可得到结果.
（2）由抛物线的顶点为C（4，8），
可设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，
把A（2，0）代入上式，
解得a=-2．
设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k，
把（0，8）代入上式得k=32，
∴平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+40
即y=-2x2+16x+8．[来源:]
考点：本题考查的是二次函数的图象与几何变换
点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减；同时注意解决二次函数的平移问题时一般都要先化为顶点式.
13．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．
【答案】（1）y=-x2+x-4，顶点坐标（，）；（2）S=-2x2+14x-12；（3）不能.
【解析】
试题分析：（1）根据对称轴，以及A、B坐标可求得解析式，进而可求顶点坐标；（2）根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；（3）根据函数值，可得E点坐标，根据菱形的判定，可得答案．
（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即﹣2x2+14x﹣12=24，x2﹣7x+18=0，∴△=b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×18=﹣23＜0，方程无解，
E点不存在，平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形．
考点：1二次函数综合题；2菱形.
14．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为= ；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析： （1）由题意可得，解得，[来源:Z_X_X_K]
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
① 当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
考点：二次函数综合题
15．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（2）S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；
（3）存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，此时点F坐标为（， ）．
【解析】试题分析：（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形．
试题解析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点，则由题意可得：
，解得．
∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，
∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为（， ）．
考点：二次函数综合题．
16．如图，已知抛物线y=ax＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，求：（1）抛物线解析式
（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC的正切值
（3）若以点A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标
【答案】（1）由题意得：9a-3b+c="0" a+b+c="0" c=3，
解得：a="-1," b="-2," c=3，
∴y=-x2-2x+3；
（3）∵直线AC的解析式是：y=x+3，
直线AP的解析式是：y=2x+6，
直线PC的解析式是：y=-x+3，
当AC是平行四边形的一条对角线时：PC∥AM，AP∥CM，
∴利用两直线平行k的值相等，即可得出：直线MC的解析式是：y=2x+3，
直线AM的解析式是：y=-x-3，
∴M（-2，-1），
当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴M（2，7），
当AP是平行四边形的一条对角线时：∴M（-4，1），
∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．
【解析】
17．如图，抛物线与轴相交于点（﹣1，0）、（3，0），与轴相交于点，点为线段上的动点（不与、重合），过点垂直于轴的直线与抛物线及线段分别交于点、，点在轴正半轴上，=2，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）过点的直线将（2）中的平行四边形分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
【答案】（1）抛物线的解析式为：；(2) 点坐标为或；(3) ①当时，所求直线的解析式为：；②当时，所求直线的解析式为：.
【解析】
试题分析：
（1）将点和点的坐标代入抛物线函数中，可求出未知量，.则可求出该抛物线解析式；（2）由平行四边形的性质可知，，用含未知量的代数式表示的长度。则可得点坐标 ；（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．求得此直线，首先要求得对称中心的坐标.则两点坐标可确定该直线.
试题解析：
（1）点、在抛物线上，
∴，
解得，，抛物线的解析式为：．
（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．
①当时，点坐标为，又
设对角线的中点为，则．
设直线的解析式为，将，坐标代入得：
，
解得， ，∴所求直线的解析式为：；
【考点】1.一次函数解析式的解法；2.二次函数解析式的解法.
18．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．
（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；
（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D（x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标；
（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线CM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时，求平行四边形APQM的面积．[来源:Z&xx&k.Com]
【答案】（1）y＝﹣x2+（n﹣1）x+n；（2）D（﹣1，0），E（1，4）；（3）5或10．
【解析】
【分析】
（1）先根据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（n，1）（n＞0），求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标；把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出a、b、c的值，进而得出其抛物线的解析式；
（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k-2）x-1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出D（-1，0），E（1，4）；
（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得▱APQM面积．
【详解】
（3）①当P点在AM下方时，如答图1，
设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，
∴PQ′必过AM中点N（0，2），
∴可知Q′在y轴上，
易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，
故T（1，4），从而T、M重合，
∴▱APQM是矩形，
∵易得直线AM解析式为：y＝2x+2，
∵MQ⊥AM，
∴直线QQ′：y＝﹣x+，
∴4+p＝﹣×2+，
解得：p＝﹣，[来源:]
∴PN＝，
∴S▱APQM＝2S△AMP＝4S△ANP＝4××PN×AO＝4×××1＝5；
② 当P点在AM上方时，如答图2，
解得：x＝，y＝ ，
∴H（，），
∵H为QQ′中点，
故易得Q′（，），
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（2）中利用求得n的值是解题的关键，在（2）中确定出k的值是解题的关键，在（3）中根据点P的位置分类讨论及根据已知条件求出点P的坐标是解决本题的难点．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线经过，两点．
求抛物线的解析式；
在上方的抛物线上有一动点．
①如图，当点运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点的坐标；
②如图，过点，的直线交于点，若，求的值．
【答案】．①点的坐标是；②．
【解析】
【分析】
（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=-x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用(-x2-x+4)-(x+4)=，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值．
【详解】
∵，都在抛物线上，∴，关于直线对称，
∴点的横坐标是，∴当时，，
∴点的坐标是；
【点睛】
本题考查了二次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.
20．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．
【答案】（1）y=x2+x﹣（2）存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8
【解析】
【分析】
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；
【详解】
（2）存在．
∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2
∴P点坐标为（﹣1，﹣2）
∵△ABP的面积等于△ABE的面积，
∴点E到AB的距离等于2，
设E（a，2），
∴a2+a﹣=2
解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2
∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）
设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）
∴ ，
∴x=﹣1，y=2
∴点F（﹣1，2）
∴平行四边形的面积=×4×4=8
综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.
【典例分析】
例1 21．如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在轴上，且，求点的坐标；
（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
思路点拨
（1）根据当时，可知C（0，-3）根据，可知B（-1，0）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.（2）如图：连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（-1，-3），可知∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|根据∠BDO=∠BAC=45°，即可得到结论；（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图：过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论.
满分解答
（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，-3），C（0，-3），
∴AF∥x轴，
∴F（-1，-3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，-1）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，-3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．
例2如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；
（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
思路点拨
（1）先根据直线解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式计算即可得解；
（2）根据直线解析式表示出点P的坐标，利用抛物线解析式表示出点E的坐标，再用点P的纵坐标减去点E的纵坐标，整理即可得到PE的表达式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点D的坐标，得到点P的横坐标的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）把抛物线的解析式转化为顶点式，然后求出点F的坐标，并利用对称轴根据点P在直线上求出点G的坐标，然后根据平行四边形的对边平行且相等列式解方程即可判断并求出点P的坐标；
（4）①当点H在x轴下方时，根据平行四边形的对边平行且相等，可得点H的纵坐标与点D的纵坐标相等，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，再求出HD的长度，然后分点Q在点A的左边与右边两种情况求出点Q的坐标；
②当点H在x轴上方时，AQ只能是平行四边形的对角线，根据点D的坐标得到点H的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，然后根据点H的横坐标表示的点到点Q的距离等于点D的横坐标表示的点到点A的距离相等求解即可．
满分解答
（1）令y=0，则﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，所以，点A的坐标为（﹣1，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在抛物线上，∴，解得，所以，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点F的坐标为（1，﹣4），点G的横坐标为1，
y=﹣1﹣1=﹣2，
∴点G的坐标为（﹣1，﹣2），
∴GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，
∵四边形GFEP为平行四边形，
∴PE=GF，
∴﹣x2+x+2=2，
解得x1=0，x2=1（舍去），
此时，y=﹣1，
∴点P的坐标为（0，﹣1），
故，存在点P（0，﹣1），使得四边形GFEP为平行四边形；
②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离，
∵点D的纵坐标为﹣3，∴点H的纵坐标为3，∴x2﹣2x﹣3=3，
整理得，x2﹣2x﹣6=0，
解得x1=1﹣，x2=1+，
∵点A的横坐标为﹣1，点D的横坐标为2，
2﹣（﹣1）=2+1=3，
根据平行四边形的性质，1﹣+3=4﹣，1++3=4+，
∴点Q的坐标为（4﹣，0）或（4+，0），
综上所述，存在点Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形．
考点：二次函数．
例3在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．
如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；
在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；
在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．
思路点拨
（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；
（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；
（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．
满分解答
解：∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，
∴点的坐标为：，
∵点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、，
设抛物线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：；
设点的坐标为，当，，，构成平行四边形时，
∵平行四边形中，点、的坐标分别是、，
∴点的坐标为，
∵点坐标为，为抛物线上一动点，为轴上的一动点，
例4在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线经过，两点．
求抛物线的解析式；
在上方的抛物线上有一动点．
①如图，当点运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点的坐标；
②如图，过点，的直线交于点，若，求的值．
思路点拨
（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=- x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用(−x2−x+4)−(x+4)＝，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值．
满分解答
①如图
∵，
∴抛物线的对称轴是直线．
∵以，为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上，
∴，．
∵，都在抛物线上，
∴，关于直线对称，
∴点的横坐标是，
∴当时，，
∴点的坐标是；
例5．如图，抛物线经过（），（），（）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标；
（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．
思路点拨
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
满分解答
（2）如图，连结，
则与对称轴的交点就是所求的点．
设直线的解析式为，
∵（），（），
解得
∴直线的解析式为
∵抛物线的对称轴为直线
把代入中，得，
∴（）．
在△AND与△MCO中，
∴△AND≌△MCO（ASA），
∴ND=OC=，即N点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，
∴N2（2+，），N3（2﹣，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．
考点：二次函数综合题
【变式训练】
1．抛物线y=﹣x2+6x﹣9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是（ ）
A．（﹣6，0） B．（6，0） C．（﹣9，0） D．（9，0）
【答案】D
【解析】
【分析】
首先确定顶点坐标A和y轴的交点坐标,然后根据抛物线的对称性确定点C的坐标,进而确定D点坐标.
【详解】
【点睛】
本题考查了抛物线的图像性质,属于简单题,一般式化为顶点式,求出对称轴是解题关键.
2．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（ ）
A．（-4，-3）
B．（-3，-3）
C．（-3，-4）
D．（-4，-4）
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出A、D、C的坐标，再利用平行四边形的性质得出B点坐标．
【详解】
【点睛】
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键．
3．如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．
所以点E（6，﹣4），则CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，∴AD≠CE，
∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，
∴点M（3，﹣），
∴DM=，
如图，连接CD，过点M作MN⊥y轴于点N，则有N（0，﹣），MN=3，
∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，
【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.
4．已知二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，-4），与y轴交点为A．
（1）求该二次函数的关系式及点A坐标；
（2）将该二次函数的图象沿x轴翻折后对应的函数关系式是 ．；
（3）若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数图象上，求m+n的值．
（4）若该二次函数与x轴负半轴交于点B，C为函数图象上的一点，D为x轴上一点，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积
【答案】（1）y=x2-2x-3，点A的坐标为（0，-3）；（2）y=-x2+2x+3；（3）m+n=1；（4）6或9+3或15．
【解析】
试题分析：（1）由y=x2+bx+c的二次项系数为1，顶点坐标为（1，-4），得出该二次函数的顶点式为y=（x-1）2-4，展开得到二次函数的关系式为y=x2-2x-3，再令x=0，求出y=-3，得到与y轴交点A的坐标；
（2）先求出y=x2-2x-3的顶点坐标（1，-4）沿x轴翻折后的顶点坐标为（1，4），再由二次项系数互为相反数得出新抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，展开即可求解；
（3）先将（m，n）、（n，m）两点的坐标分别代入y=x2-2x-3，得到n=m2-2m-3①，m=n2-2n-3②，再用①-②，整理得出m2-n2-m+n=0，即（m-n）（m+n-1）=0，由m≠n，求出m+n=1；
（4）先由y=x2-2x-3，求出B点坐标为（-1，0）．当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况进行讨论：①如果BD为平行四边形的边，那么根据平行四边形的性质得出BD∥AC，且BD=AC，则A、C关于二次函数y=x2-2x-3的对称轴x=1对称，得到AC=2，进而根据平行四边形的面积公式得到S▱ABDC=AC•OA，代入数值，即可求解；②如果BD为平行四边形的对角线，那么BD与AC互相平分，设BD与AC交于点P，由P在x轴上，其纵坐标为0，得出C点纵坐标为3，再由C为函数图象上的一点，把y=3代入y=x2-2x-3，求出x的值，得到P点坐标为（，0），则BD=2BP=，然后根据S▱ABCD=S△ABD+S△CBD，将数值代入即可求解．
试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，-4），
∴该二次函数的顶点式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3，
∴与y轴交点A的坐标为（0，-3）；
（2）∵y=x2-2x-3的顶点坐标为（1，-4），
∴沿x轴翻折后二次函数图象顶点坐标为（1，4），
∴新抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，
即将该二次函数的图象沿x轴翻折后对应的函数关系式是y=-x2+2x+3；
（4）∵y=x2-2x-3，
∴当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x=-1或3，
∴B点坐标为（-1，0）．
当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况，如图：
①如果AD为平行四边形对角线时，那么BD∥AC，且BD=AC，
∴AC∥x轴，A、C关于二次函数y=x2-2x-3的对称轴x=1对称，
∵A点坐标为（0，-3），
∴C点坐标为（2，-3），AC=2，
∴S▱ABDC=AC•OA=2×3=6；
③若以AB为对角线，S=5×3=15．
综上可知，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，该平行四边形的面积为6或9+3或15．
考点：二次函数综合题．
5．如图，已知二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点．
求这个二次函数的表达式；
若点在第二象限内的抛物线上，求面积的最大值和此时点的坐标；
在平面直角坐标系内，是否存在点，使，，，四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）点，8；（3）足条件的点的坐标为或或．
【解析】
【分析】
（1）由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称，则可知PA=PB，则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；
（3）分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到CQ=AB，可得到关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ的中点，则可求得Q点坐标．
【详解】
如图，
由有，二次函数的表达式为，
令，得，或，
∴
过点作轴
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
存在点，使，，，四点构成平行四边形，
理由：①以为边时，，
过点作平行于的直线，
∵，
∴直线解析式为，
∴点在直线上，
设，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或，
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋C的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－4，0)．
(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；
(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．
【答案】(1) y＝－x2＋x＋8，C (8，0)；(2) ①50；②18.
【解析】
【分析】
（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标
（2）①连结DF，OF，如图，设F（t，-t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面积公式得到S△CDF=-t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；
②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t-8，-t2+t+12），然后把E（t-8，-t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．
【详解】
∴C点坐标为(8，0)；
（2）①如解图，连接DF，OF，设F(M，－M2＋M＋8)，
②S＝18.
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，
∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E(M－8，－M2＋M＋12)，
∵E(M－8，－M2＋M＋12)在抛物线上，
∴－ (M－8)2＋(M－8)＋8＝－M2＋M＋12，
解得M＝7，
当M＝7时，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9，
∴此时S＝2S△CDF＝18.
7．（本小题满分12分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y = x+1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为y = ；
（2）证明点（－m，2m－1）不在（1）中所求的二次函数图象上；
（3）若C为线段AB的中点，过点C做CE⊥x轴于点E，CE与二次函数的图象交于D．
①y轴上存在点K，使K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是 ．
②二次函数的图象上是否存在点P，使得三角形 S△ POE＝2S △ABD？若存在，求出P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x 2－x＋1；（2）详见解析；（3）①K（0，5）或（0，－3），②存在点P（－6，16）和P（10，16），使得S△POE ＝2S△ABD ．
【解析】
试题分析：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，根据根的判别式进行判定．
（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，
①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．
②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S△ POE＝2S △ABD，设P（x，x2-x+1），由题意可以解出x．
试题解析：
解：（1）y＝x 2－x＋1（y＝（x－2）2）；
（2）证明：设点（―m，2m―1）在二次函数y＝x 2－x＋1的图象上
则有：2m―1＝m 2＋m＋1，
整理得m 2―4m＋8＝0 ．
∵△＝（－4）2－4×8＝－16＜0 ，
∴原方程无实根 ，
∴点（―m，2m―1）不在二次函数y＝x 2－x＋1的图象上 ．
考点：二次函数综合题．
8．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标．
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．
（3）沿直线AC方向平移该二次函数图象，使得CM与平移前的CB相等，求平移后点M的坐标．
（4）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PQ，记点M关于直线PQ的对称点为M′．当以点P、A、M、M′为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+4，（1，5）；
（2）2＜m＜4;（3）（3，3）或（﹣1，7）;（4）（1，3）或（﹣3，7）.
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，求二次函数解析式.(2)先求出AC直线解析式，平移后顶点AC下方，AB上方，在求出坐标的范围.(3) 当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，利用MM′∥AC，可得平移后的M的坐标.(4) 连接MC，MM′交PQ于F，设出各点坐标，则四边形CMFP是矩形, 当四边形 PAM′M是平行四边形时,分别求出P的坐标为（1，3）或（﹣3，7）．
试题解析：
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F,
把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1），
点M向下平移m个单位后，坐标为（1，5﹣m），
由题意：1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
∴2＜m＜4．
（3）如图，
（4）如图，连接MC，MM′交PQ于F，则四边形CMFP是矩形，
点睛：1.求二次函数的解析式
（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式.
(2)已知二次函数与x轴的两个交点 (，利用双根式，y= （）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点, .
(3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式,（）求二次函数解析式.
（4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解.
(5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同 (，则可以得到对称轴方程.
2.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图像问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，找出不同点间的关系.如果需要得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式.
9．如图，二次函数y=+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
[来源:Zxxk.Com]
【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣6；(2)6；(3)存在；P点坐标为（4，6）或（4，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）把A点和B点坐标代入y=+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）先把（1）中的解析式配成顶点式，从而得到C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；（3）利用PC∥OB，则根据平行四边形的判定方法，当PC=OB=6时，以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形，从而可确定P点坐标．
【详解】
（2）∵y=﹣x2+4x﹣6=﹣（x﹣4）2+2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为（4，2），
∴C（4，0），
∴△ABC的面积=×（4﹣2）×6=6；
【点睛】
本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定方法；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．
10．如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴右侧的点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。且△CHM∽△AOC（点与点对应），求点的坐标。
【答案】（1） （2）(2,2),( ,),(,)；（，）。
（3）或
【解析】
（3）∵△CHM∽△AOC，点与点对应，∴
情形1：如上图，当在点下方时，∵
∴轴，∴，点在二次函数图像上，
∴ ，解得（舍去）或，∴；
情形2：如图，当在点上方时，∵，设交轴于点P，设，则，在中，
由勾股定理，得，解得，，即，
为直线与抛物线的另一交点,设直线的解析式为,把的坐标代入，得，解得，，∴,由，解得，（舍去）或
此时，∴,∴点的坐标为或
考点：二次函数在几何中的应用
点评：该题需要考虑的情况有多种，这是难点，需要学生经常练习，积累经验，结合图形找出突破口。
11．如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
(1)、求的值及这个二次函数的关系式；
(2)、P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)、D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)、m=1，y=－2x+1；(2)、h=－+3x(0＜x＜3)；(3)、P(2,3)
【解析】
试题分析：(1)、将点A代入直线解析式求出m的值，将二次函数设出顶点式，然后求出函数解析式；(2)、分别得出点P和点E的纵坐标，然后将两点的纵坐标做差得出h与x的函数关系式；(3)、根据平行四边形性质可得：PE=DC，根据点D在直线y=x+1上得出点D的坐标，从而得出方程求出x的值，得出点P的坐标.
(3)、存在.要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. ∵ 点D在直线y=x+1上,
∴ 点D的坐标为(1,2),∴ -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 . 解得：x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.
考点：二次函数的综合应用
12．如图，平行四边形ABCD中， ，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点.
（1）求点的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式.
【答案】（1）A（2，0），B（6，0），C（4，8）；（2）y=-2x2+16x+8
【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质可得点C的坐标，再根据抛物线的对称性即可求得点A，B的坐标；
（2）先把二次函数化为顶点式，再根据抛物线向上平移后恰好经过点，同时结合二次函数图象的平移规律即可得到结果.
（2）由抛物线的顶点为C（4，8），
可设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，
把A（2，0）代入上式，
解得a=-2．
设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k，
把（0，8）代入上式得k=32，
∴平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+40
即y=-2x2+16x+8．[来源:]
考点：本题考查的是二次函数的图象与几何变换
点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减；同时注意解决二次函数的平移问题时一般都要先化为顶点式.
13．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．
【答案】（1）y=-x2+x-4，顶点坐标（，）；（2）S=-2x2+14x-12；（3）不能.
【解析】
试题分析：（1）根据对称轴，以及A、B坐标可求得解析式，进而可求顶点坐标；（2）根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；（3）根据函数值，可得E点坐标，根据菱形的判定，可得答案．
（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即﹣2x2+14x﹣12=24，x2﹣7x+18=0，∴△=b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×18=﹣23＜0，方程无解，
E点不存在，平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形．
考点：1二次函数综合题；2菱形.
14．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为= ；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析： （1）由题意可得，解得，[来源:Z_X_X_K]
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
① 当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
考点：二次函数综合题
15．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（2）S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；
（3）存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，此时点F坐标为（， ）．
【解析】试题分析：（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形．
试题解析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点，则由题意可得：
，解得．
∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，
∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为（， ）．
考点：二次函数综合题．
16．如图，已知抛物线y=ax＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，求：（1）抛物线解析式
（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC的正切值
（3）若以点A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标
【答案】（1）由题意得：9a-3b+c="0" a+b+c="0" c=3，
解得：a="-1," b="-2," c=3，
∴y=-x2-2x+3；
（3）∵直线AC的解析式是：y=x+3，
直线AP的解析式是：y=2x+6，
直线PC的解析式是：y=-x+3，
当AC是平行四边形的一条对角线时：PC∥AM，AP∥CM，
∴利用两直线平行k的值相等，即可得出：直线MC的解析式是：y=2x+3，
直线AM的解析式是：y=-x-3，
∴M（-2，-1），
当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴M（2，7），
当AP是平行四边形的一条对角线时：∴M（-4，1），
∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．
【解析】
17．如图，抛物线与轴相交于点（﹣1，0）、（3，0），与轴相交于点，点为线段上的动点（不与、重合），过点垂直于轴的直线与抛物线及线段分别交于点、，点在轴正半轴上，=2，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）过点的直线将（2）中的平行四边形分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
【答案】（1）抛物线的解析式为：；(2) 点坐标为或；(3) ①当时，所求直线的解析式为：；②当时，所求直线的解析式为：.
【解析】
试题分析：
（1）将点和点的坐标代入抛物线函数中，可求出未知量，.则可求出该抛物线解析式；（2）由平行四边形的性质可知，，用含未知量的代数式表示的长度。则可得点坐标 ；（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．求得此直线，首先要求得对称中心的坐标.则两点坐标可确定该直线.
试题解析：
（1）点、在抛物线上，
∴，
解得，，抛物线的解析式为：．
（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．
①当时，点坐标为，又
设对角线的中点为，则．
设直线的解析式为，将，坐标代入得：
，
解得， ，∴所求直线的解析式为：；
【考点】1.一次函数解析式的解法；2.二次函数解析式的解法.
18．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．
（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；
（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D（x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标；
（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线CM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时，求平行四边形APQM的面积．[来源:Z&xx&k.Com]
【答案】（1）y＝﹣x2+（n﹣1）x+n；（2）D（﹣1，0），E（1，4）；（3）5或10．
【解析】
【分析】
（1）先根据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（n，1）（n＞0），求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标；把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出a、b、c的值，进而得出其抛物线的解析式；
（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k-2）x-1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出D（-1，0），E（1，4）；
（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得▱APQM面积．
【详解】
（3）①当P点在AM下方时，如答图1，
设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，
∴PQ′必过AM中点N（0，2），
∴可知Q′在y轴上，
易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，
故T（1，4），从而T、M重合，
∴▱APQM是矩形，
∵易得直线AM解析式为：y＝2x+2，
∵MQ⊥AM，
∴直线QQ′：y＝﹣x+，
∴4+p＝﹣×2+，
解得：p＝﹣，[来源:]
∴PN＝，
∴S▱APQM＝2S△AMP＝4S△ANP＝4××PN×AO＝4×××1＝5；
② 当P点在AM上方时，如答图2，
解得：x＝，y＝ ，
∴H（，），
∵H为QQ′中点，
故易得Q′（，），
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（2）中利用求得n的值是解题的关键，在（2）中确定出k的值是解题的关键，在（3）中根据点P的位置分类讨论及根据已知条件求出点P的坐标是解决本题的难点．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线经过，两点．
求抛物线的解析式；
在上方的抛物线上有一动点．
①如图，当点运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点的坐标；
②如图，过点，的直线交于点，若，求的值．
【答案】．①点的坐标是；②．
【解析】
【分析】
（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=-x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用(-x2-x+4)-(x+4)=，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值．
【详解】
∵，都在抛物线上，∴，关于直线对称，
∴点的横坐标是，∴当时，，
∴点的坐标是；
【点睛】
本题考查了二次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.
20．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．
【答案】（1）y=x2+x﹣（2）存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8
【解析】
【分析】
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；
【详解】
（2）存在．
∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2
∴P点坐标为（﹣1，﹣2）
∵△ABP的面积等于△ABE的面积，
∴点E到AB的距离等于2，
设E（a，2），
∴a2+a﹣=2
解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2
∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）
设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）
∴ ，
∴x=﹣1，y=2
∴点F（﹣1，2）
∴平行四边形的面积=×4×4=8
综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.
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